2求函数定义域解析式和值域(整理)

卓越个性化教案
学生姓名 课 题 年级 授课时间 教师姓名 王润梅 课时 2h 函数的定义域、解析式和值域

函数的定义域、解析式和值域
一、函数的定义域 1. 具体函数的定义域: 分母,根号,零次幂,对数 2. 抽象函数的定义域: (1)已知 f ( x) 的定义域为[0,1],求 f ( x 2 ) 的定义域。

(2)已知 f(2x-1)的定义域为[0,2] ,求函数 f(x)的定义域。

(3)已知 f ( x ? 1) 的定义域为[-2,3) ,求 f (

1 ? 2) 的定义域。 x

(4)已知 f ( x) 的定义域为[a,b],且 b ? ? a ? 0 ,求函数 g ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域。

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巩固练习:

(1)已知 f(x)的定义域为[-1,1],求 f(2x-1)的定义域。

(2)已知 f(x)的定义域为[0,2] ,求 f(x )的定义域。

2

(3)已知 f(2x-1)的定义域为(-1,5] ,求函数 f(x)的定义域。

(4)已知 f(2x-5 )的定义域为(-1,5] ,求函数 f(2-5x)的定义域。

方法总结: 已知 f(x)的定义域为 D, 求 f[g(x)]的定义域, 实质是解不等式 g(x)∈D; 而已知 f[g(x)] 定义域为 D,求 f(x)定义域,是根据 x∈D,求 g(x)的取值范围。

二、函数的值域
1. 直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围。 例 1:求函数 y ?

x ? 1的值域。

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2. 配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F ( x) ? af 2 ( x) ? bf ( x) ? c 的函数的 值域问题,均可使用配方法。 例 2:求函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。

3. 分离常数法:分子、分母是一次函数的有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反 函数法。 例 4:求函数 y ?

1? x 的值域。 2x ? 5

4. 换元法:运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形 如 y ? ax ? b ? cx ? d ( a 、 b 、 c 、 d 均为常数,且 a ? 0 )的函数常用此法求解。 例 5:求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。

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5. 判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ;通过方程有实数根,判别式 ? ? 0 ,从

y?
而求得原函数的值域,形如 求解。

a1 x 2 ? b1 x ? c1 a2 x 2 ? b2 x ? c2 ( a1 、 a2 不同时为零)的函数的值域,常用此方法

x2 ? x ? 3 例 6:求函数 y ? 2 的值域。 x ? x ?1

6. 图像法: 利用函数图像,如二次函数、反比例函数、指对数函数、双钩函数等。

三、 函数的解析式
1. 换元法 例 1:已知 f(3x+1)=4x+3, 求 f(x)的解析式.

变式: 若 f ( ) ?

1 x

x ,求 f ( x) . 1? x

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2. 配凑法 例 2.已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 , 求 f ( x) 的解析式. x x

变式:若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x) .

3. 待定系数法(已知所求函数类型,如二次函数、指对数函数等) 例 3.设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且图象在 y 轴上截距为 1,在 x 轴上截得的线段 长为 2 2 ,求 f ( x) 的表达式.

4. 解方程组法 例 4.设函数 f ( x) 是定义在(-∞,0)∪(0,+ ∞)上的函数,且满足关系式 3 f ( x) ? 2 f ( ) ? 4 x ,求

1 x

f ( x) 的解析式.

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变式.若 f ( x) ? f (

x ?1 ) ? 1 ? x ,求 f ( x) x

六.利用题目中函数的性质求解析式. 例 5. 对 x∈R, f ( x) 满足 f ( x) ? ? f ( x ? 1) ,且当 x∈[-1,0]时, f ( x) ? x 2 ? 2 x 求当 x∈[9,10] 时 f ( x) 的表达式.

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