高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系6 线面垂直的判定和性质习题 苏教版必修2

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线面垂直的判定和性质

(答题时间:40 分钟) 1. 有下列说法:
①如果一条直线和一个平面平行,那么它和这个平面内的任意直线都不垂直;

②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直; ③过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 且垂直于 a 的平面内; 其中错误的是( )

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ①②③

2. 如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,下列各种情况,能保证该直线与平面垂

直的是( )

①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边

A. ①③

B. ②

C. ②④

D. ①②④

3. 已知 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA、PB、PC 两两垂直,则下列命题:

①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC

其中正确的个数是________。

4. 在正四棱锥 P—ABCD 中,PA= 3 AB,M 是 BC 的中点,G 是△PAD 的重心,则在平面 2
PAD 中经过 G 点且与直线 PM 垂直的直线有________条。 5. 如图所示:直角△ABC 所在的平面外一点 S,SA=SB=SC,点 D 为斜边 AC 的中点,则
直线 SD 与平面 ABC 的位置关系为________。

6. 已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面,若 PC⊥BD,则平行四边形一定是 ________。
7. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 的中点,O 是底面 ABCD 的中心,求 证:EF⊥平面 BB1O。

8. 如图,已知△ABC 中,∠ACB=90°,SA⊥平面 ABC,AD⊥SC 于 D,求证:AD⊥平面 SBC。
桑水

9. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CD、A1D1 的中点。 (1)求证:AB1⊥BF; (2)求证:AE⊥BF; (3)棱 CC1 上是否存在点 P,使 BF⊥平面 AEP?若存在,确定点 P 的位置,若不存在,
说明理由。
桑水

1. A 解析:①直线与平面平行,过该直线任作平面与已知平面相交,则直线与交线平行, 可知平面内与交线垂直的所有直线都与已知直线垂直,①错误;②如果平面内的无数条直线 是平行的,那么就不能得到直线和平面垂直的结论,②错误;③因为过一点有且只有一个平 面与已知直线垂直,所以过点 A 与直线 a 垂直的直线都在过点 A 且与 a 垂直的平面内,③正 确。
2. A 解析:由线面垂直的判定定理知,直线垂直于①③图形所在的平面,对于②④图形 中的两边不一定是相交直线,故该直线与它们所在的平面不一定垂直。
3. 3 解析:如图所示。∵PA⊥PC、PA⊥PB,PC∩PB=P,
∴PA⊥平面 PBC。 又∵BC? 平面 PBC, ∴PA⊥BC, 同理 PB⊥AC、PC⊥AB,但 AB 不一定垂直于 BC。 4. 无数 解析:设正四棱锥的底面边长为 a,(如图)则侧棱长为 3 a,
2

由 PM⊥BC,

∴PM= ( 3 a)2 ? ( a )2 ? 2 a ,

2

22

连接 PG 并延长与 AD 相交于 N 点,则 PN= 2 a,MN=AB=a, 2
∴PM2+PN2=MN2,∴PM⊥PN, 又 PM⊥AD,PN∩AD=N,∴PM⊥面 PAD, ∴在平面 PAD 中经过 G 点的任意一条直线都与 PM 垂直。 5. 垂直 解析:∵SA=SC,点 D 为斜边 AC 的中点,∴SD⊥AC, 则在 Rt△ABC 中,AD=DC=BD, ∴△ADS≌△BDS, ∴SD⊥BD.又 AC∩BD=D, ∴SD⊥平面 ABC。 6. 菱形 解析:如图,PA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD,

桑水

∴BD⊥PA,又 BD⊥PC,PA∩PC=P,∴BD⊥平面 PAC, AC? 平面 PAC,∴BD⊥AC, ∴ABCD 为菱形。 7. 证明:∵E、F 分别是棱 AB、BC 的中点, ∴EF 是△ABC 的中位线, ∴EF∥AC, ∵ABCD 为正方形,∴AC⊥BO,EF⊥BO, 又∵BB1⊥平面 ABCD,EF? 平面 ABCD, ∴EF⊥BB1, 又 BO∩BB1=B,∴EF⊥平面 BB1O。 8. 证明:∵∠ACB=90°, ∴BC⊥AC, 又 SA⊥平面 ABC, ∴SA⊥BC, 又 AC∩SA=A,∴BC⊥平面 SAC, ∵AD? 平面 SAC,∴BC⊥AD, 又 SC⊥AD,SC∩BC=C,∴AD⊥平面 SBC。 9. 解:(1)证明:连接 A1B,则 AB1⊥A1B, 又∵AB1⊥A1F,且 A1B∩A1F=A1,
∴AB1⊥平面 A1BF,又 BF? 平面 A1BF,∴AB1⊥BF; (2)证明:取 AD 中点 G,连接 FG,BG,则 FG⊥AE, 又∵△BAG≌△ADE, ∴∠ABG=∠DAE, ∴AE⊥BG,又∵BG∩FG=G, ∴AE⊥平面 BFG, 又 BF? 平面 BFG,∴AE⊥BF; (3)解:存在,取 CC1 中点 P,即为所求,连接 EP,AP,C1D, ∵EP∥C1D,C1D∥AB1,∴EP∥AB1。 由(1)知 AB1⊥BF,∴BF⊥EP, 又由(2)知 AE⊥BF,且 AE∩EP=E, ∴BF⊥平面 AEP。
桑水


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