河南省周口市中英文学校2014-2015学年高一上学期第三次月考数学试卷 Word版含解析

河南省周口市中英文学校 2014-2015 学年高一上学期第三次月考 数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分;每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的. 1.下列命题正确的是() ①平行于同一平面的两直线平行; ②垂直于同一平面的两直线平行; ③平行于同一直线的两平面平行; ④垂直于同一直线的两平面平行. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 2.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,设 a=f(﹣ (log3 ) ,c=f( ) ,则 a、b、c 的大小关系是() A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a ) ,b=f

3.已知函数

,则 f[f( )]=()

A.4

B.

C.﹣4

D.﹣

4.已知正方体外接球的体积是 A. B.

,那么正方体的棱长等于() C. D.

5.函数 f(x)=πx+log2x 的零点所在区间为() A.[0, ] B. [ , ] C. [ , ] D.[ ,1]

6.一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是() A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 7.若 P={x|x<1},Q={x|x>1},则() A.P?Q B.Q?P

C.?RP?Q

D.Q??RP

8.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的 体积是()

A.

cm
2

3

B.

cm

3

C.2 000 cm

3

D.4 000 cm

3

9.设方程|x ﹣3|=a 的解的个数为 m,则 m 不可能等于() A.1 B. 2 C. 3

D.4

10.定义运算:

,则函数 f(x)=1?2 的图象是()

x

A.

B.

C.

D. 11.设 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增加的,又 f(﹣3)=0,则 x?f(﹣x)<0 的解集是() A.{x|x<﹣3,或 0<x<3} B. {x|﹣3<x<0,或 x>3} C. {x|x<﹣3,或 x>3} D.{x|﹣3<x<0,或 0<x<3}

12.函数 f(x)=

的值域是()

A.(0,+∞)

B.(0,1)

C.[ ,1)

D.[ ,+∞)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.设集合 A={x|x+m≥0},B={x|﹣2<x<4},全集 U=R,且(?UA)∩B=?,求实数 m 的 取值范围为. 14.三棱锥 P﹣ABC 的两侧面 PAB,PBC 都是边长为 2 的正三角形,AC= ﹣PB﹣C 的大小为. 15.函数 f(x)= + 的定义域是. ,则二面角 A

16.给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面 α、β 的四个命题: ①若 m?α,l∩α=A,点 A?m,则 l 与 m 不共面; ②若 m、l 是异面直线,l∥α,m∥α,且 n⊥l,n⊥m,则 n⊥α; ③若 l∥α,m∥β,α∥β,则 l∥m; ④若 l?α,m?α,l∩m=点 A,l∥β,m∥β,则 α∥β. 其中为真命题的是.

三.解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知集合 A={x|x ﹣5x+6=0},B={x|mx+1=0},且 B?A,求实数 m 的值组成的集合. 18.将长方体 ABCD﹣A1B1ClD1 沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥得到如图甲所示的几 何体,已知该几何体的正视图与俯视图如图乙 (I)画出该几何体的侧视图; (Ⅱ)求该几何体的体积.
2

19.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,SA⊥底面 ABCD,M 为 SA 的中 点,N 为 CD 的中点. (Ⅰ)证明:平面 SBD⊥平面 SAC; (Ⅱ)证明:直线 MN∥平面 SBC.

20.已知关于 x 的函数 y=(m+6)x +2(m﹣1)x+m+1 恒有零点. (1)求 m 的范围; (2)若函数有两个不同零点,且其倒数之和为﹣4,求 m 的值. 21.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD⊥AB, AB= .AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点. (1)证明: (i)EF∥A1D1; (ii)BA1⊥平面 B1C1EF; (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值.

2

22. (1)画出函数 f(x)=x ﹣2x﹣3,x∈[﹣1,4]的图象,并写出其值域. (2)当 m 为何值时,函数 g(x)=f(x)+m 在区间[﹣1,4]上有两个零点?

2

河南省周口市中英文学校 2014-2015 学年高一上学期第 三次月考数学试卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分;每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的. 1.下列命题正确的是() ①平行于同一平面的两直线平行; ②垂直于同一平面的两直线平行; ③平行于同一直线的两平面平行; ④垂直于同一直线的两平面平行. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 结合公理及正方体模型可以判断, 可以利用反证法证明结论, 也可以从具体的实物 模型中去寻找反例证明. 解答: 解:①平行于同一平面的两直线平行,错误,有可能相交,如图:

AC∥面 A1B1C1D1,AB∥面 A1B1C1D1,AB∩AC=A. ②垂直于同一平面的两直线平行,正确,垂直于同一平面的直线都和该平面的法线平行, 因此它们之间必然平行.除非两条直线重合; ③平行于同一直线的两平面平行,不正确; 证明:假设有一条直线 l 和它的两条平行线 a,b, a,b 确定一个平面 p,过 a 作任何一个平面,只要不过 l, 肯定和 l 平行,却和原来的平面相交于 a. ④垂直于同一直线的两平面平行.正确. 证明: 假设两个面相交. 假设这条直线与第一个面相交于 A 点, 与第二个面相交于 B 点. 两 面相交直线为 CD,在直线 CD 上任取一点 E,则 ABE 应该为一个三角形.然而,与∠ABE 与∠BAE 均为直角不符,所以,两个面不可以相交,两个面平行. 故选:D. 点评: 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系, 直线与平面垂直的性质, 考查 空间想象能力和思维能力,属于基本知识的考查. 2.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,设 a=f(﹣ (log3 ) ,c=f( ) ,则 a、b、c 的大小关系是() A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a ) ,b=f

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 利用 f(x)是定义在 R 上的偶函数,化简 a,b,利用函数在(0,+∞)上是增函 数,可得 a,b,c 的大小关系. 解答: 解:a=f(﹣ ∵0<log32<1,1< < )=f( ,∴ ) ,b=f(log3 )=f(log32) ,c=f( ) , > >log32.

∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴a>c>b, 故选 C. 点评: 本题考查函数单调性与奇偶性的结合, 考查学生分析解决问题的能力, 属于基础题.

3.已知函数

,则 f[f( )]=()

A.4

B.

C.﹣4

D.﹣

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 分析: 将函数由内到外依次代入,即可求解 解答: 解:根据分段函数可得: , 则 ,

故选 B 点评: 求嵌套函数的函数值,要遵循由内到外去括号的原则,将对应的值依次代入,即可 求解.

4.已知正方体外接球的体积是 A. B.

,那么正方体的棱长等于() C. D.

考点: 球内接多面体. 专题: 计算题. 分析: 先求球的半径,直径就是正方体的对角线,然后求出正方体的棱长. 解答: 解:正方体外接球的体积是 4,棱长等于 , ,则外接球的半径 R=2,正方体的对角线的长为

故选 D. 点评: 本题考查球的内接正方体问题,是基础题. 5.函数 f(x)=πx+log2x 的零点所在区间为()

A.[0, ]

B. [ , ]

C. [ , ]

D.[ ,1]

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 根据函数的零点存在性定理, 把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入 函数的解析式中, 得到函数值, 把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了, 得到结果. 解答: 解:∵f( )= ∴只有 f( )?f( )<0, ∴函数的零点在区间[ , ]上. 故选 C. 点评: 本题考查函数零点的存在性判定定理, 考查基本初等函数的函数值的求法, 是一个 基础题,这是一个新加内容,这种题目可以出现在 2015 届高考题目中. 6.一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是() A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 考点: 由三视图还原实物图. 专题: 作图题. 分析: 利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义, 容易判断圆柱的三视图不可能形状 相同,大小均等 解答: 解:A、球的三视图均为圆,且大小均等; B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥,其一个侧面放到平面上,其三视图均 为三角形且形状都相同; C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形; D、圆柱的三视图中必有一个为圆,其他两个为矩形. 故一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是圆柱. 故选 D. 点评: 本题主要考查了简单几何体的结构特征, 简单几何体的三视图的形状大小, 空间想 象能力,属基础题 7.若 P={x|x<1},Q={x|x>1},则() A.P?Q B.Q?P C.?RP?Q D.Q??RP <0,f( )= <0,f( )= >0,f(1)=π,

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 利用集合的补集的定义求出 P 的补集;利用子集的定义判断出 Q?CRP. 解答: 解:∵P={x|x<1}, ∴CRP={x|x≥1}, ∵Q={x|x>1}, ∴Q?CRP,

故选 D. 点评: 本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集;利用集合包含关 系的定义判断集合的包含关系. 8.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的 体积是()

A.

cm

3

B.

cm

3

C.2 000 cm

3

D.4 000 cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 规律型;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知,该几何体为四棱锥,分别确定底面积和高,利用锥体的体积公式求 解即可. 解答: 解:由三视图可知,该几何体为四棱锥,底面 ABCD 为边长为 20cm 的正方体, OE⊥CD 且 E 是 CD 的中点, 所以棱锥的高 OE=20cm. 所以四棱锥的体积为 选 B. .

点评: 本题主要考查三视图的应用, 以及空间几何体的体积, 要求熟练掌握空间几何体的 体积公式.

9.设方程|x ﹣3|=a 的解的个数为 m,则 m 不可能等于() A.1 B. 2 C. 3 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数的图象. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 由题意作出图形,数形结合得答案.

2

D.4

解答: 解:在同一坐标系中分别画出函数 y1=|x ﹣3|和 y2=a 的图象, 如图所示.

2

可知方程解的个数为 0,2,3 或 4,不可能为 1. 故选:A. 点评: 本题考查了根的存在性及根的个数的判断, 考查了数形结合的解题思想方法, 是基 础题.

10.定义运算:

,则函数 f(x)=1?2 的图象是()

x

A.

B.

C.

D. 考点: 分段函数的应用. 专题: 新定义. 分析: 本题需要明了新定义运算 a?b 的意义,即取两数中的最小值运算.之后对函数 f x (x)=1?2 就可以利用这种运算得到解析式再来求画图解. 解答: 解:由已知新运算 a?b 的意义就是取得 a,b 中的最小值,因此函数 f(x) =1?2 = 故选 A
x

,因此选项 A 中的图象符合要求.

点评: 本题考查分段函数的概念以及图象, 新定义问题的求解问题. 注重对转化思想的考 查应用. 11.设 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增加的,又 f(﹣3)=0,则 x?f(﹣x)<0 的解集是() A.{x|x<﹣3,或 0<x<3} B. {x|﹣3<x<0,或 x>3} C. {x|x<﹣3,或 x>3} D.{x|﹣3<x<0,或 0<x<3} 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 由已知可判断 f(x)在(﹣∞,0)内的单调性及所过点,作出其草图,根据图象 可解不等式. 解答: 解:∵f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内递增, ∴f(x)在(﹣∞,0)内也递增, 又 f(﹣3)=0,∴f(3)=﹣f(﹣3)=0, 作出 f(x)的草图,如图所示: 由图象可知, x?f(﹣x)<0?﹣xf(x)<0?xf(x)>0? ﹣3, ∴x?f(﹣x)<0 的解集是{x|x<﹣3 或 x>3}. 故选 C. 或 ?x>3 或 x<

点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性及其综合应用,考查抽象不等式的求解,考查数形 结合思想,属中档题.

12.函数 f(x)=

的值域是()

A.(0,+∞)

B.(0,1)

C.[ ,1)

D.[ ,+∞)

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 本题考查的是分段函数的值域,分别运用了二次函数和幂函数(反比例函数)的单 调性. 解答: 解:当 x<1 时,f(x)=(x﹣ ) + ,在(﹣∞, )上单调递减,在( ,1) 上单调递增,所以 f(x)≥ , 当 x>1 时,f(x)= ,单调递减,所以 f(x)∈(0,1) ,综合以上得函数 f(x)的值域数 (0,+∞) . 故答案为 A. 点评: 二次函数的单调性是由对称轴的确定的, 反比例函数的单调性是由比例系数 k 的正 负性来定的,分段函数的值域是各段的值域的并集. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.设集合 A={x|x+m≥0},B={x|﹣2<x<4},全集 U=R,且(?UA)∩B=?,求实数 m 的 取值范围为 m≥2. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合思想. 分析: 把集合 A 化简后,求其补集,然后根据(?UA)∩B=?选取 m 的取值范围. 解答: 解:集合 A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m},全集 U=R,所以 CUA={x|x<﹣m}, 又 B={x|﹣2<x<4},且(?UA)∩B=?,所以有﹣m≤﹣2,所以 m≥2. 故答案为 m≥2. 点评: 本题考查了交、并、补集的混合运算,解答的关键是熟练交、并、补集的概念,同 时注意端点值得选取,属易错题. 14.三棱锥 P﹣ABC 的两侧面 PAB,PBC 都是边长为 2 的正三角形,AC= ﹣PB﹣C 的大小为 60°. ,则二面角 A
2

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 空间角. 分析: 取 PB 的中点 M,连接 AM,CM,可得∠AMC 为二面角 A﹣PB﹣C 的平面角,在 △ AMC 中可得△ AMC 为正三角形,从而求出∠AMC 即可得到二面角 A﹣PB﹣C 的大小. 解答: 解:取 PB 的中点 M,连接 AM,CM. 则 AM⊥PB,CM⊥PB. 故∠AMC 为二面角 A﹣PB﹣C 的平面角. 在△ AMC 中可得 AM=CM= ,而 AC= ,则△ AMC 为正三角形, ∴∠AMC=60°, ∴二面角 A﹣PB﹣C 的大小为 60°, 故答案为 60°.

点评: 本小题主要考查棱锥的结构特征、二面角解法等基础知识,考查运算求解能力,属 于中档题. 15.函数 f(x)= + 的定义域是(1,2) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据开偶次方根被开方数大于等于 0,对数函数的真数大于 0,分母不为 0,列出 不等式求出定义域. 解答: 解:要使函数有意义,

只需



解得 1<x<2, 故原函数的定义域为: (1,2) , 故答案为: (1,2) . 点评: 本题考查求函数的定义域需注意:开偶次方根被开方数大于等于 0,对数函数的真 数大于 0,分母不为 0. 16.给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面 α、β 的四个命题: ①若 m?α,l∩α=A,点 A?m,则 l 与 m 不共面; ②若 m、l 是异面直线,l∥α,m∥α,且 n⊥l,n⊥m,则 n⊥α; ③若 l∥α,m∥β,α∥β,则 l∥m; ④若 l?α,m?α,l∩m=点 A,l∥β,m∥β,则 α∥β. 其中为真命题的是①②④. 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 阅读型. 分析: 根据空间中异面直线的判定定理,线面垂直的判定方法,线线关系的判定方法,及 面面平行的判定定理,我们对题目中的四个结论逐一进行判断,即可得到结论. 解答: 解:m?α,l∩α=A,A?m,则 l 与 m 异面,故①正确; 若 m、l 是异面直线,l∥α,m∥α,在则 α 内必然存在两相交直线 a,b 使 a∥m,b∥l, 又由 n⊥l,n⊥m,则 n⊥a,n⊥b,∴n⊥α,故②正确; 若 l∥α,m∥β,α∥β,则 l 与 m 可能平行与可能相交,也可能异面,故③错误;

若 l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则由面面平行的判定定理可得 α∥β,故④正确; 故答案为:①②④ 点评: 本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系, 其中熟练掌握空间中线面 之间位置关系的定义、 判定方法和性质定理, 建立良好的空间想像能力是解答此类问题的关 键. 三.解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知集合 A={x|x ﹣5x+6=0},B={x|mx+1=0},且 B?A,求实数 m 的值组成的集合. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 阅读型. 分析: 先求集合 A,根据 B?A,分析 m 满足的条件,利用分类讨论求解. 解答: 解:∵(x﹣2) (x﹣3)=0,∴A={2,3}, 若 m=0,B=??A; 若 m≠0,B={x|x=﹣ },由 B?A 得 ﹣ =2,或﹣ =3,解得 m=﹣ ,m=﹣ , ∴实数 m 的值组成的集合是{0,﹣ ,﹣ }. 点评: 本题主要考查集合关系中的参数取值问题.此类题常用分类讨论思想求解. 18.将长方体 ABCD﹣A1B1ClD1 沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥得到如图甲所示的几 何体,已知该几何体的正视图与俯视图如图乙 (I)画出该几何体的侧视图; (Ⅱ)求该几何体的体积.
2

考点: 由三视图求面积、体积;简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;作图题. 分析: (I)利用三视图的画法,直接画出该几何体的侧视图; (Ⅱ)该几何体的体积,转化为长方体的体积减去三棱锥的体积,求解即可. 解答: 解: (I)几何体的侧视图如图:

(Ⅱ)由题意可知几何体是长方体截去一个三棱锥,其体积是 长方体的体积是 3×4×5=60. 所以所求几何体的体积是 60﹣10=50.

=10.

点评: 本题考查三视图的画法,几何体的体积的求法,考查空间想象能力与计算能力. 19.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,SA⊥底面 ABCD,M 为 SA 的中 点,N 为 CD 的中点. (Ⅰ)证明:平面 SBD⊥平面 SAC; (Ⅱ)证明:直线 MN∥平面 SBC.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;综合题. 分析: (Ⅰ)要证明平面 SBD⊥平面 SAC,只需证明平面 SBD 内的直线 BD,垂直平面 SAC 内的两条相交直线 SA 与 AC 即可; (Ⅱ)取 SB 中点 E,连接 ME,CE,要证明直线 MN∥平面 SBC,只需证明直线 MN 平行 平面 SBC 内的直线 CE 即可. 解答: 证明: (Ⅰ)∵ABCD 是菱形, ∴BD⊥AC, ∵SA⊥底面 ABCD,∴BD⊥SA, ∵SA 与 AC 交于 A, ∴BD⊥平面 SAC, ∵BD?平面 SBD ∴平面 SBD⊥平面 SAC

(Ⅱ)取 SB 中点 E,连接 ME,CE, ∵M 为 SA 中点,∴ME∥AB 且 ME= AB, 又∵ABCD 是菱形,N 为 CD 的中点, ∴CN∥AB 且 CN= CD= AB, ∴CN∥EM,且 CN=EM, ∴四边形 CNME 是平行四边形, ∴MN∥CE, 又 MN?平面 SBC,CE?平面 SBC, ∴直线直线 MN∥平面 SBC

点评: 本题考查平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,考查空间想象能力 逻 辑思维能力,是中档题. 20.已知关于 x 的函数 y=(m+6)x +2(m﹣1)x+m+1 恒有零点. (1)求 m 的范围; (2)若函数有两个不同零点,且其倒数之和为﹣4,求 m 的值. 考点: 函数的零点;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1) 当 m+6=0 时, 即 m=﹣6 时, 满足条件. 当 m+6≠0 时, 由≥0 求得 m≤﹣ 且 m≠ ﹣6.综合可得 m 的范围. (2) 设 x1, x2 是函数的两个零点, 由条件并利用一元二次方程根与系数的关系求得 m 的值. 解答: 解: (1)当 m+6=0 时,m=﹣6,函数为 y=﹣14x﹣5 显然有零点. 当 m+6≠0 时,m≠﹣6,由△ =4(m﹣1) ﹣4(m+6) (m+1)=﹣36m﹣20≥0,得 m≤﹣ . ∴当 m≤﹣ 且 m≠﹣6 时,二次函数有零点. 综上可得,m≤﹣ ,即 m 的范围为(﹣∞,﹣ ]. (2)设 x1,x2 是函数的两个零点,则有 x1+x2=﹣ ∵ + =﹣4,即 =﹣4, ,x1x2= .
2 2

∴﹣

=﹣4,解得 m=﹣3.

且当 m=﹣3 时,m+6≠0,△ >0,符合题意, ∴m 的值为﹣3. 点评: 本题主要考查函数的零点的定义,二次函数的性质,体现了分类讨论的数学思想, 属于基础题. 21.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD⊥AB, AB= .AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点. (1)证明: (i)EF∥A1D1; (ii)BA1⊥平面 B1C1EF; (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;立体几何. 分析: (1) (i) 先由 C1B1∥A1D1 证明 C1B1∥平面 ADD1A1, 再由线面平行的性质定理得出 C1B1∥EF, 证出 EF∥A1D1. (ii)易通过证明 B1C1⊥平面 ABB1A1 得出 B1C1⊥BA1,再由 tan∠A1B1F=tan∠AA1B= ,

即∠A1B1F=∠AA1B,得出 BA1⊥B1F.所以 BA1⊥平面 B1C1EF; (2)设 BA1 与 B1F 交点为 H,连接 C1H,由(1)知 BA1⊥平面 B1C1EF,所以∠BC1H 是 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角.在 RT△ BHC1 中求解即可. 解答: (1)证明(i)∵C1B1∥A1D1,C1B1?平面 ADD1A1,∴C1B1∥平面 ADD1A1, 又 C1B1?平面 B1C1EF,平面 B1C1EF∩平面 ADD1A1=EF, ∴C1B1∥EF,∴EF∥A1D1; (ii)∵BB1⊥平面 A1B1C1D1,∴BB1⊥B1C1, 又∵B1C1⊥B1A1, ∴B1C1⊥平面 ABB1A1, ∴B1C1⊥BA1, 在矩形 ABB1A1 中,F 是 AA1 的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B= 故 BA1⊥B1F. 所以 BA1⊥平面 B1C1EF; ,即∠A1B1F=∠AA1B,

(2)解:设 BA1 与 B1F 交点为 H, 连接 C1H,由(1)知 BA1⊥平面 B1C1EF,所以∠BC1H 是 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角. 在矩形 AA1B1B 中,AB= 在 RT△ BHC1 中,BC1=2 ,AA1=2,得 BH= ,sin∠BC1H= = ,



所以 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值是



点评: 本题考查空间直线、平面位置故选的判定,线面角求解.考查空间想象能力、推理 论证能力、转化、计算能力. 22. (1)画出函数 f(x)=x ﹣2x﹣3,x∈[﹣1,4]的图象,并写出其值域. (2)当 m 为何值时,函数 g(x)=f(x)+m 在区间[﹣1,4]上有两个零点? 考点: 函数的零点;二次函数的图象. 专题: 计算题;数形结合. 分析: (1)先求出对称轴方程,再结合自变量的范围,即可得到其图象; (2)直接根据图象的平移规律即可得到结论. 2 2 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=x ﹣2x﹣3=(x﹣1) ﹣4; 对称轴为 x=1, 且 f(﹣1)=1+2﹣3=0,f(1)=﹣4,f(4)=16﹣2×4﹣3=5. ∴f(x)∈[﹣4,5] (2)因为 g(x)=f(x)+m 在区间[﹣1,4]上有两个零点 ?g(x)=f(x)+m 的图象在区间[﹣1,4]上与 X 轴有两个交点 结合图象可得?0≤m<3.
2

点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象. 利用函数的图象分析函数的值域是我们研究 函数问题最常用的方法.


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