2013自主招生数学培训讲义01

不及硅步,无以至千里

2012 年自主招生试题分析
2012 北约自主招生数学试题

2012 北京大学保送生测试数学试题

2013 自主招生 培训

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不及硅步,无以至千里

2012 华约自主招生考试部分试题

2013 自主招生考试专题一: 集合与函数(一)
【知识要点】 1. 集合:

?U ( A U B ) = ?U A I ?U B, ?U ( A I B) = ?U A U ?U B
容斥原理: 令 A 表示集合 A 的元素个数, 则

UA
i =1

n

i

=

1?i ? m

?

Ai -

1?i < j ? m

?

Ai I Aj +

1?i < j < k ? m

?

Ai I Aj I Ak - L + (-1) m -1

1?i ? m

I

Ai .

2. 函数: (1) 函数的解析式,定义域,值域;
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(2) 函数的图像与性质; (3) 函数的最值问题; (4) 简单的函数方程; (5) 函数的迭代; (6) 函数的不动点问题; (7) 方程的根的问题. 【例题讲解】 1. 已知 x ? R, y ? R + ,集合 A = {x 2 + x + 1, - x, - x - 1}, B = {- y, 则 x 2 + y 2 的值为___________________。 2. (2010,复旦)设集合 X 是实数集 R 的子集,如果 x0 ? R 满足:对任意 a > 0 ,都存在

y , y + 1} 。若 A = B , 2

x ? R ,使得 0 <| x - x0 |< a ,那么称 x0 为集合 X 的聚点。则在下列集合:
①í

ì n ü ì1 ü n ? Z , n ? 0 ? ,② R\{0} ,③ í n ? Z , n ? 0 ? ,④整数集 Z 中,以 0 为聚点的集 ? n +1 ? ?n ?
) C. ①③
1004 k =1

合有(

A. ②③ B. ①④ 3. 设集合 S = í y y =

D. ①②④

ì ?

?x

2 k -1 2 k

x , x1 , x2 ,L , x2008 ?

{

ü 2 - 1, 2 + 1 ? ,问 S 中不同的整数共 ?

}

有多少个?

4. 设实数 a , x, y 满足 í

ì x + y = 2a - 1,
2 2 2 ? x + y = a + 2a - 3.

求 xy 的最小值。

5. 设函数 f ( x) = ax + 8 x + 3( a < 0) 对于给定的负数 a ,有一个最大的数 L ( a ) ,使得在整
2

个区间 [0, L( a )] 上, | f ( x ) |? 5 恒成立。问 a 为何值时, L ( a ) 最大?求此最大值。

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6. (2010,华约)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x < 0 时, f ( x ) 单调递增,

p 设 j ( x) = sin 2 x + m cos x - 2m , 集合 M = {m | 对任意的 x ? [0, ] , f ( -1) = 0 。 j ( x ) < 0} , 2 p N = {m | 对任意的 x ? [0, ] , f (j ( x )) < 0} ,求 M I N 。 2

7. (2010,浙大)设集合 M = { x | f ( x ) = x} , N = { x | f ( f ( x )) = x} 。 (1)求证: M ? N ; (2)若 f ( x ) 是一个在 R 上的单调递增的函数,是否有 M = N ?若有,请证明。

8. 已知 f n ( x ) = 1 + x +

x2 xn + L + , ( n = 1, 2,3,L) 。求证:当 n 为偶数时, f n ( x ) = 0 无 2! n!

解;当 n 为奇数时, f n ( x ) = 0 有唯一解 xn ,且 xn + 2 < xn 。

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【巩固练习】 1. (2007,武大)某珠宝店失窃,甲乙丙丁四人涉嫌被拘审,四人的口供如下:甲:作案 的是丙;乙:丁是作案者;丙:如果我作案,那么丁是主犯;丁:作案的不是我。如果四人 中只有一个是假的,那么以下判断正确的是( A.说假话的是甲,作案的是乙 C.说假话的是乙,作案的是丙 )

B.说假话的是丁,作案的是丙和丁 D.说假话的是丙,作案的是丙

2. 设集合 A = {( x, y ) | log a x + log a y > 0}, B = {( x, y ) | y + x < a} ,若 A I B = ? ,则实 数 a 的取值范围是( A. ? ) C. 0 < a ? 2, a ? 1 ) C.有两个 D.有三个 ) D. 1 < a ? 2

B. a > 0, a ? 1

3. 方程 3 x 2 - e x = 0 的实根( A.不存在 4. 设 f ( x ) = A. B.有一个

1+ x ,记 f1 ( x) = f ( x) , f n +1 ( x) = f ( f n ( x)) ,则 f 2011 ( x) = ( 1- x
B.

1+ x 1- x

x -1 x +1

C. x

D. -

1 x

1 1 ( x + )6 - ( x 6 + 6 ) - 2 x x 5. 设 f ( x) = , x > 0 ,求 f ( x ) 的最小值。 1 3 1 3 (x + ) + x + 3 x x
6. (2003,复旦)定义闭集合 S,若 a, b ? S ,则 a + b ? S , a - b ? S 。 (1) 举一例,真包含于 R 的闭集合; (2) 求证:对任意两个闭集合 S1 , S 2 ? ? R ,存在 c ? R ,但 c ? S1 U S2 。 7. 函数 f ( x ) 的定义域为(0,1) ,对应法则为:

ì x, x ? Q 7 8 ? f ( x) = í p + 1 求 f ( x ) 在 ( , ) 上的最大值。 p * 8 9 ? q , x = q , p, q ? N , ( p, q) = 1, p < q. ?
8. 设 0 < a < 1 ,函数 f ( x ) = log a

x-3 , g ( x ) = 1 + log a ( x - 1) 的定义域的公共部分为 D,若 x+3

[ m, n] ? D , f ( x) 在 [ m, n] 上的值域是 [ g (n), g (m)] (m < n) ,求 a 的取值范围。
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