2010级高二下期数学检测试题一

2010 级高二下期数学检测试题一
班级 姓名 学号 总分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.①垂直于同一直线的两条直线平行;②垂直于同一直线的两个平面平行;③垂直于同一平面的两 条直线平行;④垂直于同一平面的两个平面平行.以上四个论断中正确的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D.4 2.设 l,m,n 均为直线,其中 m n 在平面 ? 内,则“ l ⊥? ”是“ l ⊥ m 且 l ⊥ n ”的 ( ) , A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是 A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n C. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n ( )

D. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? ( )

4.用与球心距离为 1 的平面去截面面积为 ? ,则球的体积为 A. 32?
3

B. 8?
3

C. 8 2?

D. 8 2?
3

5.记者要为 5 名志愿都和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排在两端, 不同的排法共有 ( ) A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种 6.某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 A. 12
125

4 ,那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 ( 5
D. 96
125

)

B. 16
125

C. 48
125

7.某班级要从 4 名男士、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那么不 同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 ( ) ( )

8.正四棱锥的侧棱长为 2 3 , 侧棱与底面所成的角为 60 ? , 则该棱锥的体积为 A.3
2x

B.6

C.9

D.18 ( (D)9 ) D. arccos ? ? 1 ?
? ? ? 4?

n 4 9.若(x+ 1 ) 的展开式中前三项系数成等差数,则展开式中 x 项的系数为

)

(A)6 A. arccos ? ?
? ? ? ? ? ? ?

(B)7 B. arccos ? ?
? ? ? ? ? ? ?

(C)8 C. arccos ? ? 1 ?
? ? ? 3?

10. 半径为 1 的球面上四点 A,B,C,D 是正四面体的顶点, A 与 B 两点间的球面距离为 ( 则
3 3 6 3

11.从编号为 1,2,?,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,则所取 4 球的最大号码是 6 的概率为( ) A. 1
84

B. 1
21

C. 2
5

D. 3
5

12.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, 1 在底面 ABC 内的射影为 △ ABC 的中心, A

则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于 A. 1
3

( D. 2
3



B.

2 3

C.

3 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置.

1 ? ? 13.若 ? 2 x 3 ? ? 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于 x? ?

n



14.甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有 4 个红 球,2 个白球,乙袋装有 1 个红球,5 个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的 两球是红球的概率为 . (答案用分数表示) 15.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动由 6 名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、 乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有 种.

16. 正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点,这些几何形体是 . ①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为等腰直角三角形, 有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 79 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题共 12 分)已知 ( x ? 求展开式中不含 x 的项.

1 n ) 的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是 14:3, 3x 2

π ,斜边 AB ? 4 . Rt△ AOC 可以通过 6 Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 是直二面角.动点 D 的斜边 AB 上. (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; A (II)当 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小; (III)求 CD 与平面 AOB 所成角的最大值.
18. (本小题共 12 分)如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ?

D

E

O C

B

19. (本小题共 12 分)设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为 (Ⅰ)若甲、乙各射击一次,求甲命中但乙未命中目标的概率; (Ⅱ)若甲、乙各射击两次,求两人命中目标的次数相等的概率.

3 4 和 ,且各次射击相互独立. 4 5

20. (本小题满分 12 分)如图,在六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,四边形 ABCD 是边长为 D1 2 的正方形,四边形 A1 B1C1 D1 是边长为 1 的正方形, DD1 ? 平面 A1 A1 B1C1 D1 , DD1 ? 平面 ABCD , DD1 ? 2 . (Ⅰ)求证: A1C1 与 AC 共面, B1 D1 与 BD 共面. (Ⅱ)求证:平面 A1 ACC1 ? 平面 B1 BDD1 ; D (Ⅲ)求二面角 A ? BB1 ? C 的大小(用反三角函数值表示) . A

C1 B1

C B

21. (本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. (Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面 A BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1D ? B 的大小; 1 (Ⅲ)求点 C 到平面 A BD 的距离. 1 B

A

A1

C

D

C1 B1

22. (本小题满分 14 分) 如图 6 所示,等腰 △ ABC 的底边 AB ? 6 6 ,高 CD ? 3 ,点 E 是线段 BD 上异于点 B,D 的动点, 点 F 在 BC 边上,且 EF ⊥ AB ,现沿 EF 将 △BEF 折起到 △PEF 的位置,使 PE ⊥ AE ,记

BE ? x , V ( x) 表示四棱锥 P ? ACFE 的体积.
(1)求 V ( x) 的表达式; (2)当 x 为何值时, V ( x) 取得最大值? (3)当 V ( x) 取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值. A C D F 图6

P

E

B

BABDB CABBC BB 13、7 14、
2 9

15、96

16①③④⑤

17、5 18.解法一: (I)由题意, CO ? AO , BO ? AO ,??BOC 是二面角 B ? AO ? C 的平面角, 又? 二面角 B ? AO ? C 是直二面角,? CO ? BO ,又? AO ? BO ? O ,? CO ? 平面 AOB , 又 CO ? 平面 COD .? 平面 COD ? 平面 AOB . (II)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图) ,则 DE ∥ AO , ??CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角.
2 2 在 Rt△COE 中, CO ? BO ? 2 ,OE ? BO ? 1 ,?CE ? CO ? OE ? 5 .又 DE ?

1 2

1 AO ? 3 . 2 A

? 在 Rt△CDE 中, tan CDE ?

CE 5 15 . ? ? DE 3 3
D

15 . ? 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan 3
(III)由(I)知, CO ? 平面 AOB ,

??CDO 是 CD 与平面 AOB 所成的角,且 tan CDO ?
当 OD 最小时, ?CDO 最大, 这时, OD ? AB ,垂足为 D , OD ?

OC 2 ? . OD OD
C

E

O

B

OA? OB 2 3 ? 3 , tan CDO ? , AB 3

? CD 与平面 AOB 所成角的最大值为 arctan
解法二: (I)同解法一.

2 3 . 3

0, 0, (II)建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图,则 O(0, 0) , A(0,2 3) , C (2, 0) , D(0, 3) , 0, 1 ,

z

??? ? ??? ? ?OA ? (0,2 3) , CD ? (?2, 3) , 0, 1 , ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA? CD 6 6 . ? cos ? OA, ?? ??? ??? ? CD ? ? ? 4 OA ?CD 2 3?2 2

A

D

? 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arccos
(III)同解法一

6 . 4
B y

O 3 19.解: (Ⅰ)设 A 表示甲命中目标, B 表示乙命中目标,则 A, B 相互独立,且 PCA) ? . x ( 4

P( B) ?

4 3 ? 4? 3 ,从而甲命中但乙未命中目标的概率为 P( AB) ? P( A) P( B) ? ? ?1 ? ? ? . 5 4 ? 5 ? 20

(Ⅱ)设 Ak 表示甲在两次射击中恰好命中 k 次, Bl 表示乙在两次射击中恰好命中 l 次.

?3? ?1? 依题意有 P( Ak ) ? C ? ? ? ? ?4? ? 4?
k 2

k

2? k

?4? ,k ? 0,2 , P( Bl ) ? C ? ? 1 , ?5?
l 2

l

?1? 1 , ? ? ,l ? 0,2 . ?5?

2 ?l

由独立性知两人命中次数相等的概率为 P( A0 B0 ) ? P( A B1 ) ? P( A2 B2 ) 1

?1? ?1? 1 3 1 1 4 1 2 ?3? 2 ?4? ? P( A0 ) P( B0 ) ? P( A1 ) P( B1 ) ? P( A2 ) P( B2 ) ? ? ? · ? ? ? C2 · · C2 · ? C2· ? ? · C2· ? ? · · 4 4 5 5 ? 4? ?5? ?4? ?5?
? 1 1 3 4 9 16 193 ? ? ? ? ? ? ? 0.4825 . 16 25 4 25 16 25 400

2

2

2

2

20.解法 1(向量法) : 以 D 为原点,以 DA DC,DD1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图, , 则有 A(2, 0) B(2, 0) C(0, 0) A (1 0,,B1 (11 2) C1 (0,2) D1 (0, 2) . 0,, 2,, 2,, 1 , 2) , ,, 1 ,, 0, (Ⅰ)证明:∵ AC1 ? (?11 0) AC ? (?2 2 0) D1B1 ? (11 0) DB ? (2,0) . , ,, , ,, , ,, 2, 1

???? ?

??? ?

?????

??? ?

D1 z

C1 B1
C B

??? ???? ? ??? ????? ? ??? ? ???? ??? ? ? ????? ? ∴ AC ? 2 AC1, ? 2D1B1 .∴ AC 与 AC1 平行, DB 与 D1B1 平行, DB 1 1
于是 AC1 与 AC 共面, B1D1 与 BD 共面. 1 (Ⅱ)证明: DD· AC ? (0 0 2) (?2 2 0) ? 0 , DB AC ? (2 2 0) (?2 2 0) ? 0 , · , · , , , , · , , , 1

A1
D

y

???? ??? ? ?

??? ??? ? ?

A

x

? ???? ??? ??? ???? ? ? ∴DD1 ? AC , DB ? AC .

DD1 与 DB 是平面 B1BDD1 内的两条相交直线.∴ AC ? 平面 B1BDD1 .
又平面 A ACC1 过 AC .∴ 平面 A1 ACC1 ? 平面 B1BDD1 . 1 (Ⅲ)解: AA ? (?1 0 2) BB1 ? (?1 ?1 2) CC1 ? (0 ?1 2) . , ,, , ,, ,, 1 设 n ? ( x1,y1,z1 ) 为平面 A ABB1 的法向量, n AA ? ? x1 ? 2z1 ? 0 , n BB1 ? ?x1 ? y1 ? 2z1 ? 0 . · 1 · 1

????

????

???? ?

????

????

0, 于是 y1 ? 0 ,取 z1 ? 1,则 x1 ? 2 , n ? (2,1) .
设 m ? ( x2,y2,z2 ) 为平面 B1BCC1 的法向量, m BB1 ? ?x2 ? y2 ? 2z2 ? 0 , m CC1 ? ? y2 ? 2z2 ? 0 . · ·

????

???? ?

2, 于是 x2 ? 0 ,取 z2 ? 1 ,则 y2 ? 2 , m ? (0,1) . cos m,n ?
1 ∴ 二面角 A ? BB1 ? C 的大小为 π ? arccos . 5

mn 1 · ? . m n 5

D1

C1 B1

解法 2(综合法)(Ⅰ)证明:∵ D1 D ? 平面 A1B1C1D1 , D1D ? 平面 ABCD . :

A1

D

F

M
C B

E
A

O

∴ D1D ? DA , D1D ? DC ,平面 A1B1C1D1 ∥平面 ABCD .于是 C1D1 ∥CD , D1 A1 ∥ DA .
, 设 E,F 分别为 DA DC 的中点,连结 EF,A E,C1F , 1
有 A E ∥ D1D C1F ∥ D1D DE ? 1 DF ? 1.∴ A E ∥C1F ,于是 AC1 ∥ EF . , , , 1 1 1 由 DE ? DF ? 1 ,得 EF ∥ AC ,故 AC1 ∥ AC , AC1 与 AC 共面. 1 1 过点 B1 作 B1O ? 平面 ABCD 于点 O ,则 B1O ∥A1E,B1O ∥C1F ,连结 OE,OF , 于是 OE ∥B1 A1 , OF ∥B1C1 ,∴ OE ? OF .

∵ B1 A1 ? A1D1 ,∴ OE ? AD .∵ B1C1 ? C1D1 ,∴ OF ? CD .
所以点 O 在 BD 上,故 D1B1 与 DB 共面. (Ⅱ)证明:∵ D1 D ? 平面 ABCD ,∴ D1D ? AC , 又 BD ? AC (正方形的对角线互相垂直) ,

D1D 与 BD 是平面 B1BDD1 内的两条相交直线,∴ AC ? 平面 B1BDD1 .
又平面 A ACC1 过 AC ,∴ 平面 A1 ACC1 ? 平面 B1BDD1 . 1 (Ⅲ)解:∵ 直线 DB 是直线 B1B 在平面 ABCD 上的射影, AC ? DB , 根据三垂线定理,有 AC ? B1B . 过点 A 在平面 ABB1 A 内作 AM ? B1B 于 M ,连结 MC,MO ,则 B1B ? 平面 AMC , 1 于是 B1B ? MC,B1B ? MO ,所以, ?AMC 是二面角 A ? B1B ? C 的一个平面角. 根据勾股定理,有 A A ? 5 C1C ? 5 B1B ? 6 . , , 1

∵OM ? B1B ,有 OM ?

2 10 10 B1O OB · 2 , BM ? , AM ? , CM ? . ? B1 B 3 3 3 3

cos ?AMC ?

1 AM 2 ? CM 2 ? AC 2 1 ? ? , ?AMC ? π ? arccos , 5 2 AM CM · 5
A F C O B D

1 . 5 21. 解法一: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .
二面角 A ? BB1 ? C 的大小为 π ? arccos

A1

? 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,

C1 B1

? AO ⊥ 平面 BCC1B1 .
连结 B1O ,在正方形 BB1C1C 中, O,D 分别为 BC,CC1 的中点,? B1O ⊥ BD ,? AB1 ⊥ BD . 在正方形 ABB1 A 中, AB1 ⊥ A B ,? AB1 ⊥平面 A BD . 1 1 1 (Ⅱ) AB1 与 A B 交于点 G , 设 在平面 ABD 中, GF ⊥ A1D 于 F , 作 连结 AF , (Ⅰ) AB1 ⊥平面 A1BD . 由 得 1 1

? AF ⊥ A1D ,?∠AFG 为二面角 A ? A1D ? B 的平面角.
在 △AA1D 中,由等面积法可求得 AF ?

1 4 5 ,又? AG ? AB1 ? 2 , 2 5

? sin ∠AFG ?

10 AG 2 10 .所以二面角 A ? A1D ? B 的大小为 arcsin . ? ? 4 AF 4 5 4 5

(Ⅲ) △A1BD 中, BD ? A1D ? 5,A1B ? 2 2, S△ A BD ? 6 , S△BCD ? 1 . ? 1 在正三棱柱中, A 到平面 BCC1B1 的距离为 3 .设点 C 到平面 A BD 的距离为 d . 1 1 由 VA1 ?BCD ? VC ? A1BD 得 S△ BCD ? 3 ? S△ A1BD ?d ,? d ? 解法二: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .

1 3

1 3

3S△BCD 2 2 ? .? 点 C 到平面 A BD 的距离为 . 1 S△ A1BD 2 2

? 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,? AD ⊥ 平面 BCC1B1 .
取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点,OB ,OO1 ,OA 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,

??? ?

???? ?

??? ?

, 0) , , 则 B(1 0, , D(?11 0) , A (0, 3) , A(0, 3) , B1 (1 2, , , 0) 0, 2, 1

???? ???? ??? ? 1 , ? AB1 ? (1 2, 3) , BD ? (?2,0) , BA1 ? (?1 2,3) . ,? , ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ?BA1 ? ?1? 4 ? 3 ? 0 , ???? ??? ???? ???? ? ? AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .? AB1 ⊥平面 A1BD .
(Ⅱ)设平面 A AD 的法向量为 n ? ( x,y,z ) . 1 C O B x D z A F

A1

C1
y

???? ???? AD ? (?11 ? 3) , AA1 ? (0,0) . , , 2,
???? ???? ? n ⊥ AD , n ⊥ AA1 ,

B1

???? ?n?AD ? 0, ?? x ? y ? 3z ? 0, ? y ? 0, ? ? ? ?? ?? ? ? ???? ? x ? ? 3z. ?n?AA1 ? 0, ?2 y ? 0, ? ? ?
令 z ? 1 得 n ? (? 3, 为平面 A AD 的一个法向量.由(Ⅰ)知 AB1 ⊥平面 A BD , 01) , 1 1

???? ???? ???? n?AB1 ? 3? 3 6 . ?? ? AB1 为平面 A1BD 的法向量. cos ? n , AB1 ?? ???? ? 4 2?2 2 n ? AB1

? 二面角 A ? A1D ? B 的大小为 arccos

6 . 4

(Ⅲ)由(Ⅱ) AB1 为平面 A BD 法向量, ? BC ? (?2,0) AB1 ? (1 2, 3) . , 0,, ,? 1

????

??? ?

????

??? ???? ? BC ?AB1 ?2 2 . ? 点 C 到平面 A1BD 的距离 d ? ???? ? ? 2 2 2 AB1
22. 由折起的过程可知, (1) PE⊥平面 ABC,S?ABC ? 9 6 ,
S ?BEF ? x2 6 2 ? S ?BDC ? x 54 12
P

A C

D E B F 图6

6 1 x (9 ? x 2 ) ( 0 ? x ? 3 6 ) V(x)= 3 12

(2)V '( x) ?

6 1 (9 ? x 2 ) ,所以 x ? (0, 6) 时,v '( x) ? 0 , 3 4

V(x)单调递增; 6 ? x ? 3 6 时 v '( x) ? 0 ,V(x)单调递减;因此 x=6 时,V(x)取得最大值 12 6 ; (3)过 F 作 MF//AC 交 AD 与 M,则
BM BF BE BE ? ? ? , MB ? 2 BE ? 12 ,PM= 6 2 , AB BC BD 1 AB 2

MF ? BF ? PF ?

6 3 6

BC ?

6 54 ? 9 ? 42 , 3

在△PFM 中, cos ?PFM ?

84 ? 72 2 2 ? ,∴异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值为 ; 42 7 7


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