广东省肇庆市2014届高三数学上学期期末统一检测试题 文(含解析)新人教A版

肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014 学年第一学期统一检测题 高三数学(文科)
注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的所在县(市、区) 、 姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔将准考证号涂 黑. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷 各题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写 上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体的体积公式 V ? 台体的体积公式 V ? 台体的高. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {?2, ?1,1, 2,} ,集合 N ? { 大于 ?2 且小于 5 的整数},则 M ? N ? ( ) A. {?1,1, 2} 2.函数 f ( x) ? A. [1, ??) B. {?1,0,1, 2} C. {?2, ?1,1, 2} D. {?2, ?1, 0,1, 2}

1 S1 ? S1S2 ? S2 h ,其中 S1 , S 2 分别是台体的上、下底面积, h 表示 3

?

1 Sh 其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高 3

?

x?2 的定义域是( lg( x ? 1)
B. (1, ??)

) D. (1, 2) ? (2, ??)

C. [1, 2) ? (2, ??)

3.若 iz ? 3 ? 4i ( i 为虚数单位)则复数 z 的共轭复数 z ? A. ?4 ? 3i B. ?4 ? 3i C. ? ? ?i D. ? ? ?i 4.已知平面向量 a ? ?1, ?2 ? , b ? ? 4, m ? , 且 a ? b , 则向量 5a ? 3b 是( A. (?7, ?34) B. (?7, ?16) C. (?7, ?4) D. (?7,14) )

? y?x?3 ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ?1 ? x ? 1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是( ? y ?1 ?
A. 4 B. 5 C. 14 D. 15 )

)

6.执行如图 1 所示的程序框图.若 n ? 4 ,则输出 S 的值是( A. ?23 B. ?5 C. 9 D. 11

1

7.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边长.已知 a ? 6, b ? 4, C ? 120 ,则 sin B ?
o

( A.

)

21 7
2 2

B.

57 19
2 2

C.

3 38

D. ?

57 19

8. 已知圆 x ? y ? 4 和圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 关于直线 l 对称, 则直线 l 的方程是 ( ) A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

9.某圆台的三视图如图 2 所示(单位:cm),则该圆台的体积是 A. 21? cm
3

3 B. 9 10 cm

C.

7 10 cm3 3

D. 7?

cm3

10 .已知集合 M ? {( x, y) | y ? f ( x)} , 若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M , 存在 ( x2 , y2 ) ? M , 使得

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“好集合”.给出下列 4 个集合:
① M ? {( x, y ) | y ? x } ③ M ? {( x, y) | y ? sin x} 其中所有“好集合”的序号是( ) A.①②④ B.②③ C.③④ (一)必做题(11~13 题)
?1

② M ? {( x, y ) | y ? x }
2

④ M ? {( x, y) | y ? ln x} D.①③④

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

2

11.设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 ? 12.若曲线 y ? kx 2 ? ln x 在点 ?1, k ? 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 k ? ______. 13.已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 过椭圆 B.则该椭圆的离心率 e ? _____

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) 的左焦点 F1 和一个顶点 a 2 b2

( )



14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知点 P ? 2, 的直线的极坐标方程为

? ?

??

? ,则过点 P 且平行于极轴 3?

15.(几何证明选讲选做题)如图 3,过 ? O 外一点 A 分别作切线 AC 和割线 AD , C 为切 点, D, B 为割线与 ? O 的交点,过点 B 作 ? O 的切线交 AC 于点 E . 若 BE ? AC ,

BE ? 3, AE ? 4 ,则 DB ? _______ .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? ? x ?

? ?

??

? , (? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 2? . 6? 3 5 ?? ? , ? ? ,求 ?2 ?

(1) 求 f ? 0 ? 的值;(2) 若 cos ? ? ? , ? ? ?

?? ? f ?? ? ? . 3? ?

17.(本小题满分 12 分) 从一批柚子中,随机抽取100个,获得其重量(单位:克)数据按照区间 [900,950) , [950,1000) , [1000,1050) , [1050,1100) 进行分组,得到频率分布直方图,如图4. (1) 根据频率分布直方图计算抽取的 100 个柚子的重量众数的估计值. (2) 用分层抽样的方法从重量在 [950,1000) 和 [1050,1100) 的柚子中共抽取 5 个,其中重 量在 [1050,1100) 的有几个? (3) 在(2)中抽出的 5 个柚子中,任取 2 个,求重量在 [1050,1100) 的柚子最多有 1 个的 概率.
3

18. (本题满分 14 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, 底面 ABC 为等腰直角三角形,?ACB ? 90 , 棱 PA 垂
o

3 3 直底面 ABC , PA ? AB ? 4 , BD ? BP , CE ? BC , F 是 AB 的中点.(1)证明 DE // 4 4 平面 ABC; (2)证明:BC?平面 PAC; (3)求四棱锥 C ? AFDP 的体积.

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1 n ? N 为数列 ?

?

?

(2)设 S ? .(1)求数列 ?a ? 的通项公式;
n

n

? 2n ? 1 1 1 1 5 ? ?n ? N ? ? ? 的前 n 项和,求 S n .(3)证明: ? ? ? ? ? a1 a2 a3 an ?1 3 ? an ? 1 ?

20. (本小题满分 14 分)

x2 y2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,且 F1 F2 ? 2 ,点 P 在 a b
椭圆上,且 ?PF1 F2 的周长为 6.过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若线段 AB 中点的横坐标为

1 ,求直线 l 的方程; 2

4

??? ? DP (3) 若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D .设弦 AB 的中点为 P ,试求 ??? ? 的取值 AB
范围. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4(a ? R) .(1)若 a ? 2 ,求 f ( x) 在 [?1,1] 上的最小值;
3 2

(2)若存在 x0 ? (0, ??) ,使 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

5

肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014 学年第一学期统一检测题 高三数学(文科)参考答案 一、选择题: 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 B 5 C 6 D 7 B 8 A 9 D 10 B

二、填空题: 11. ?6 12.

1 2

13.

2 5 5

14. ? sin ? ? 3

15.

24 5

1【解析】

M ? {?2, ?1,1, 2,} , N ? {?1,0,1, 2,3, 4} ,所以 M ? N ? {?1,1, 2}
?x ?1 ? 0 得 x ? 1且 x ? 2 ?x ?1 ? 1

2【解析】 由 ? 3【解析】

z?

3 ? 4i ? 4 ? 3i ? z ? 4 ? 3i i

4【解析】 ∵ a ? b ,∴ a ? b ? 4- 2m ? 0 ? m ? 2 ,∴ 5a ? 3b ? (?7, ?16) 5【解析】 “角点”坐标分别为 A(1,1), B(1, 4), C (?1, 2), D(?1,1) , zmax ? 2 ?1 ? 3 ? 4 ? 14 6【解析】 第一次循环: s ? 1 ? (?2) ? ?1, i ? 2 ;第二次循环: s ? 3, i ? 3 ; 第三次循环: s ? ?5, i ? 4 ; 第四次循环: s ? 11, i ? 5 ,结束;输出 s ? 11 7【解析】 ∵ c ? a ? b ? 2ab cos C ? 76 ,∴ c ?
2 2 2

76

b sin C b c ∵ = ,∴sinB= = c sin B sin C

4?

3 2 = 57 . 19 76
2 2

2 2 8 【解析】方程 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 经配方,得 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 圆心坐标是

C (? 2, 2),半径长是 2.圆 x 2 ? y 2 ? 4 的圆心坐标是 O(0,0) ,半径长是 2.因为两圆关于直
线 l 对称,所以直线 l 是线段 OC 的垂直平分线.线段 OC 的中点坐标是 M (?1,1) ,直线 OC 的斜率 k ? ?1 ,所以直线 l 的斜率 kl ? 1 ,方程是 y ? 1 ? x ? 1 ,即 x ? y ? 2 ? 0 .

6

9【解析】 圆台上底面积为 S1 ? ? ?1 ? ? ,下底面积为 S2 ? ? ? 2 ? 4? ,
2

高为 h ?

2 体积 V ? 10 ? 1 ? 3 ,

1 1 S1 ? S1S2 ? S2 h ? ? ? ? ? 4? ? 4? ? 3 ? 7? 3 3
1 ? 0 ? ( x1 x2 ) 2 ? 1 ? 0( x ? 0) 不成立,故选项 A、 x1 x2

?

?

?

?

10【解析】对于① x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? D 错;对于④, f ?( x) ? ? ln x ?? ?

y y 1 ( x ? 0) ,由 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? 1 2 ? ?1 , x1 x2 x

即 f ?( x1 ) f ?( x2 ) ? ?1,

1 1 ? ? ?1 ,不成立. 故选项 C 错;所以选 B. x1 x2

11【解析】设公差为 d,则 8a1+28d=4a1+8d,即 a1=-5d,a7=a1+6d=-5d+6d=d= -2,所以 a9=a7+2d=-6. 12【解析】 y? ? 2kx ?

1 1 1 ? y? |x ?1 ? 2k ? 1 ,由 ? 2k ? 1? ? (? ) ? ?1 得 k ? x 2 2
a2 ? c2 1 1 b 1 = . x ? 1 ,∴ = ,即 c2 c 2 2 2

13【解析】由 x ? 2 y ? 2 ? 0 得 y ?



a2 5 c 2 5 = ,e= = . 2 5 c 4 a
? ?

14 . 【 解 析 】 先 将 极 坐 标 化 成 直 角 坐 标 表 示 , P ? 2,

??

? 转 化 为 点 x ? 2cos ? 1, 3? 3

?

y ? 2sin

?
3

, 3 过点 1, 3 且平行于 x 轴的直线为 y ? 3 ,再化为极坐标为 ? 3 ,即 1

?

?

?

?

? sin ? ? 3
15【解析】由条件得 CE ? BE ? 3 ,所以 AC ? 7 ,又 AB ? 定理有 AD ?

AE 2 ? BE 2 ? 5 ,由切割线

AC 2 49 49 24 ? ,故 DB ? AD ? AB ? ?5 ? AB 5 5 5

三、解答题 16【解析】(1)由

2?

?

? 2? ,得 ? ? 1

(2 分)

∴ f ( x) ? 2sin ? x ?

? ?

??
? 6?

(3 分)

7

?? ? 1 ? ∴ f ? 0 ? ? 2sin ? 0 ? ? ? ?2sin ? ?2 ? ? ?1 6? 6 2 ?
(2)∵ cos ? ? ? , ? ? ?

(5 分)

3 5

4 ?? ? , ? ? ,∴ sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? , 5 ?2 ?

(7 分)

∴ f ?? ?

? ?

??

?? ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2sin ? cos ? 2 cos ? sin 6? 6 6 3? ?
(12 分)

(9 分)

4 3 ? 3? 1 4 3 ?3 ? 2? ? ? 2? ? ?? ? 5 2 5 ? 5? 2

17【解析】 (1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 1025 (克) (2 分) (2)从图中可知,重量在 [950,1000) 的柚子数

n1 ? (1000 ? 950) ? 0.004 ?100 ? 20 (个)
重量在 [1050,1100) 的柚子数

(3 分)

n2 ? (1050 ? 1100) ? 0.006 ?100 ? 30 (个)

(4 分)

从符合条件的柚子中抽取 5 个,其中重量在 [1000,1050) 的个数为

n?

5 5 ? n2 ? ? 30 ? 3 (个) n1 ? n2 50

(6 分)

(3)由(2)知,重量在 [1050,1100) 的柚子个数为 3 个,设为 a, b, c ,重量在 [950,1000) 的柚子个数为 2 个, 设为 d , e , 则所有基本事件有:(a, b),(a, c),(a, d ),(a, e) ,(b, c),(b, d ),

(b, e),(c, d ),(c, e),(d , e) 共 10 种

(9 分)

其中重量在 [1050,1100) 的柚子最多有 1 个的事件有: (a, d ),(a, e) , (b, d ), (b, e),(c, d ),

(c, e), (d , e) 共 7 种

(11 分) (12 分)

7 . 10 PD PE 3 3 18【解析】 (1)证明:∵ BD ? BP , CE ? BC ,∴ , (1 分) ? 4 4 PB PC
所以,重量在 [1050,1100) 的柚子最多有 1 个的概率 P ? ∴ DE // BC (2 分) 又∵ DE ? (3 分) ? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC;∴ DE // 平面 ABC; (2)证明:∵PA?平面 ABC,BC?平面 ABC,

8

∴BC?PA. ∵ ?ACB ? 90 ,∴即 BC?AC.
o

(4 分) (5 分) (7 分)

又∵ PA ? AC ? A ,∴ BC ? 平面 PAC .

(3)∵ ABC 为等腰直角三角形,F 是 AB 的中点,∴ FC ? AB, FC ? ∴ ?BCF 的面积 S?BCF ?

1 AB ? 2 , 2

1 CF ? BF ? 2 2

(8 分)

过 D 作 DG ? AB 于 F ,则 DG / / PA , ∴ DG ? 平面 ABC ,且 DG 三棱锥 D ? BCF 的高, (9 分)

3 3 又 BD ? BP ,∴ DG ? PA ? 3 , 4 4
∴三棱锥 D ? BCF 的体积 VD ? BCF ? 又三棱锥 P ? ABC 的体积

(10 分)

1 1 S?BCF ? DG ? ? 2 ? 3 ? 2 (11 分) 3 3

1 1 1 1 1 16 VP ? ABC ? S?ABC .PA ? ? AB ? CF ? PA ? ? ? 4 ? 2 ? 4 ? 3 3 2 3 2 3
∴四棱锥 C ? AFDP 的体积 V ? VP ? ABC ? VD ? BCF ?
16 10 ?2 ? 3 3

(13 分) (14 分)

19【解析】 (1)? a n ?1 ? 2a n ? 1 ,? a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) 故数列 {a n ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。 (3 分) (4 分)

(2 分)

? an ? 1 ? 2 n , an ? 2 n ? 1
(2)∵

2n 2n n ? n ? n ?1 an ? 1 2 2

(5 分)

∴ Sn ? 1 ?

2 3 n ? 2 ? ? ? n?1 2 2 2

(6 分)

9

1 1 2 3 n ?1 n Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n 2 2 2 2 2 2
以上两式相减,得
n

(7 分)

?1? 1? ? ? n n?2 1 1 1 1 n 2 Sn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? ? ? ? n ? 2 ? n 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2
∴ Sn ? 4 ? (3)?

(9 分)

n?2 2n ?1

(10 分)

1 1 1 1 1 ? n ?1 ? n ?1 ? ? an ?1 2 ? 1 2 ? 2 2 an

(11 分)

设T ?

1 1 1 1 ? ? ?? ? , a1 a2 a3 an ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ? ) ? ? (T ? ) a1 2 a1 a2 an a2 2 an ?1
(12 分)

则T ?

∴T ?

5 3

(14 分) (2 分)

20【解析】 由已知得 2c ? 2 ,且 2a ? 2c ? 6 , 解得 a ? 2, c ? 1 ,又 b ? a ? c ? 3 , (3 分)
2 2 2

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(4 分)

(2)设过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

x2 y2 将其代入 ? ? 1 中得, (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , 4 3
? ? (3 ? 4k 2 )2 ? 4 ? 8k 2 ? (4k 2 ? 12) ? 144k 4 ? 360k 2 ? 9
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

(5 分)

8k 2 ? ? 8k 2 4k 2 ? 12 则 x1,2 ? ,∴ x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 2(3 ? 4k 2 ) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

(6 分)

4k 2 1 3 1 ? ,解得 k ? ? 因为 AB 中点的横坐标为 ,所以 2 2 3 ? 4k 2 2

(7 分)

10

所以,直线 l 的方程 y ? ?

3 ( x ? 1) 2

(8 分)

(3)由(2)知 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以 AB 的中点为 P(

4k 2 ?3k , ) 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2

所以 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ]

??? ?

? (k 2 ? 1)[

64k 4 4(4k 2 ? 12) 12(k 2 ? 1) ? ] ? (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2 4k 2 ? 3

(10 分)

直线 PD 的方程为 y ?

3k 1 4k 2 k2 , 由 , 得 , ? ? ( x ? ) x ? y ? 0 4k 2 ? 3 k 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
(12 分)

则 D(

??? ? 3 k 2 (k 2 ? 1) k2 DP ? , 所以 ,0) 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

??? ? 3 k 2 ( k 2 ? 1) DP 2 1 1 1 k2 4 k ? 3 ? 1? 2 ? 所以 ??? ? ? 2 2 12( k ? 1) k ?1 4 k ?1 4 AB 2 4k ? 3
又因为 k ? 1 ? 1 ,所以 0 ?
2

1 1 1 1 1? 2 ? . ? 1 . 所以 0 ? 4 k ?1 4 k ?1
2

??? ? DP ? 1? 所以 ??? ? 的取值范围是 ? 0, ? ? 4? AB
3 2 2

(14 分)

21【解析】 (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4 , f ?( x) ? ?3x ? 4 x (1 分) 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ?

4 3

(2 分)

当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

?1
?7

(?1,0)


0

(0,1)
+ ↗

1

0

1
?3
(5 分)
11

?1

?4

∴当 x ?[?1,1] 时, f ( x) 最小值为 f (0) ? ?4 (2)∵ f ?( x) ? ?3x( x ?

(6 分)

2a ) 3

①若 a ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减。 又 f (0) ? ?4 ,则当 x ? 0 时, f ( x) ? ?4 。 ∴当 a ? 0 时,不存在 x0 ? (0, ??) ,使 f ( x0 ) ? 0 ②若 a ? 0 , 则当 0 ? x ? (9 分)

2a ? 2a ? 时, f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x) 在 ? 0, (10 分) ? 上单调递增; 3 ? 3 ?
(11 分)

当x?

2a ? 2a ? 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在在 ? , ?? ? 上单调递减. 3 ? 3 ?

8a 3 4a 3 4a 3 ? 2a ? ? ?4? ? 4 (12 分) ∴当 x ? (0, ??) 时, f max ( x) ? f ? ??? 27 9 27 ? 3 ?

4a 3 根据题意, ? 4 ? 0 ,∴ a ? 3 27
综上, a 的取值范围是 (3, ??) .

(13 分)

(14 分)

12


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