2013-2014学年河南省周口市高一下学期期末考试数学试卷(带解析)

2013-2014 学年河南省周口市高一下学期期末考试数学试卷(带解析)
一、选择题 1.cos660 的值为( ). A. B. C. D.
o

【答案】C. 【解析】 试题分析: 考点:诱导公式,特殊角的三角函数值. 2.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示: 甲 平均环数 x 方差 s
2

乙 8.8 3.6

丙 8.8 2.2

丁 8.7 5.4

8.3 3.5

从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是( ). A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【答案】C. 【解析】 试题分析:分析表格可知,乙与丙的平均环数最多,又丙的方差比乙小说明丙成绩发挥的较 为稳定,所以最佳人选为丙. 考点:数据的平均数与方差的意义. 3.某全日制大学共有学生 5600 人,其中专科生有 1300 人,本科生有 3000 人,研究生有 1300 人,现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况,抽取的样本为 280 人,则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )人. A.65,150,65 【答案】A. 【解析】 试题分析:分层抽样就是按比例抽样,因此本题中专科生抽取的人数为 抽取的人数为 所以研究生抽取人数为 280-65-150=65. 本科生 B.30,150,100 C.93,94,93 D.80,120,80

考点:分层抽样的概念与各层抽取的样本数的计算方法.

4.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较,正确的是( ).

A.r2<r4<0<r3<r1 【答案】A. 【解析】

B.r4<r2<0<r1<r3

C.r4<r2<0<r3<r1

D.r2<r4<0<r1<r3

试题分析:相关系数 r 的取值在 ,r=0 时两变量间不相关,r>0 两变量正相关,散点图从 左往右程递增的趋势,当 r=1 时,变量 x 和 y 完全线性相关,这时散点都全部落在回归直线 上,同样 r<0 两变量负相关,散点图从左往右程递减的趋势,当 r=-1 时。变量 x 和 y 也是完 全线性相关,散点也都严格地分布在一条直线上,但是,当变量 x 增大时,变量 y 相应地减 少,故本题选 A. 考点:相关系数 r 意义与性质. 5.已知 A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 试题分析:可知 ,设所求的向量的坐标为 ,根据题意有 ,解得 ,则与 平行的单位向量为( ).



,故选 B.

考点:向量的坐标运算,设 6.要得到函数 y=

,当

,且

.

cosx 的图象,只需将函数 y=

sin(2x+ )的图象上所有的点的( ).

A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度

C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度 【答案】C. 【解析】 试题分析:根据题意可知: 考点: 三角函数 的平移与伸缩变换,诱导公式.

7.在如图所示的程序框图中,输入 A=192,B=22,则输出的结果是( ). A.0 B.2 C.4 D.6

【答案】B. 【解析】 试题分析:本题要注意的是 C 是 A 除以 B 所得的余数,按程序框图可知有如下过程: 原来: ,第一次:C=16,A=22,B=16;第二次:C=6,A=16,B=6;第三次:C=4,A=6,B=4; 第四次:C=2,A=4,B=2;第五次:C=0,A=2,B=0,此时 B=0,则输出 A=2,故选 B. 考点:读懂程序框图的流程,赋值语句(如 A=B,是把 B 的值赋值给 A). 8.己知 a 为锐角,且 A. B. C. D. , ,则 sina 的值是( ).

【答案】C. 【解析】

试题分析:根据诱导公式,已知条件的两个式子可化为如下关系:

,解

得 为锐角).

,又本题要求的是

,因此由前述可知有

,解得

(a

考点:诱导公式,同角三角函数的基本关系. 9.如图的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白 的判断框中,应该填入下面四个选项中的( ). A.c>x? B.x>c? C.c>b? D.b>c?

【答案】A. 【解析】 试题分析:本题是寻找三个数中最大的数,在令 a 为 x 后,判断 x 与 b 的大小,因此第二个 判断框里要判断的是 x 与 c 的大小,由于此时判断“是”时,c 赋值为 x,最后输出 x,所以要 填的是“c>x?”. 考点:程序框图的理解与应用,填写判断框处的语句是常考的一个考点. 10.在△ ABC 中,N 是 AC 边上一点,且 m 的值为( ). A. B. C.1 D.3 ,P 是 BN 上的一点,若 ,则实数

【答案】B. 【解析】 试题分析:如图,因为 点共线,所以 ,则 ,所以 . ,又 B,P,N 三

考点:平面向量基本定理,及重要结论:如上图当 B,P,N 共线时,且 .

,则有

11.已知 f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当 0<x<3 时,如图所示,那么不等式 f(x)cosx<0 的 解集是( ).

A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 试题分析:

图1

图2

如图 1 为 f(x)在(-3,3)的图象,图 2 为 y=cosx 图象,要求得 为在 寻找满足如下两个关系的区间即可: 时, ,故选 B. 考点:奇函数的性质,余弦函数的图象,数形结合思想. ,当 时,

的解集,只需转化 ,结合图象易知当

,当

时,

12.关于 x 的方程 A.(-3,l) 【答案】B. 【解析】 试题分析:此问题可转化为函数 又 与 两图像在 B.[0,1) C.(-2,1)



内有相异两实根,则 k 的取值范围为( ).

D.(0,2)

的图像与直线 ,当 时,

有两个交点问题. ,问题又可转化为

,令

上交点问题,由于要有两个相异交点,如图:



,此时

,则

,令

,解得

.

考点:三角函数辅助角公式(化一公式),三角函数的值域问题,数形结合思想,换元法, 化归思想. 二、填空题 1.若 【答案】 【解析】 试题分析:因为 ,所以 . . ,则 ____.

考点:角的变换,诱导公式,特殊角的三角函数. 2.茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中有一个数字被污损,则甲的平 均成绩超过乙的平均成绩的概率是______.

【答案】 . 【解析】

试题分析:根据题意,只需看甲总成绩超过乙总成绩的概率,甲目前总成绩为 , 而乙缺一个数据,但目前总成绩为 ,由乙污损处可填的数为 90~99 共 10 个数据,当填 90~97 这 8 个数据时甲总成绩超过乙总成绩,因此甲的平均成绩超过乙的平 均成绩的概率是 .

考点:茎叶图的理解与其数据的识别,古典概型. 3.如图,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,AP=3,点 Q 是△ BCD 内(包括边界)的动 点,则 的取值范围是________.

【答案】 【解析】

.

试题分析:由数量积的定义,有 为向量 以 在向量 在向量 上的投影最小时即为 ,此时 ,此时

,(其中 为两向量的夹角),而 , ,故填 在向量

, 上

上的投影,由点 Q 是△ BCD 内(包括边界)的动点且 AP⊥BD,所 (Q 落在 C 上),由三角形 AOP 与三角形 ACM 相似且 O 为 AC 中 .

的投影最大时如图为 点易知

考点:数量积的定义及

的几何意义. ,

4.给出下列说法:①终边在 y 轴上的角的集合是 ②若函数 f(x)=asin2x+btanx+2,且 f(-3)=5,则 f(3)的值为-1,

③函数 y=ln|x-1|的图象与函数 y=-2cospx(-2≤x≤4}的图像所有交点的横坐标之和等于 6; 其中正确的说法是__________〔写出所有正确说法的序号). 【答案】②③. 【解析】 试题分析:对于①应为 ,所以①错误;对于②, ,则有 ,又

移一个单位,而 ,且与

,所以②正确;对于③, 可看成是 向右平 的图像与 图像相似,但周期发生了改变,此时周期 有相同的对称轴 ,可作出其草图,如图所示:

在 两图像关于对称轴 对称的点有三对,根据中点坐标公式,每对交点的横坐标的和 为 2,三对交点的横坐标的和为 6,故③正确. 考点:轴线角的集合,诱导公式,函数的图像(平移,伸缩,对称),中点坐标公式,整体 的思想,化归的思想. 三、解答题 1.已知 (2)若 .(1)若 =61,求 . 的夹角为 60 ,求 的夹角.
o



【答案】(1)-44;(2) 【解析】 试题分析:(1)本小题可把 公式 再用两向量的夹角的余弦公式 试题解析:(1)∵

展开,其中

可用数量积的定义, 及 可以用 左边展开,可求出 的值,

求解;(2)本小题同样可把式子 求解.
o

, 与 的夹角为 60 ,∴ . ,∴ ,∴

,∴

(2)∵ ,∴ .

,又

考点:向量数量积及运算律,公式 2.已知函数 ,

,两向量的夹角的余弦公式

.

(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期;(2)若 a 为锐角,且 【答案】(1)2,p;(2) 【解析】 .

,求 sina 的值.

试题分析:(1)本小题把

展开,

用降幂公式降次,整理后用辅助角公式化为 可求得 与 ,

一个角的三角函数易求出最大值与最小正周期;(2)由

而 sina=sin[(a- )+ ]=sin(a- )cos +cos(a- )sin ,从而可求出其值,但要注意角的范围. 试题解析:(1) ,所以 f(x)的最大值为 2,最小 正周期 p. (2)由 得 ,∵0<a< ,∴- <a- < , . .

sina=sin[(a- )+ ]=sin(a- )cos +cos(a- )sin =

考点:两角差的余弦公式,降幂公式,周期公式,同角三角函数基本关系,角的变换. 3.某校从高一年级周末考试的学生中抽出 6O 名学生,其成绩(均为整数)的频率分布直方图如 图所示:(1)依据频率分布直方图,估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分;(2) 已知在[90,100]段的学生的成绩都不相同,且都在 94 分以上,现用简单随机抽样方法,从 95,96,97,98,99,100 这 6 个数中任取 2 个数,求这 2 个数恰好是两个学生的成绩的概率.

【答案】(1)80%,72 分;(2) 【解析】 试题分析:(1)本小题要求的及格率只需找到 60 分及以上的各组频率和(或 60 分及以上 的各组对应的长方形总面积)即可,也就是从图中可看出的每组长方形的高(其值为 )

与各组的组距相乘之和;平均分即为这组数据的平均数,只要把每组的组中值乘以每组的频 率再相加即可;(2)本小题中从 95,96,97,98,99,100 中抽取 2 个数,总的基本事件的数目为 15 个,而[90,100]分数段内学生数为 0.005×10×60=3 人,这 3 人成绩都不相同且都在 94 分以 上,则可设他们的成绩是 95,96,97,又“2 个数恰好是两个学生的成绩”含的基本事件的数目为 3,故所求概率为 即为 .

试题解析:(1)由图知,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为 (0.020+0.030+0.025+0.005)×10=0.80 所以,抽样学生成绩的合格率是 80%.利用组中值估算抽样 学生的平均分: =45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72,所以,估计这次考 试的平均分是 72 分. (2)从 95,96,97,98,99,100 中抽取 2 个数,全部可能的基本事件有:(95,96),(95,97), (95,98),(95,99),(95,100),(96,98),(96,99),(96,100),(97,98),

(97,99),(97,100),(98,99),(98,100),(99,100),共 15 个基本事件. 如果这 2 个数恰好是两个学生的成绩,则这 2 个学生在[90,100]段,而[90,100]的人数是 3 人,不妨设 这 3 人的成绩是 95,96,97. 则事件 A:“2 个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本事件:(95, 96),(95,97),(96,97).共有 3 个基本事件.所以所求的概率为 P(A)= 考点:频率分布直方图中每组的频率(即每个长方形的面积)为 = . ,数据的平均数=

每组的组中值乘以每组的频率再相加;基本事件的概念,古典概型的概率计算公式. 4.函数 f(x)=Asin(wx+j)(A>0,w>0,- <j< ,x∈R)的部分图象如图所示:



(1)求函数 y=f(x)的解析式;(2)当 x∈ 【答案】(1)f(x)=sin(x+ );(2)[-1, ]. 【解析】

时,求 f(x)的取值范围.

试题分析:(1)图像离平衡位置最高值为 1 可知 A=1,又从图可看出周期的四分之一为 ,根据 可求得 w 的值,对于 j 可通过代入( ,1)点求得,但要注意 j 的范围;

(2)本小题考查三角函数求值域问题,由 x 的范围可先求出 x+ 的范围,结合正弦函数图 像可求出 sin(x+ )的取值范围. 试题解析:(1)由图象得 A=1, ,所以 T=2p,则 w="1." 将点( ,1)代入得 sin(

+j)=1,而- <j< ,所以 j= ,因此函数 f(x)=sin(x+ ). (2)由于 x∈ ,≤x+ ≤ ,所以-1≤sin(x+ )≤ ,所以 f(x)的取值范围[-1, ]. ,三角函数的值域问题.

考点:由三角函数的图像求函数的解析式,
2 2

5.设有关于 x 的一元二次方程 x +2ax+b ="0." (l)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是 从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求方程有实根的概率;(2)若 a 是从区间[0,t+1]任取的一个 数,b 是从区间[0,t]任取的一个数,其中 t 满足 2≤t≤3,求方程有实根的概率,并求出其概率 的最大值. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 试题分析:(1)本小题为古典概型求概率的问题,先求出 a 与 b 构成的实数对(a,b)总个数即 基本事件的总数,再一一进行检验符合 的实数对即可求出其概率;(2)本小 题为几何概型求概率的问题,由 0≤a≤t+1,0≤b≤t 利用线性规划的知识(a 看直角坐标系中的 x,b 看成直角坐标系中的 y)可画出如下图的矩形,又 a≥b(即为 y≤x 区域)则符合条件的

阴影部分区域为梯形,因此所求的概率为 P 的范围即可找到其最大值.

,其次根据 t 的范围利用不等式的性质求出

试题解析:(1)总的基本事件有 12 个,即 a,b 构成的实数对(a,b)有(0,0),(0,1), (0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1), (3,2).设事件 A 为“方程有实根”,包含的基本事件有(0,0),(1,0),(1,1),(2,0), (2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)共 9 个,所以事件 A 的概率为 P(A)= = ;

(2)a,b 构成的实数对(a,b)满足条件有 0≤a≤t+1,0≤b≤t,a≥b,设事件 B 为“方程有实根”,则 此事件满足几何概型. 如图,

,∵2≤t≤3,∴3≤t+1≤4,即 ,即 ≤P(B)≤ ,所以其概率的最大值为 .

,所以

考点:古典概型的概率公式,几何概型的概率公式,一元二次方程根的判别式,线性规划问 题,不等式的性质,化归思想. 6.已知 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数 f(x)=2sin(wx+j)(w>0, 的终边经过点 P(l,<j<0)图象上的任意两点,且角 j

),若|f(x1)-f(x2)|=4 时,|x1-x2|的最小值为 . 时,不等式

(1)求函数 f(x)的解析式;(2)求函数 f(x)的单调递增区间;(3)当 x∈ mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数 m 的取值范围. 【答案】(1)f(x)=2sin(3x- );(2)[ 【解析】 试题分析:(1)由角 j 的终边经过点 P(l,|x1-x2|的最小值为 可最小正周期为 复合函数的知识可令 3x- =u,只需令 ,而 x∈ 恒大于或等于其最大值. )及 + , +

], k∈Z;(3)[ ,+?).

<j<0 可求得 j 的值,又|f(x1)-f(x2)|=4 时,

,从而可求出 w 的值,即可求出其表达式;(2)由 +2kp≤u≤ +2kp,解出 x 的范围即是函数的单调递增 的最大值,则 m

区间;(3)不等式 mf(x)+2m≥f(x)恒成立要求 m 的范围,只需用分离变量的作法,等价于 ,可求出 f(x)的范围,从而可求出

试题解析:(1)角 j 的终边经过点 P(1,时,|x1-x2|的最小值为 ,得 T= (2)令 +2kp≤3x- ≤ +2kp,得 + ,即 +

),tanj== ≤x≤ , +

,∵

<j<0,∴j=- .由|f(x1)-f(x2)|=4

,∴w=3,∴f(x)=2sin(3x- ) + ,k∈Z ],k∈Z. .由-

∴函数 f(x)的单调递增区间为[ (3)当 x∈ 时,-

≤f(x)≤1,所以 2+f(x)>0,mf(x)+2m≥f(x)等价于 的最大值为 ,所以实数 m 的取值范围是[ ,+?).

≤f(x)≤1,得

考点:三角函数的定义,三角函数的周期公式,正弦函数的单调区间,恒成立问题,分离变 量法,转化思想.


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