2012届高三数学一轮复习_第八章《平面解析几何》8-5精品练习

第8章 第5节

一、选择题

1.(文)( 2010·山东潍坊)已知焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线方程是 y=±4x,则该双曲线的离心率是 ( )

A. 17

B. 15

17 C. 4 [答案] C

15 D. 4

[解析]

设双曲线方程为ya22-bx22=1,则由题意得,ba=4,∴c2-a2a2=16,∴e=

17 4.

(理)(2010·河北唐山)过双曲线xa22-by22=1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段 OF(O 为原点)

的垂直平分线上,则双曲线的离心率为( )

A.2

B. 5

C. 2

D. 3

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[答案] C

[解析] 如图,FM⊥l,垂足为 M,

∵M 在 OF 的中垂线上,

∴△OFM 为等腰直角三角形,∴∠MOF=45°,

即ba=1,∴e= 2.

2.(2010·全国Ⅰ文)已知 F1、F2 为双 曲线

-y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60°,则

|PF1|·|PF2|=( )

A.2

B.4

C.6

D.8

[答案] B

[解析] 在△F1PF2 中,由余弦定理

cos60°=|PF1|2+2|P|PFF12|·||2P-F2|F| 1F2|2





-|F1F2|2+2|PF1|·|PF2|

2|PF1|·|PF2|

=24|Pa2F-1||P4cF22|+1=|PF-1|2·|bP2F2|+1,

∵b=1,∴|PF1|·|PF2|=4.

3.(文)(2010·合肥市)中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线 C 的两条渐近线与圆(x-2)2+y2=1 都相切,

则双曲线 C 的离心率是( )

A.23 3或 2

B.2 或 3

C.

3或

6 2

2 D.

3

3或

6 2

[答案] A

[解析] 焦点在 x 轴 上时,由条件知ba= 13,∴c2-a2a2=13,∴e=ca=2 3 3,同理,焦点在 y 轴上时,ba= 3,

此时 e=2.

(理)已知 F1、F 2 是双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)的两个焦点,以线段 F1F2 为边作正△MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为( )

A.4+2 3 3+1
C. 2 [ 答案] D

B. 3-1 D. 3+1

[解析] 设线段 MF1 的中点为 P,由已知△F1PF2 为有一锐角为 60°的直角三角形,

∴|PF1|、|PF2|的长度分别为 c 和 3c.

由双曲线的定义知:( 3-1)c=2a,

∴e= 32-1= 3+1.

4.已知椭圆3xm22+5yn22=1 和双曲线2xm22-3yn22=1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为( )

A.x=±

15 2y

B.y=±

15 2x

C.x=±

3 4y

D.y=±

3 4x

[答案] D

[解析] 由题意 c2=3m2-5n2=2m2+3n2,

∴m2=8n2,

∴双曲线渐近线的斜率 k=±

3|n| =± 2|m|

3 4.

方程为

y=±

3 4 x.

5.(文)(20 10·湖南师大附中模拟)已知双曲线xm2-y72=1,直线 l 过其左焦点 F1,交双曲线左支于 A、B 两

点,且|AB|=4,F2 为双曲线的右焦点,△ABF2 的周长为 20,则 m 的值为( )

A.8

B.9

C.16

D.20

[答案] B

[解析] 由已知,|AB|+|AF2|+|BF2|=20,又|AB|=4,则|AF2|+|BF2|=16.

据双曲线定义,2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|,所以 4a=|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16-4=12,即 a

=3,所以 m=a2=9,故选 B.

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(理)(2010·辽宁锦州)△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B??-m2 ,0??,C??m2 ,0??(其中 m>0,且 m 为常数),
且满足条件 sinC-sinB=12sinA,则动点 A 的轨迹方程为( )

A.1m6y22-136mx22=1

B.1x62-1y26=1 3

C.1m6x22-136my22=1(x>m4 ) [答案] C

D.1m6x22-136my22=1

[解析] 依据正弦定理得:|AB|-|AC|=12|BC|=m2 <|BC|

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∴点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支,且 a=m4 ,c=m2 ,∴b2=c2-a2=31m62

∴双曲线方程为1m6x22-136my22=1(x>m4 )

6.设双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)的两焦点为 F1、F2,点 Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点,过 F1 作

∠F1QF2 的平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹是( )

A.椭圆的一部分

B.双曲线的一部分

C.抛物线的一部分

D.圆的一部分

[答案] D

[解析] 延长 F1P 交 QF2 于 R,则|QF1|=|QR|.

∵|QF2|-|QF1|=2a,∴|QF2|-|QR|=2a=|RF2|,

又|OP|=12|RF2|,∴|OP|=a.

7.(文)(2010·温州市十校)已知点 F 是双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线 的右顶点, 过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取

值范围是( )

A.(1,+∞)

B.(1,2)

C.(1,1+ 2)

D.(2,1+ 2)

[答案] B

[解析] 由题意易知点 F 的坐标为(-c,0),A??-c,ba2??,B??-c,-ba2??,E(a,0),因为△ABE 是锐角三角形,

所以E→A·E→B>0,即E→A·E→B=??-c-a,ba2??·??-c-a,-ba2??>0,整理得 3e2+2e>e4,∴e(e3-3e-3+1)<0,

∴e(e+1)2(e-2)<0,解得 e∈(0,2),又 e>1,∴e∈(1,2),故选 B.

(理)(2010·浙江杭州质检)过双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 引它的渐近线的垂线,垂足为 M,延

长 FM 交 y 轴于 E,若 FM=ME,则该双曲线的离心率为( )

A.3

B.2

C. 3

D. 2

[答案] D

学.科.

[解析] 由条件知 l:y=bax 是线段 FE 的垂直平分线,∴|OE|=|OF|=c,又|FM|= a|2b+c| b2=b,

∴在 Rt△OEF 中,2c2=4b2=4(c2-a2),

∵e=ca>1,∴e= 2.

8.若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( )

A.??-

315,

15? 3?

C.??- 315,0??

[答案] D

B.??0,

15? 3?

D.??- 315,-1??

[解析] 直线与双曲线右支相切时,k=- 315,直线 y=kx+2 过定点(0,2),当 k=-1 时,直线与双曲线

渐近线平行,顺时针旋转直线 y=-x+2 时,直线与双曲线右支有两个交点,

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∴- 315<k<-1. 9.(文)(2010·福建理)若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线xa22-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右

支上的任意一点,则O→P·F→P的取值范围为( )

A.[3-2 3,+∞) C.[-74,+∞) [答案] B

B.[3+2 3,+∞) D.[74,+∞)

[解析] 由条件知 a2+1=22=4,∴a2=3, ∴双曲线方程为x32-y2=1.

设 P 点坐标为(x,y),则O→P=(x,y),F→P=(x+2,y),

∵y2=x32-1,∴O→P·F→P=x2+2x+y2 =x2+2x+x32-1=43x2+2x-1 =43(x+34)2-74. 又∵x≥ 3(P 为右支上任意一点)

∴O→P·F→P≥3+2 3.故选 B.

(理)(2010·新课标全国理)已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B

两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( )

A.x32-y62=1

B.x42-y52=1

C.x62-y32=1

D.x52-y42=1

[答案] B

[解析] 设双曲线的方程为xa22-yb22=1(a>0,b>0),由题意知 c=3,a2+b2=9,设 A(x1,y1),B(x2,y2)

?xa122-yb122=1
则有:
??xa222-yb222=1

,两式作差得:yx11--yx22=

+ +

=45ba22,∵kAB=xy11- -xy22,且 kAB=- -1152--03

=1,所以 4b2=5a2 代入 a2+b2=9 得 a2=4,b2=5,所以双曲线标准方程是x42-y52=1,故选 B.

10.(文)过椭圆xa22+by22=1(a>b>0)的焦点垂直于 x 轴的弦长为12a,则双曲线xa22-by22=1 的离心率 e 的值是

()

5 A.4
3 C.2 [答案] B

5 B. 2
5 D. 4

[解析] 将 x=c 代入椭圆方程得,ca22+by22=1,
∴y2=??1-ca22??×b2=a2-a2c2×b2=ba22×b2,∴y=±ba2.
∴ba2=14a,∴b2=14a2,e2=ca22=a2+a214a2=54,

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∴e= 25,故选 B. (理)(2010·福建宁德一中)已知抛物线 x2=2py(p>0)的焦点 F 恰好是双曲线ya22-xb22=1 的一个焦点,且两条

曲线交点的连线过点 F,则该双曲线的离心率为( )

A. 2

B.1± 2

C.1+ 2

D.无法确定

[答案] C

[解析] 由题意知p2=c,根据圆锥曲线图象的对称性,两条曲线交点的连线垂直于 y 轴,对双曲线来说, 这两个交点连线的 长度是2ba2,对抛物线来说,这两个交点连线的长度是 2p,∵p=2c,2ba2=4c,∴b2= 2ac,

∴c2-a2=2ac,∴e2-2e-1=0,解得 e=1± 2,

∵e>1,∴e=1+ 2.

二、填空题

11.(文)(2010·广东实验中学)已知 P 是双曲线xa22-y92=1 右支上的一点,双曲线的一条渐近线的方程为 3x -y=0.设 F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3,则|PF1|=________.

[答案] 5

[解析] 由双曲线的一条渐近线的方程为 3x-y=0 且 b=3 可得:a=1,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=

2a,

∴|PF1|-3=2,∴|PF1|=5.

(理)(2010·东营质检)已知双曲线x92-ya2=1 的右焦点为( 13,0),则该双曲线的渐近线方程为________. [答案] y=±23x

[解析] 由题意知 9+a=13,∴a =4,

故双曲线的实半轴长为 a′=3,虚半轴长 b′=2,

学#科#网 Z#X#X#K]

从而渐近线方程为 y=±23x. 12.(2010·惠州市模考)已知双曲线xa22-y2=1(a>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 焦点重合,则此双曲线的渐近

线方程是________.

[答案]

y=±

3 3x

Z*xx*k

[解析] y2=8x 焦点是(2,0),

∴双曲线xa22-y2=1 的半焦距 c=2,

又虚半轴 b=1,

又 a>0,∴a= 22-12= 3,

∴双曲线渐近线的方程是

y=±

3 3 x.

13.(2010·北京东城区)若双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1 ,F2,P 为双曲线上一点,且|PF1|

=3|PF2|,则该双曲线离心 率的取值范围是________.

[答案] 1<e≤2

[解析]

由题意???|PF1|-|PF2|=2a , ??|PF1|=3|PF2|

∴???|PF1|=3a , ??|PF2|=a

∵|PF1|≥|AF1|,∴3a≥a+c, ∴e=ca≤2,∴1<e≤2. 14.下列有四个命题:

Z#xx#k

①若 m 是集合{1,2,3,4,5}中任 取的一个值,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为 mx -y=0,则双曲线的离心率小于 4 的概率为35.

②若双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= 3x,且其一个焦点与抛物线 y2=8x 的焦点重合, 则双曲线的离心率为 2;

③将函数 y=cos2x 的图象向右平移π6个单位,可以得到函数 y=sin??2x-π6??的图象;

④在 Rt△ABC 中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,则△ABC 的外接圆半径 r= a22+b2;类比到空间,若三

棱锥 S-ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,且长度分别为 a、b、c,则三棱锥 S-ABC 的外接

球的半径 R=

a2+b2+c2

2

.

其中真命题的序号为________.(把你认为是真命题的序号都填上)

[答案] ①②④

[解析] ①设双曲线方程为 m2x2-y2=1, ∵a2=m12,b2=1,c2=a2+b2=mm2+2 1 ∴e=ca= m2+1<4,∴m< 15 ∴m 取值 1、2、3

故所求概率为35,故①正确.

②根据双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y=

3x,可得ba=

3,因此离心率 e=ca=

a2+b2 a



a2+ a

3

=2,②正确;

③函数 y=cos2x 的图象向右平移π6个单位得 y=cos2(x-π6)=cos(2x-π3)=sin[π2+(2x -π3)]=sin(2x+π6)的图

象,③错误;

④将三棱锥 S-ABC 补成如图的长方体,可知三棱锥 S-ABC 外接球的直径就等于该长方体的体对角线的 长,则 R= a2+2b2+c2,④正确.

三、解答题 15.(文)已知双曲线的中心在原点,离心率为 2,一个焦点 F(-2,0) (1)求双曲线方程; (2)设 Q 是双曲线上一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M,若|M→Q|=2|Q→F|,求直线 l 的方程. [解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为

xa22-by22=1(a>0,b>0) 则有 e=ca=2,c=2,∴a=1,则 b= 3 ∴所求的双曲线方程为 x2-y32=1. (2)∵直线 l 与 y 轴相交于 M 且过焦点 F(-2,0) ∴l 的斜率 k 一定存在,设为 k,则 l:y=k(x+2) 令 x=0 得 M(0,2k)
∵|M→Q|=2|Q→F|且 M、Q、F 共线于 l
∴M→Q=2Q→F或M→Q=-2Q→F 当M→Q=2Q→F时,xQ=-43,yQ=23k
∴Q??-43,23k??,
∵Q 在双曲线 x2-y32=1 上, ∴196-42k72=1,∴k=± 221, 当M→Q=-2Q→F时, 同理求得 Q(-4,-2k)代入双曲线方程得, 16-43k2=1,∴k=±32 5 则所求的直线 l 的方程为: y=± 221(x+2)或 y=±3 2 5(x+2) (理)(2010·湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程;
(2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且O→A·O→B>2(其中 O 为原点),求 k 的取 值范围. [解析] (1)设双曲线xa22-yb22=1, 由已知得 a= 3,c=2,再由 a2+b2=22 得,b2=1, 故双曲线 C 的方程为x32-y2=1. (2)将 y=kx+ 2代入x32-y2=1 中得,

(1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由 直线 l 与双曲线交于不同的两点得

?1-3k2≠0

??Δ= 2 +









∴k2≠13且 k2<1① 设 A(xA,yA),B(xB,yB), 则 xA+xB=16-32kk2,xAxB=1--39k2 由O→A·O→B>2 得,xAxB+yAyB>2,

xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2)(kxB+ 2)

=(k2+1)xAxB+ 2k(xA+xB)+2

=(k2+1)·1--39k2+ 2k·16-32kk2+2=33kk22+-71 于是33kk22-+17>2,即-33kk22-+19>0,

解此不等式得13<k2<3②

由①②得13<k2<1,∴

3 3 <k<1

或-1<k<-

3 3.

故 k 的取值范围为??-1,- 33??∪?? 33,1??.

16.(2010·江苏苏州模拟)已知二次曲线 Ck 的方程:9x-2k+4y-2k=1.

(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件;

(2)若双曲线 Ck 与直线 y=x+1 有公共点且实轴最长,求双曲线方程;

(3)m、n 为正整数,且 m<n,是否存在两条曲线 Cm、Cn,其交点 P 与点 F1(- 5,0),F2( 5,0)满足P→F1·P→F2 =0? 若存在,求 m、n 的值;若不存在,说明理由.

[解析] (1)当且仅当?????94- -kk>>00 ,即 k<4 时,方程表示椭圆. 当且仅当(9-k)(4-k)<0,即 4 <k<9 时,方程表示双曲线.

??y=x+1 (2)解法一:由???9x-2k+4y-2k=1 化简得,

(13-2k)x2+2(9-k)x+(9-k)(k-3)=0

∵Δ≥0,∴ k≥6 或 k≤4(舍)

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∵双曲线实轴最长,∴k 取最小值 6 时,9-k 最大即双曲线实轴最长, 此时双曲线方程为x32-y22=1. 解法二:若 Ck 表示 双曲线,则 k∈(4,9),不妨设双曲线方程为xa22-5-y2a2=1,
??y=x+1 联立???xa22-5-y2a2=1 消去 y 得,

(5-2a2)x2-2a2x-6a2+a4=0 ∵Ck 与直线 y=x+1 有公共点, ∴Δ=4a4-4(5-2a2)(a4-6a2)≥0, 即 a4-8a2+15≥0,∴a2≤3 或 a2≥5(舍), ∴实轴最长的双曲线方程为x32-y22=1. 解法三:双曲线9x-2k+4y-2k=1 中 c2=(9-k)+(k-4)=5,∴c= 5,∴F1(- 5,0),不妨先求得 F1(- 5, 0)关于直线 y=x+1 的对称点 F(-1,1- 5), 设直线与双曲线左支交点为 M,则 2a=|MF2|-|MF1|=|MF2|-|M F|≤|FF2|

= -1- 5 + - 5 =2 3

∴a≤ 3,∴实轴最长的双曲线方程为x32-y22=1. (3)由(1)知 C1、C2、C3 是椭圆,C5、C6、C7、C8 是双曲线,结合图象的几何性质,任意两椭圆之间无公 共点,任意两双曲线之间也无公共点 设|PF1|=d1,|PF2|=d2,m∈{1,2,3},n∈{5,6,7,8}

则根据椭圆、双曲线定义及P→F1·P→F2=0(即 PF1⊥PF2),应有

?d1+d2=2 9-m ?|d1-d2|=2 9-n ?d12+d22=20

,所以 m+n=8.

所以这样的

Cm、Cn

存在,且???m=1 ??n=7

或???m=2 ??n=6

或???m=3 ??n=5

.

17.(文)(2010·全国Ⅱ文)已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C:xa22-by22=1(a>0,b>0)相交于 B、D 两点,且 BD 的中点为 M(1,3).

(1)求 C 的离心率;

(2)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF|·|BF|=17,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.



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[解析] (1)由题意知,l 的方程为:y=x+2,

代入 C 的方程并化简得,

(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0

设 B(x1,y1),D(x2,y2), 则 x1+x2=b24-a2a2,x1·x2=-4ab22+-aa22b2① 由 M(1,3)为 BD 的中点知x1+2 x2=1,故12×b24-a2a2=1 即 b2=3a2②

故 c= a2+b2=2a, ∴C 的离心率 e=ca=2. (2)由②知,C 的方程为 3x2-y2=3a2, A(a,0),F(2a,0),x1+x2=2,x1·x2=-4+23a2<0 , 故不妨设 x1≤-a,x2≥a,

|BF|=

- +y12=

- +3x12-3a2=a-2x1,

|FD|=

- +y22=

|BF|·|FD|=(a-2x1)(2x2-a)

- +3x22-3a2=2x2-a,

=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8.

Z§xx§k

又|BF|·|FD|=17,故 5a2+4a+8=17,

解得 a=1,或 a=-95.

故|BD|= 2|x1-x2|= 2

+ -4x1·x2=6

连结 MA,则由 A(1,0),M(1,3)知|MA|=3,

从而 MA=MB=MD,∠DAB=90°,

因此以 M 为圆心,MA 为半径的圆过 A、B、D 三点,且在点 A 处与 x 轴相切,

所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. (理)(2010·广东理)已知双曲线x22-y2=1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲 线上不同的两个动点.

(1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程;

(2)若过点 H(0,h)(h>1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1⊥l2.求 h 的值.

[分析] (1)由条件写出直线 A1P 与 A2Q 的方程,两式相乘后消去 x1,y1 得交点 E 的方程;

(2)l1,l2 与 E 只有一个交点,写出 l1 与 l2 的方程与曲线 E 的方程联立,运用 Δ=0 求解.

[解析] (1)由条件知|x1|> 2,∵A1、A2 为双曲线的左、右顶点∴,A1(- 2,0),A2( 2,0).

y=xy11+-02(x+ 2),

=-x1y-1-20(x- 2),

两式相乘得 y2=x-12y-122(x2-2),①

而点 P(x1,y1)在双曲线上,所以x212-y12=1,

即x1y21-2 2=12,代入①式,整理得,

x22+y2=1.

∵|x1|> 2,∴点 A1(- 2,0),A2( 2,0)均不在轨迹 E 上,又双曲线的渐近线方程为 y=± 22x,故过点

(0,1)和 A2( 2,0)的直线与双曲线仅有一个交点 A2( 2,0),故点(0,1)不在轨迹 E 上,同理点(0,-1)也不

在轨迹 E 上,∴轨迹 E 的方程为x22+y2=1(x≠± 2,且 x≠0).

(2)设

=kx+h,则由 l1⊥l2 知,

=-1kx+h.



=kx+h 代入x22+y2=1 得

x22+(kx+h)2=1,即(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0,

由 l1 与 E 只有一个交点知,Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,

∴1+2k2=h2.

同理,由 l2 与 E 只有一个交点知,1+2·k12=h2, 消去 h2 得k12=k2, 即 k2=1,从而 h2=1+2k2=3,即 h= 3.

又分别过 A1、A2 且互相垂直的直线与 y 轴正半轴交于点(0, 2),∴h= 2符合题意,综上知 h= 2或 3.


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