湖北省八校2013届高三第二次联考文科数学

湖北省八校 2013 届高三第二次联考 文科数学
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知命题 p : 所有指数函数都是单调函数,则 ?p 为( ) A.所有的指数函数都不是单调函数 B.所有的单调函数都不是指数函数 C.存在一个指数函数,它不是单调函数 D.存在一个单调函数,它不是指数函数 2.已知 M ? a a ? 2 , A ? a (a ? 2)(a 2 ? 3) ? 0, a ? M 则集合 A 的子集共有( ) A.1 个 B.2 个 C.4 个 D.8 个 2 3.“ 0 ? a ? 1 ”是“ ax ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是实数集 R”的( ) A.充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 4.图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图, 图中第 1 次到 14 次的考试成绩依次记为 A1 , A2 ,?, A14 . 图 2 是统 1 计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。 那么 算法流程图输出的结果是( ) A.7 B.8 7 9 C.9 D.10 ?图2? ? 8 6 3 8 9 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4

?

?

?

?

?

(第4题图1)

(第4题图2)

??? ??? ? ? 5.已知 A, B 是单位圆上的动点,且 AB ? 3 ,单位圆的圆心为 O,则 OA ? AB ? (
A. B.



3 2

C. ?

3 2

D.

3 2

b 9 2 6.两个正数 a , b 的等差中项是 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b ,则抛物线 y ? ? x 2 a 的焦点坐标为( )
A. ( ?

5 , 0) 16

B. (? , 0)

1 5

C. ( , 0)

1 5

D. (? , 0)

2 5

7. 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题, 《张丘建算经》 卷上第 22 题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天起每天比前一天多织相同量的 布) ,第一天织 5 尺布,现在一月(按 30 天计) ,共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天比 前一天多织( )尺布. 4 1 8 16 A. B. C. 2 15 31
16 D. 29
主视图 侧视图

2

8.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为 4, 的体积为 V1 ,直径为 4 的球的体积为 V2 ,则 V1 : V2 ? ( ) A. 1: 2 B. 2 :1

该几何体

.
俯视图

C. 1:1 D. 1: 4 9.定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为 曲线 C 到直线 l 的距离;已知曲线 C1 : y ? A. 3或-3 B. 2或-3 C. 2

(第8题图)

x ? a 到直线


l : x ? 2 y ? 0 的距离等于 5 ,则实数 a 的值为(
. -3

10.已知 x?R,用符号 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数。若函数 f ( x) ? 3 个零点,则 a 的取值范围是( )

? x? ? a
x

( x ? 0) 有且仅有

3 4 4 5 3 4 C. ( , ] 4 5

A. ( , ] ? [ , )

4 3 3 2

1 2 2 3 5 3 D. [ , ) 4 2

B. ( , ] ? [ , )

5 3 4 2

二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 5 分,满 35 分,把答案填在答题卡上对应题号后 的横线上) 11. 函数 f ( x) ? ?

?1 ?0

x是有理数 ,则 f ( f (? )) ? x是无理数

.

12.已知 i 是虚数单位, z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则复数 标为 . 13. 对某市“四城同创”活动中 800 名志愿者的年龄抽样调查 统计后得到频率分布直方图 (如图),但是年龄组为

z2 z

在复平面上对应的点的坐
频率 组距

?25,30? 的数据不慎丢失,则依据此图可得: (1) ? 25,30? 年龄组对应小矩形的高度为 ?25,35? 的人数为
.

.

(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在

? x ? ?1 ? 14 . 已 知 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 1 , 则 ? x ? y ?1 ? . z ? x ? 2 y的最小值为

20

25

30

35

40

45



15.已知定义在 R 上的偶函数 f (x) 的周期为 2 ,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ? 1 ? x 则 . f (?2013) ? f (?2012) ? ? ? f (?1) ? f (0) ? f (1) ? ? ? f (2013) ?
2
2 2 16.已知 ?ABC 的顶点 A, B 分别是离心率为 e 的圆锥曲线 x ? y ? 1 的焦点,顶点 C m n 在该曲线上; 一同学已正确地推得:当 m ? n ? 0 时有 e(sin A ? sin B) ? sin C , 类似地,当 m ? 0, n ? 0 时,有 .

17.基尼系数是衡量一个国家贫富差距的标准。图中横轴 OH 表示 人口(按收入由低到高分组)的累积百分比,纵轴 OM 表示收 入的累积百分比, 弧线 OL(称为洛伦兹曲线)与对角线之间的面积 A 叫做“不平等面积”,折线段 OHL 与对角线之间的面积 ( A ? B) 叫做“完全不平等面积”, 不平等面积与完全不平等面积的比值为 基尼系数,则: (1) 当洛伦兹曲线为对角线时, 社会达到“共同富裕”,这是社会主 义国家的目标,则此时的基尼系数等于 .

(第17题图)

(2)为了估计目前我国的基尼系数,统计得到洛伦兹曲线后,采用随机模拟方法:随机

产生两个数组成点 ? a, b ? (其中a, b? 0,100 ),共产生了 1000 个点,且恰好有 300 个 点落在 B 区域中。则据此估计该基尼系数为: .

?

?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos x,4sin x ? 2), b ? (8sin x,2sin x ?1) , x ? R , 设函数 f ( x) ? a ? b (Ⅰ )求函数 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ )在 ?ABC 中,A 为锐角,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , f ( A) ? 6, 且 ?ABC 的 面积为 3, b ? c ? 2 ? 3 2, 求 a 的值.

?

?

? ?

? 19. (本小题满分 12 分)如图直三棱柱 ABC ? A B? C? 的侧棱长为 3 , AB ? BC ,且 AB ? BC ? 3 ,点 E , F 分别是棱 AB, BC 上的动点,且 AE ? BF .
(Ⅰ )求证:无论 E 在何处,总有 CB? ? C ?E ; (Ⅱ )当三棱锥 B ? EB?F 的体积取得最大值时,求异面直线 A?F 与 AC 所成角的余弦值.

A?

B?

C?

A
E

C

B

F
(第19题图)

20. (本小题满分 13 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? 1 ? 2an , n ? N *. (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )在数列 {an } 的每两项之间都按照如下规则插入一些数后,构成新数列:an和an?1 两项之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数构成等差数列,其公差记为 dn ,求数列 ? 的前 n 项的和 Tn . 21.(本小题满分 14 分)已知椭圆 x 2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F (c, 0) ,M 为椭圆的上 a b 顶点,O 为坐标原点,且两焦点与短轴的两端点构成边长为 2 的正方形. (Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ )是否存在直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,且使 F 为△ PQM 的垂心?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
2 22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ? 7b ln x ? 1,其中 a , b 是常数且 a ? 0 .
2 2

?1 ? ? ? dn ?

(Ⅰ )若 b ? 1 时, f ( x ) 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增,求 a 的取值范围; (Ⅱ )当 b ?

4 2 a 时,讨论 f ( x) 的单调性; 7

(Ⅲ )设 n 是正整数,证明: ln(n ? 1)7 ? (1 ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 7(1 ? ? ? ? ? ) 2 2 3 n 2 3 n

湖北省八校 2013 届高三第二次联考文科数学
一选择题: 1 2 3 题号 C B A 答案 二填空题: 11.1 12. (?1,1) 15. ?2013 三、解答题 4 D 5 C 13. 0.04 6 B 7 D 8 A 14.-2 17. 0 ……2 分 0.4 9 D 10 A

440

16. e?sin A ? sin B ? sin C

18. (Ⅰ f ( x) ? a ? b ? ?8sin x ? cos x ? (4sin x ? 2)(2sin x ?1) ) = ? 4sin 2 x ? 4 cos 2 x ? 2

? ?

? 4 2 sin(2 x ? ) ? 2 4

?

? f ( x)max ? 4 2 ? 2

……6 分

(Ⅱ 由(I)可得 f ( A) ? 4 2 sin(2 A ? )

? 2 ……7 分 ) ? 2 ? 6, sin(2 A ? ) ? 4 4 2 ? ? ? 3? ? ? ? ,2 A ? ? , A ? 因为 0 ? A ? , 所以 ? ? 2 A ? ? ……8 分 2 4 4 4 4 4 4 1 2 ? S ?ABC ? bc sin A ? bc ? 3 ? bc ? 6 2 又 b ? c ? 2 ? 3 2 ……10 分 2 4
? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc ? 2 2 ? (2 ? 3 2) 2 ? 12 2 ? 2 ? 6 2 ? ? 10. 2 2

?

………………12 分 ?a ? 10. ?C ?C 是正方形,? B?C ? BC ? 19.(Ⅰ ? BB ) …………2 分 又? AB ? BC , BB? ? AB ,? AB ? 平面BB?C ?C ………4 分 A? ?C ? AB ?C ? 平面ABC? ?B ?B , 又 ? ? 平面E ? ? B? ? ? A C C E ?C C ……6 分 B
2 (Ⅱ 三棱椎 B? ? EBF 的体积为 V ? m(3 ? m ) ? (m ? 3 ? m ) ? 9 .当 )设 4 4

B?

C?

m?
号 分

3 2







A
E

C

…………8

B

F

3 即点 E , F 分别是棱 AB, BC 上的中点时,体积最大,则 cos ?A?FE 为所求; 2 9 2 3 2 3 5 , AF ? A?E ? , A?F ? ,? cos ?A?FE ? ……12 分 ? EF ? 2 2 2 2 20. 解(Ⅰ n ? 1 时, s1 ? 1 ? 2a1 ,? a1 ? 1, ) ……2 分 n ? 2 时,又 sn?1 ? 1 ? 2an?1, 所以 (sn ? 1) ? (sn?1 ? 1) ? 2an ? 2an?1, 即 an ? 2an?1 ,
故当 m ?

?an ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,故 an ? 2n?1
n n?1

……6 分

(Ⅱ )由(Ⅰ an?1 ? 2n ,故 2 ? 2 )得

? (n ? 1)dn ,? d n ?

2 1 n ?1 ? ,? …8 分 n ?1 d n 2n ?1

n ?1

?Tn ?

2 3 n n ?1 ? 1 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 0 2 2 2 2

1 2 3 n n ?1 Tn ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ,两式相减得: ……10 分 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ?1 Tn ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 n?3 ?Tn ? 6 ? n ?1 ………13 分 2 21. 解: )由两焦点与短轴的两端点构成边长为 2 的正方形得 a ? 2, b ? c ? 1, 所以椭 (Ⅰ x2 ? y2 ? 1 圆方程的为 ………………4 分 2 (Ⅱ )假设存在直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,且使 F 为△ PQM 的垂心 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) , ? M (0,1), F (1,0) ,故 kMF ? ?1,故直线 l 的斜率 k ? 1 所
以设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,由 ? 由题意知△>0,即 m <3 且 x1 ? x2 ? ?
2

?y ? x ? m ?x ? 2 y ? 2
2 2

得 3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0

……………………7 分
2

由题意应有 MP ? FQ ? 0 ,又 MP ? ( x1, y1 ? 1), FQ ? ( x2 ? 1, y2 ) 故 2 x1x2 ? ( x1 ? x2 )(m ? 1) ? m2 ? m ? 0 …………9 分

???? ??? ?

4m 2m ? 2 , x1 x2 ? 3 3

4 2m ? 2 4 ? m(m ? 1) ? m2 ? m ? 0 ,解得 m ? ? 或 m ? 1 ……11 分 3 3 3 经检验,当 m ? 1 时,△ PQM 不存在,故舍去 m ? 1 ; 4 4 当 m ? ? 时,所求直线 y ? x ? 满足题意 3 3 综上,存在直线 l ,且直线 l 的方程为 3x ? 3 y ? 4 ? 0 ……14 分 7 2 22.解(Ⅰ ∵b ? 1 ,故 f ( x) ? ( x ? a) ? 7ln x ? 1 ,∴ f ?( x) ? 2 x ? 2a ? . ) x 7 ∵ x ? 1 时, f ( x) 是增函数,∴ f ?( x) ? 2 x ? 2a ? ? 0 在 x ? 1 时恒成立. …2 分 当 x 7 7 ? x 在 x ? 1 时恒成立.∵ x ? 1 时, y ? ? x 是减函数, 即a ? 当 2x 2x 7 5 5 ? x ? ∴a ? . ∴ x ? 1 时, 当 ………4 分 2 2x 2 4 2 2 2 (II) ? b ? a ,故 f ( x) ? ? x ? a ? ? 4a ln x ? 1 x ? ? 0, ?? ? 7 2 x 2 ? 2ax ? 4a 2 2 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? f ?( x) ? ? ,所以 ……5 分 x x 当 a ? 0 时,? f ?( x) ? 0 ? x ? a或x ? ?2a ,故 f ( x ) 的减区间为 ? 0, a ? ,

2?

2

增区间为 ? a, ??? 当 a ? 0 时,? f ?( x) ? 0 ? x ? ?2a或x ? a ,故 f ( x ) 的减区间为 ? 0, ?2a ? , 增区间为 ? ?2a, ??? …………9 分

(Ⅲ 由(Ⅰ ) )知,当 a ?

5 5 , b ? 1 时, f ( x) ? ( x ? )2 ? 7 ln x ? 1 在 ?1,?? ? 是增函数. 2 2 5 2 53 2 ∴ f ( x) ? f (1) 即 ( x ? ) ? 7 ln x ? 1 ? ,? x ? 5x ? 6 ? 7ln x 2 4 n ?1 1 1 n ?1 ? 1 ,∴(1 ? ) 2 ? 5(1 ? ) ? 6 ? 7 ln ∵n ? N * ,∴ , n n n n 1 1 即 2 ? 7 ? 7 ? ln( n ? 1) ? ln n ? ………12 分 n n 1 7 1 7 1 7 ∴( 2 ? ) ? ( 2 ? ) ? ( 2 ? ) ? 1 1 2 2 n n 7 ?ln 2 ? ln1 ? ln 3 ? ln 2 ? ?? ln(n ?1) ? ln n? ? 7ln(n ?1) 1 1 1 1 1 1 7 ∴ ln(n ? 1) ? (1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 7(1 ? ? ? ? ? ) ………14 分 2 3 n 2 3 n


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