2019_2020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式2一般形式的柯西不等式学案新人教A版选修4_5

二 一般形式的柯西不等式
学习目标:1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.(重点)2.会利用一般形式的柯西 不等式解决简单问题.(重点、难点)

教材整理 1 三维形式的柯西不等式 阅读教材 P37~P38“探究”以上部分,完成下列问题. 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则(a21+a22+a23)·(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2.当且仅 当 b1=b2=b3=0 或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立.我们把该不等式称 为三维形式的柯西不等式.

已知 x,y,z∈R+且 x+y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小值是( )

A.1

B.13

C.23

D.2

B [根据柯西不等式,x2+y2+z2=13(12+12+12)·(x2+y2+z2)≥13(1×x+1×y+1×z)2

=13(x+y+z)2=13.]

教材整理 2 一般形式的柯西不等式

阅读教材 P38~P40,完成下列问题. 设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数,则 (a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2.当且仅当 bi=0(i=1,2,…, n)或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.

已知 a21+a22+…+a2n=1,x21+x22+…+x2n=1,则 a1x1+a2x2+…+anxn 的最大值是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

A [(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(a21+a22+…+a2n)(x21+x22+…+x2n)=1×1=1,当且仅当xa11=

xa22=…=xann=1 时取等号,

∴a1x1+a2x2+…+anxn 的最大值是 1.]

利用柯西不等式求最值

【例 1】 已知 a,b,c∈(0,+∞),1a+2b+3c=2,求 a+2b+3c 的最小值及取得最小

值时 a,b,c 的值.

[精彩点拨] 由于1a+2b+3c=2,可考虑把已知条件与待求式子结合起来,利用柯西不等

式求解.

[自主解答] ∵a,b,c∈(0,+∞),

∴???1a+2b+3c???·(a+2b+3c)=???

2
a1??? +???

2
b2??? +???

2
c3??? [( a)2+( 2b)2+( 3c)2]

2

≥???

1 a·

a+

2 b·

2b+

3 c·

3c??? =(1+2+3)2=36.

又1a+2b+3c=2,∴a+2b+3c≥18,

当且仅当 a=b=c=3 时等号成立,

综上,当 a=b=c=3 时,a+2b+3c 取得最小值 18.

利用柯西不等式求最值时,关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果.同时, 要注意等号成立的条件.

1.已知 x+4y+9z=1,求 x2+y2+z2 的最小值. [解] 由柯西不等式,知 (x+4y+9z)2≤(12+42+92)(x2+y2+z2) =98(x2+y2+z2). 又 x+4y+9z=1, ∴x2+y2+z2≥918,(*) 当且仅当 x=y4=z9时,等号成立, ∴x=918,y=429,z=998时,(*)取等号. 因此,x2+y2+z2 的最小值为918.
运用柯西不等式求参数的取值范围

【例 2】 已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=xyz,且不等式x+1 y+y+1 z+z+1 x≤λ 恒成

立,求 λ 的取值范围. [精彩点拨] “恒成立”问题需求x+1 y+y+1 z+z+1 x的最大值,设法应用柯西不等式求

最值. [自主解答] ∵x>0,y>0,z>0. 且 x+y+z=xyz. 111 ∴yz+xz+xy=1.

又x+1 y+y+1 z+z+1 x

≤12???

1 +
xy

1 +
yz

1zx???=12???1·

1 +1·
xy

1 +1·
yz

1zx???

≤12????12+12+12????x1y+y1z+z1x??????12=

3 2,

当且仅当 x=y=z,

即 x=y=z= 3时等号成立.

111

3

∴x+y+y+z+z+x的最大值为 2 .

故x+1 y+y+1 z+z+1 x≤λ 恒成立时,

3 应有 λ ≥ 2 .

因此 λ 的取值范围是??? 23,+∞???.

应用柯西不等式,首先要对不等式形式、条件熟练掌握,然后根据题目的特点“创造性” 应用定理.

2.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,试求 a 的取值范围. [解] 由 a+b+c+d=3,得 b+c+d=3-a, 由 a2+2b2+3c2+6d2=5,得 2b2+3c2+6d2=5-a2, (2b2+3c2+6d2)???12+13+16???≥(b+c+d)2,

即 2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2. 由条件可得,5-a2≥(3-a)2,解得 1≤a≤2, 所以实数 a 的取值范围是[1,2].

利用柯西不等式证明不等式

[探究问题] 在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为 ai=kbi(i=1,2,3,…,n),可以吗? [提示] 不可以.若 bi=0 而 ai≠0,则 k 不存在.
【例 3】 已知 a,b,c∈R+,求证:???ab+bc+ca???ba+cb+ac≥9.

[精彩点拨] 对应三维形式的柯西不等式,a1= ab,a2= bc,a3= ca,b1= ba,

c

a

b2= b,b3= c,而 a1b1=a2b2=a3b3=1,因而得证.

[自主解答] ∵a,b,c∈R+,

由柯西不等式,知

???ab+bc+ca??? ???ba+cb+ac??? = ???

2
ab??? + ???

2
bc??? + ???

2
ac??? × ???

2
ab??? + ???

2
bc??? + ???

2
ca???

2

≥???

a b×

b a+

b c×

c b+

c a×

ac???

=(1+1+1)2=9,

∴???ab+bc+ca??????ba+cb+ac???≥9.

1.当 ai,bi是正数时,柯西不等式变形为(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)≥( a1b1+ a2b2 +…+ anbn)2.
2.本题证明的关键在于构造两组数,创造使用柯西不等式的条件.在运用柯西不等式时, 要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征,正确配凑出公式两侧的数组.

3.已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c∈R+,且1a+21b+31c=m,求证:a+2b+3c≥9. [解] (1)因为 f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0 等价于|x|≤m.

由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.

又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1.

(2)证明:由(1)知1a+21b+31c=1.又 a,b,c∈R+,由柯西不等式得 a+2b+3c=(a+2b

+3c)???1a+21b+31c???≥

???

a· 1 + a

2b·

1 +
2b

3c·

13c???2=9.

1.设 a=(-2,1,2),|b|=6,则 a·b 的最小值为( )

A.18

B.6

C.-18

D.12

C [|a·b|≤|a||b|,∴|a·b|≤18.

∴-18≤a·b≤18,当 a,b 反向时,a·b 最小,最小值为-18.]

2.若 a21+a22+…+a2n=1,b21+b22+…+b2n=4,则 a1b1+a2b2+…+anbn 的取值范围是( )

A.(-∞,2)

B.[-2,2]

C.(-∞,2]

D.[-1,1]

B [∵(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,∴(a1b1+a2b2+…+

anbn)2≤4,

∴|a1b1+a2b2+…+anbn|≤2,

即-2≤a1b1+a2b2+…+anbn≤2,

当且仅当 ai=12bi(i=1,2,…,n)时,右边等号成立;

当且仅当 ai=-12bi(i=1,2,…,n)时,左边等号成立,故选 B.]

3.设 a,b,m,n∈R,且 a2+b2=5,ma+nb=5,则 m2+n2的最小值为________. [解析] 根据柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),得 25≤5(m2+n2),m2+n2≥5,

m2+n2的最小值为 5.

[答案] 5

4.设 a,b,c 为正数,则(a+b+c)???4a+9b+3c6???的最小值为________. [解析] 由 a,b,c 为正数,

∴(a + b + c) ???4a+9b+3c6??? = [( a )2 + ( b )2 + ( c )2] ?????? 2a???2++??? 3b???2+??? 6c???2???

≥???

a· 2 + a

b· 3 + b

c· 6c???2=121,

当且仅当a2=b3=c6=k(k>0)时等号成立.

故(a+b+c)???4a+9b+3c6???的最小值是 121.

[答案] 121

5.已知实数 x,y,z 满足 x+2y+z=1,求 t=x2+4y2+z2 的最小值.

[解] 由柯西不等式得

(x2+4y2+z2)(1+1+1)≥(x+2y+z)2.

∵x+2y+z=1,∴3(x2+4y2+z2)≥1,即 x2+4y2+z2≥13.

当且仅当

x=2y=z=13,即

x=13,y=16,z=13时等号成立.故

x2+4y2+z2

1 的最小值为3.


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