2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系课时练理

2017 高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.4 直线与圆锥 曲线的位置关系课时练 理
时间:90 分钟 基础组 1.[2016?衡水二中预测]抛物线 y =4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的 直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则△AKF 的面积是( A.4 C.4 3 答案 C 解析 ∵y =4x,∴F(1,0),l:x=-1,过焦点 F 且斜率为 3的直线 l1:y= 3(x- 1 2 1),与 y =4x 联立,解得 A(3,2 3),∴AK=4,∴S△AKF= ?4?2 3=4 3.故选 C. 2 2.[2016?枣强中学月考]已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上一点 C,过双曲线中心的 直线交双曲线于 A,B 两点,记直线 AC,BC 的斜率分别为 k1,k2,当 最小时,双曲线离心率为( A. 2 C. 2+1 答案 B 解析 设点 A(x1,y1),C(x2,y2),由于点 A,B 为过原点的直线与双曲线的交点,所以 根据双曲线的对称性可得 A,B 关于原点对称,即 B(-x1,-y1).则
2 y2-y1 y2-?-y1? y2 2-y1 k1?k2= ? = 2, x2-x1 x2-?-x1? x2 2-x1 2 2

)

B.3 3 D.8

x2 y2 a b

2

k1k2

+ln |k1|+ln |k2|

) B. 3 D.2

由于点 A,C 都在双曲线上,故有
2 2 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 y2 b2 2 1 1 2 2 1-x2 1-y2 1-y2 - 2 =0,所以 k1k2= 2 2- 2=1, 2- 2=1,两式相减,得 2 2= 2>0.则 a b a b a b x1-x2 a k1k2

+ln |k1|+ln |k2|=

2

k1k2

2 +ln (k1k2),对于函数 y= +ln x(x>0)利用导数法可以得到当 x

x

2 2 =2 时,函数 y= +ln x(x>0)取得最小值.故当 +ln |k1|+ln |k2|取得最小值时,k1k2

x

k1k2

= 2=2,所以 e=

b2 a

1+ 2= 3,故选 B.

b2 a

3. [2016?衡水二中猜题]斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y =1 相交于 A、 B 两点, 则|AB| 4 的最大值为( A.2 ) B. 4 5 5

x2

2

1

C.

4 10 5

D.

8 10 5

答案 C 解析 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),直线 l 的方程为 y=x+t,由
?x +4y =4, ? ? ? ?y=x+t
2 2 2

消去 y,
2

得 5x +8tx+4(t -1)=0. Δ =(2t) -5(t -1)>0,即 t <5. 8 4?t -1? 则 x1+x2=- t,x1x2= . 5 5 ∴|AB|= 1+k |x1-x2|= 1+k ? ?x1+x2? -4x1x2= 2? = 4 2 5 5-t ,
2 2 2 2 2 2 2 2

?-8t?2-4?4?t -1? ? 5 ? 5 ? ?

2

4 10 当 t=0 时,|AB|max= . 5 4. [2016?衡水二中一轮检测]直线 y=kx-2 与抛物线 y =8x 交于 A、B 两点,且 AB 中点的横坐标为 2,则 k 的值是________. 答案 2 解析 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由? 消去 y 得 k x -4(k+2)x+4=0, Δ =[-4?k+2?] -4?k ?4>0, ? ? 由题意得? 4?k+2? x1+x2= =2?2, ? k2 ? ∴?
? ?k>-1, ?k=-1或k=2, ?
2 2 2 2 2

?y=kx-2, ? ?y =8x, ?
2

即 k=2.

5.[2016?冀州中学周测]已知两定点 M(-1,0),N(1,0),若直线上存在点 P,使|PM| +|PN|=4, 则该直线为“A 型直线”. 给出下列直线, 其中是“A 型直线”的是________(填 序号). ①y=x+1;②y=2;③y=-x+3;④y=-2x+3. 答案 ①④ 解析 由题意可知,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的椭圆,其方程是 + =1, 4 3 ①把 y=x+1 代入 + =1 并整理得,7x +8x-8=0, 4 3 ∵Δ =8 -4?7?(-8)>0,直线与椭圆有两个交点, ∴y=x+1 是“A 型直线”.
2
2

x2 y 2

x2 y2

2

x y x 1 ②把 y=2 代入 + =1,得 =- 不成立,直线与椭圆无交点,∴y=2 不是“A 型直 4 3 4 3
线”. ③把 y=-x+3 代入 + =1 并整理得, 7x -24x+24=0, Δ =(-24) -4?7?24<0, 4 3 ∴y=-x+3 不是“A 型直线”. ④把 y =- 2x + 3 代入 + = 1 并整理得, 19x - 48x + 24 = 0 ,∵ Δ = ( - 48) - 4 3 4?19?24>0,∴y=-2x+3 是“A 型直线”.

2

2

2

x2 y2

2

2

x2

y2

2

2

y2 x2 6.[2016?冀州中学热身]已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1: 2+ 2=1 经过点 A(1,0),且离 a b
心率为 3 . 2
2

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)过抛物线 C2:y=x +h(h∈R)上点 P 的切线与椭圆 C1 交于两点 M、N,记线段 MN 与

PA 的中点分别为 G、H,当 GH 与 y 轴平行时,求 h 的最小值.
=1, ? ? (1)由题意可得?c 3 = , a 2 ? ?a =b +c , 1

b2



2

2

2

解得 a=2,b=1, 所以椭圆 C1 的方程为 +x =1. 4 (2)设 P(t,t +h),由 y′=2x, 得抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 k=y′|x=t=2t, 所以 MN 的方程为 y=2tx-t +h, 代入椭圆方程得 4x +(2tx-t +h) -4=0, 化简得 4(1+t )x -4t(t -h)x+(t -h) -4=0. 又 MN 与椭圆 C1 有两个交点,故 Δ =16[-t +2(h+2)t -h +4]>0,① 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 中点的横坐标为 x0,则
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y2

2

x1+x2 t?t2-h? x0= = , 2 2 2?1+t ?
1+t 设线段 PA 中点的横坐标为 x3= , 2

t?t2-h? 1+t 由已知得 x0=x3,即 = ,② 2 2?1+t ? 2

? 1 ? 显然 t≠0,所以 h=-?t+ +1?,③ ?
t

?

3

1 当 t>0 时,t+ ≥2,当且仅当 t=1 时取等号,此时 h≤-3,不满足①式,故舍去;

t

? 1? 当 t<0 时,(-t)+?- ?≥2,当且仅当 t=-1 时取等号,此时 h≥1,满足①式. ? t?
综上,h 的最小值为 1. 4 x 2 7. [2016?枣强中学周测]已知圆 O:x +y = ,直线 l:y=kx+m 与椭圆 C: +y =1 9 2
2 2 2

相交于 P、Q 两点,O 为原点. (1)若直线 l 过椭圆 C 的左焦点,与圆 O 交于 A、B 两点,且∠AOB=60°,求直线 l 的 方程; (2)若△POQ 的重心恰好在圆上,求 m 的取值范围. 解 (1)左焦点坐标为 F(-1,0),设直线 l 的方程为 y=k(x+1),由∠AOB=60°,得 1 3 ,又 d= |k|
2

圆心 O 到直线 l 的距离 d=

|k| 1 2 ,∴ 2 = ,解得 k=± . 2 k +1 k +1 3

∴直线 l 的方程为 y=±

2 (x+1). 2
2

x ? ? +y2=1, (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由? 2 ? ?y=kx+m
得(1+2k )x +4kmx+2m -2=0. 4km 2 2 由 Δ >0 得 1+2k >m ①,且 x1+x2=- 2. 1+2k 4 2 2 ∵△POQ 的重心恰好在圆 x +y = 上, 9 ∴(x1+x2) +(y1+y2) =4, 即(x1+x2) +[k(x1+x2)+2m] =4, 即(1+k )(x1+x2) +4km(x1+x2)+4m =4. 16?1+k ?k m 16k m 2 ∴ - 2 2 2+4m =4, ?1+2k ? 1+2k ?1+2k ? 化简得 m = , 2 4k +1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

代入①式得 2k >0,∴k≠0, ?1+2k ? 4k 4 2 又m= =1+ 2 =1+ . 2 4k +1 4k +1 4 1 2+ 4
2 2 4

2

k

k

∵k≠0,∴m >1,∴m>1 或 m<-1.

2

y 4 2 8.[2016?冀州中学预测]已知 F1、F2 是双曲线 x - =1 的两个焦点,离心率等于 的 15 5
椭圆 E 与双曲线 x - =1 的焦点相同,动点 P(m,n)满足|PF1|+|PF2|=10,曲线 M 的方程 15
2

2

y2

4

为 + =1. 2 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)判断直线 mx+ny=1 与曲线 M 的公共点的个数,并说明理由;当直线 mx+ny=1 与 曲线 M 相交时,求直线 mx+ny=1 截曲线 M 所得弦长的取值范围. 解 (1)∵F1、F2 是双曲线 x - =1 的两个焦点, 15
2

x2 y2

y2

∴不妨设 F1(-4,0),F2(4,0). ∵椭圆 E 与双曲线 x - =1 的焦点相同, 15 ∴设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),
2

y2

x2 y2 a b

c=4, ? ?c 4 根据已知得? = , a 5 ? ?b =a -c ,
2 2 2

c=4, ? ? 解方程组得?a=5, ? ?b2=9.

∴椭圆 E 的方程为 + =1. 25 9 (2)∵动点 P(m,n)满足|PF1|+|PF2|=10, ∴P(m,n)是椭圆 E 上的点.∴ + =1. 25 9 ∵ + ≤ + = 25 9 9 9

x2

y2

m2

n2

m2

n2 m2 n2 m2+n2
9

,∴m +n ≥9.

2

2

∵曲线 M 是圆心为(0,0),半径 r= 2的圆, 圆心(0,0)到直线 mx+ny=1 的距离 d= 两个公共点. 设直线 mx+ny=1 截曲线 M 所得弦长为 l,则 l=2 ∵ + ≤ + =1, 25 25 25 9
2 2 2 2

1 ≤ < 2, ∴直线 mx+ny=1 与曲线 M 有 m +n 3
2 2

1

2-

1 . m +n2
2

m2

n2

m2

n2

∴m +n ≤25.∴9≤m +n ≤25. ∴ ∴ ∴ 1 1 1 17 1 49 ≤ 2 ≤2- 2 ≤ . 2≤ ,∴ 25 m +n 9 9 m +n2 25 17 ≤ 3 2- 1

m2+n2 5

7 ≤ .

2 17 14 ≤l≤ . 3 5

∴直线 mx+ny=1 截曲线 M 所得弦长的取值范围为?

?2 17 14? , ?. 5? ? 3
2

9.[2016?衡水二中期中]如图所示,已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 l 经过点
5

F 且与抛物线 C 相交于 A,B 两点.

(1)若线段 AB 的中点在直线 y=2 上,求直线 l 的方程; (2)若线段|AB|=20,求直线 l 的方程. 解 (1)由已知得焦点坐标为 F(1,0).因为线段 AB 的中点在直线 y=2 上,所以直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x0,y0),

x +x ? ?x = 2 , 则? y +y ? ?y = 2 .
1 2 0 1 2 0

? ?y1=4x1, 由? 2 ?y2=4x2, ?

2



(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以 2y0k=4. 又 y0=2,所以 k=1,故直线 l 的方程是 y=x-1. (2)设直线 l 的方程为 x=my+1,与抛物线方程联立得? -4=0,所以 y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ =16(m +1)>0. |AB|= m +1|y1-y2| = m +1? ?y1+y2? -4y1y2 = m +1? ?4m? -4??-4?=4(m +1). 所以 4(m +1)=20,解得 m=±2, 所以直线 l 的方程是 x=±2y+1, 即 x±2y-1=0. 10.[2016?枣强中学模拟]已知点 A、B 的坐标分别是(-1,0)、(1,0).直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜率之积为-2. (1)求动点 M 的轨迹方程;
2 2 2 2 2 2 2 2

? ?x=my+1, ?y =4x, ?
2

消元得 y -4my

2

?1 ? (2)若过点 N? ,1?的直线 l 交动点 M 的轨迹于 C、D 两点,且 N 为线段 CD 的中点,求 ?2 ?

6

直线 l 的方程. 解 (1)设 M(x,y).

因为 kAM?kBM=-2,所以
2 2

y y ? =-2(x≠±1), x+1 x-1

化简得 2x +y =2(x≠±1),即为动点 M 的轨迹方程. (2)设 C(x1,y1),D(x2,y2). 1 6? ? 1 6? ?1 当直线 l⊥x 轴时,直线 l 的方程为 x= ,则 C? , ?,D? ,- ?,此时线段 CD 的 2 2? ?2 2 ? ?2 中点不是点 N,不合题意.

? 1? 故设直线 l 的方程为 y-1=k?x- ?. ? 2?
将 C(x1,y1),D(x2,y2)代入 2x +y =2(x≠±1),得 2x1+y1=2,① 2x2+y2=2.② ①-②整理得 k=
2 2 2 2 2 2

y1-y2 2?x1+x2? 2?1 =- =- =-1. x1-x2 y1+y2 2

? 1? 所以直线 l 的方程为 y-1=-?x- ?, ? 2?
即 2x+2y-3=0. 11.[2016?衡水二中期末]已知定点 G(-3,0),S 是圆 C:(x-3) +y =72 上的动点,
2 2

SG 的垂直平分线与 SC 交于点 E,设点 E 的轨迹为 M.
(1)求 M 的方程; (2)是否存在斜率为 1 的直线 l,使得 l 与曲线 M 相交于 A,B 两点,且以 AB 为直径的 圆恰好经过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)由题意,知|EG|=|ES|,∴|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6 2,

又|GC|=6<6 2,∴点 E 的轨迹是以 G,C 为焦点,长轴长为 6 2的椭圆. 故动点 E 的轨迹 M 的方程为 + =1. 18 9 (2)假设存在符合题意的直线 l 与椭圆 M 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其方程为 y =x+m,

x2

y2

y=x+m, ? ? 2 2 由? x y + =1, ? ?18 9
2 2

消去 y,化简得 3x +4mx+2m -18=0.

2

2

∵直线 l 与椭圆 M 相交于 A,B 两点, ∴Δ =16m -12(2m -18)>0, 化简得 m <27,解得-3 3<m<3 3, 4m 2?m -9? ∴x1+x2=- ,x1x2= . 3 3 ∵以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点,
2 2

7

→ → ∴OA?OB=0,∴x1x2+y1y2=0, 又 y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m , 4?m -9? 4m 2 ∴x1x2+y1y2=2x1x2+m(x1+x2)+m = - +m =0, 3 3
2 2 2 2

解得 m=±2 3,由于±2 3∈(-3 3,3 3), ∴符合题意的直线 l 存在,所求的直线 l 的方程为

y=x+2 3或 y=x-2 3.
12.[2016?武邑中学猜题]已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 → →

x2 y2 a b

6 ,F 为椭圆在 3

x 轴正半轴上的焦点,M,N 两点在椭圆 C 上,且MF=λ FN(λ >0),定点 A(-4,0).

→ → (1)求证:当 λ =1 时,MN⊥AF; → → 106 (2)若当 λ =1 时有AM?AN= ,求椭圆 C 的方程; 3 → → (3)在(2)的条件下,M,N 两点在椭圆 C 上运动,当AM?AN?tan∠MAN 的值为 6 3时, 求出直线 MN 的方程. 解 (1)证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2),F(c,0), → → 则MF=(c-x1,-y1),FN=(x2-c,y2), → → 当 λ =1 时,MF=FN,∴-y1=y2,x1+x2=2c, 由 M,N 两点在椭圆上,

? y1? 2 2? y2? 2 2 ∴x =a ?1- 2?,x2=a ?1- 2?,∴x1=x2. ? b? ? b?
2 1 2

2

2

若 x1=-x2,则 x1+x2=0≠2c(舍去), ∴x1=x2,

8

→ → → → ∴MN=(0,2y2),AF=(c+4,0),MN?AF=0, → → ∴MN⊥AF.

b? ? b? ? (2)当 λ =1 时,不妨设 M?c, ?,N?c,- ?, a? ? a? ?
→ → b4 106 c 6 2 ∴AM?AN=(c+4) - 2= ,∵ = . a 3 a 3 3 2 c 2 2 ∴a = c ,b = , 2 2 5 2 106 ∴ c +8c+16= , 6 3 ∴c=2,a =6,b =2, 故椭圆 C 的方程为 + =1. 6 2 → → (3)因为AM?AN?tan∠MAN=2S△AMN=|AF||yM-yN|=6 3, 由(2)知点 F(2,0),所以|AF|=6,即得|yM-yN|= 3. 2b 2?2 当 MN⊥x 轴时,|yM-yN|=|MN|= = ≠ 3, a 6 故直线 MN 的斜率存在,不妨设直线 MN 的方程为 y=k(x-2)(k≠0).
2 2 2 2

2

2

x2 y2

y=k?x-2?, ? ? 2 2 联立?x y + =1, ? ?6 2 yM+yN=-

得(1+3k )y +4ky-2k =0,
2

2

2

2

4k 2k 2,yM?yN=- 2, 1+3k 1+3k 24k +24k = 3,解得 k=±1. 2 1+3k 能力组
4 2

∴|yM-yN|=

此时,直线 MN 的方程为 x-y-2=0 或 x+y-2=0.

13.[2016?冀州中学仿真]已知 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点, 以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 M,与双曲线交于点 N(设点 M、N 均在 第一象限),当直线 MF1 与直线 ON 平行时,双曲线的离心率的取值为 e0,则 e0 所在的区间为 ( ) A.(1, 2) C.( 3,2) 答案 A B.( 2, 3) D.(2,3)

x2 y2 a b

9

解析

x +y =c , ? ?x y 由? - =1, a b ? ?x>0,y>0
2 2 2 2

2

2

2

可得 N?

?a b2+c2 b2? , ?, c? ? c

? ? b 由?y= x, a ? ?x>0,y>0
∵MF1∥ON, ∴

x2+y2=c2,
可得 M(a,b),又 F1(-c,0),则 kMF1=

b

a+c

,kON=

b2 , a b2+c2

b2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 ,∴a b +c =b(a+c),又 b =c -a ,∴2a c-c =2ac -2a ,∴ a+c a b2+c2 b

2 3 2 2

2e0-e0=2e0-2,设 f(x)=x +2x -2x-2,f′(x)=3x +4x-2,当 x>1 时,f′(x)>0, 所以 f(x)在(1,+∞)上单调递增,即 f(x)在(1,+∞)上至多有 1 个零点,f(1)=1+2-2 -2<0,f( 2)=2 2+4-2 2-2>0,∴1<e0< 2.故选 A. 14.[2016?武邑中学预测]已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点(左、右焦 点分别为 F1、 F2), 它们在第一象限的交点为 P, △PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形. 若|PF1| =10,椭圆与双曲线的离心率分别为 e1,e2,则 e1e2 的取值范围是( A.(0,+∞) )

3

?1 ? B.? ,+∞? ?3 ? ?1 ? D.? ,+∞? ?9 ?

?1 ? C.? ,+∞? ?5 ?
答案 B 解析

设 椭 圆 的 长 轴 长 为 2a , 双 曲 线 的 实 轴 长 为 2m , 焦 距 为 2c , 则 有 得|PF2|=a-m,又|PF2|=|F1F2|=2c,∴a-m=2c,又由 e1= ,e2

? ?|PF1|+|PF2|=2a, ? ?|PF1|-|PF2|=2m, ?

c a

= ,得 a= ,m= ,从而有 - =2c,得 e2= ,从而 e1e2=e1? = , m e1 e2 e1 e2 1-2e1 1-2e1 1-2e1

c

c

c

c

c

e1

e1

e2 1

?1-t?2 ? 2 ? 1 1 1 ? ? 1? 1 ? 由 e2>1,且 e2= ,可得 <e1< ,令 1-2e1=t,则 0<t< ,e1e2= = ?t+ -2?. 1-2e1 3 2 3 t 4? t ?
e1
1 1 1 4 ? 1? ?1? 又 f(t)=t+ -2 在?0, ?上为减函数,则 0<t< 时,f(t)>f? ?,∴0<t< 时,f(t)> ,故 t 3 3 3 ? 3? ?3?

e1e2> .
15.[2016?衡水二中模拟]如图,F 是椭圆的右焦点,以点 F 为圆心的圆过原点 O 和椭 圆的右顶点,设 P 是椭圆上的动点,点 P 到椭圆两焦点的距离之和等于 4.

1 3

10

(1)求椭圆和圆的标准方程; (2)设直线 l 的方程为 x=4,PM⊥l,垂足为 M,是否存在点 P,使得△FPM 为等腰三角 形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)由题意,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),由已知可得 2a=4,a=2c,
2 2 2

x2 y2 a b

解得 a=2,c=1,b =a -c =3.∴椭圆的标准方程为 + =1, 4 3 圆的标准方程为(x-1) +y =1. (2)设 P(x,y),则 M(4,y),F(1,0),其中-2≤x≤2,
2 2

x2 y2

x y 3 2 2 ∵P(x,y)在椭圆上,∴ + =1,∴y =3- x . 4 3 4
3 2 1 2 2 2 2 2 ∴|PF| =(x-1) +y =(x-1) +3- x = (x-4) , 4 4 3 2 2 2 2 2 2 |PM| =|x-4| ,|FM| =3 +y =12- x . 4 1 3 2 2 ①若|PF|=|FM|,则 (x-4) =12- x ,解得 x=-2 或 x=4(舍去),当 x=-2 时, 4 4

2

2

P(-2,0),此时 P、F、M 三点共线,不符合题意,∴|PF|≠|FM|;
1 2 2 ②若|PM|=|PF|,则(x-4) = (x-4) ,解得 x=4,不符合题意; 4 3 2 4 4 3 15 2 ③若|PM|=|FM|, 则(x-4) =12- x , 解得 x=4(舍去)或 x= , 当 x= 时, y=± , 4 7 7 7 3 15? ?4 ∴P? ,± ?,满足题意. 7 ? ?7 3 15? ?4 3 15? ?4 综上可得,存在点 P? , ?或? ,- ?,使得△FPM 为等腰三角形. 7 7 7 7 ? ? ? ? 16.[2016?枣强中学期末]如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A, 左,右焦点分别为 F1,F2,线段 OF1,OF2 的中点分别为 B1,B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角 三角形.

11

(1)求该椭圆的离心率和标准方程; (2)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2⊥QB2,求直线 l 的方程. 解 (1)设所求椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),右焦点为 F2(c,0).

x2 y2 a b

因为△AB1B2 是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,所以∠B1AB2 为直角,因此|OA|=|OB2|,

c c 2 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 则 b= ,又 c =a -b ,所以 4b =a -b ,故 a =5b ,c =4b ,所以离心率 e= = . 2 a 5
1 c 2 在 Rt△AB1B2 中,OA⊥B1B2,故 S△AB1B2= ?|B1B2|?|OA|=|OB2|?|OA|= ?b=b . 2 2 由题设条件 S△AB1B2=4 得 b =4,从而 a =5b =20. 因此所求椭圆的标准方程为 + =1. 20 4
2 2 2

x2

y2

(2)由(1)知 B1(-2,0),B2(2,0). 由题意知直线 l 的倾斜角不为 0, 故可设直线 l 的方程为 x=my-2. 代入椭圆方程得(m +5)y -4my-16=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1,y2 是上面方程的两根, 因此 y1+y2= → → → 16?m +1? 16m - 2 +16 m2+5 m +5
2 2 2 2

4m 16 ,y1?y2=- 2 . m2+5 m +5 →

又B2P=(x1-2,y1),B2Q=(x2-2,y2), 所以B2P?B2Q=(x1-2)(x2-2)+y1y2 =(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m +1)y1y2-4m(y1+y2)+16=- 16m -64 =- 2 , m +5 →
2 2 2



由 PB2⊥QB2,得B2P?B2Q=0, 即 16m -64=0,解得 m=±2.
12

所以满足条件的直线有两条,其方程分别为 x+2y+2=0 和 x-2y+2=0.

13


相关文档

【小初高学习】2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系对点训练理
2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系课件理
【K12教育学习资料】2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系课
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系课时练理082901119
专用2018年高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系课
专版2019版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系课
【K12教育学习资料】2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系对
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系对点训练理082901118
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系课件理082901224
2018高考数学复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系撬题理
电脑版