广州市高中数学水平测试复习之函数的图象

学号: 一 主要知识: 1.作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图; 2.三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; 3.识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面. 二 主要方法: 1. 平移变换: 水平平移: (1) 函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 个单位即可得到; (2)竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上 个单位即可得到. (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 2.对称变换: (1)函数 y ? f (? x) 的图像与函数 y ? f ( x) 的图像关于 轴对称; (2)函数 y ? ? f ( x) 的图像与函数 y ? f ( x) 的图像关于 (3)函数 y ? ? f (? x) 的图像与函数 y ? f ( x) 的图像关于 (4)函数 y ? f 轴对称; 对称; 对称; 称.

高二水平测试复习之函数的图象 姓名:

( x) 的图像与函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 (5)函数 y ? f ( x) 的图像与函数 y ? f (2a ? x) 的图像关于直线

?1

3.翻折变换: (1)函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴 上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到; (2) 函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原

y 轴左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到.
4.伸缩变换: (1)函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐 标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1)为原来的 倍得到; (2) 函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐 标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1)为原来的 倍得到. 三 画出下列几种初等函数的草图(根据函数图像的特征,画草图) 函数名称 一次函数 反比例函数 解析式

二次函数

函数图像 函数名称 解析式 指数函数 对数函数 幂函数

函数图象

四 例题分析: 1.会利用几种变换画函数的图像 例 1.画出下列四个函数的图像: (1) y ? ln x (2) y ? ln x

-1-

(3) y ?

x?2 x ?1

(4) y ? x ?

4 x

2.理解函数图像变换 例 2.(2009 北京文)为了得到函数 y ? lg

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的点 10

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 练习 1(北京卷(文) )为了得到函数 y ? 2
x ?3

? 1 的图象,只需把函数 y ? 2 x 上所有点

(A)向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 (B)向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 (C)向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 (D)向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 3.会根据函数图像求函数的解析式或者确定参数的范围或者其他
O

例 3(07 安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为(



3 (0≤x≤2) | x ?1| 2 3 3 (B) y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 2 3 (C) y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2
(A) y ? (D) y ? 1? | x ? 1 | (0≤x≤2)
x ?b

练习 2.(2005 福建)函数 f ( x) ? a 结论正确的是 A. a ? 1, b ? 0

的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列 ( )

B. a ? 1, b ? 0

C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0

-2-

练习 3.( 2009 广 东 卷 理 )已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲 车、乙车的速度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 ,下列判断中一定正确的 是 A. 在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面

4.会根据数量关系,认识其草图。

例 4.(全国一 2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程 中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( )
s s s s

O A.

t

O B.

t

O C.

t O D.

t

练习 3. (2009 山东卷文)函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x

).

y y 1 O 1 x

y

y

1 O1 x

1 O 1 x O

1 1 D x

A

B

C

-3-

练习 4.两个二次函数 f (x) =ax2+bx+c 与 g (x) =bx2+ax+c 的图象只能是…… (



A

B

C

D

练习 5.在下列图象中,二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=(

b x ) 的图象只可能是( a



练习 6.(2009 安徽卷理)设 a <b,函数 y ? ( x ? a) ( x ? b) 的图像可能是
2

-4-

高二水平测试复习之函数的图象 (答案) 一 主要知识: 1.作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图; 2.三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; 3.识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面. 二 主要方法: 1. 平移变换: 水平平移: (1) 函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 个单位即可得到; (2)竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上 个单位即可得到. (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 2.对称变换: (1)函数 y ? f (? x) 的图像与函数 y ? f ( x) 的图像关于 轴对称; (2)函数 y ? ? f ( x) 的图像与函数 y ? f ( x) 的图像关于 (3)函数 y ? ? f (? x) 的图像与函数 y ? f ( x) 的图像关于 (4)函数 y ? f 轴对称; 对称; 对称; 称.

( x) 的图像与函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 (5)函数 y ? f ( x) 的图像与函数 y ? f (2a ? x) 的图像关于直线

?1

3.翻折变换: (1)函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴 上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到; (2) 函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原

y 轴左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到.
4.伸缩变换: (1)函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐 标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1)为原来的 倍得到; (2) 函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐 标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1)为原来的 倍得到. 三 画出下列几种初等函数的草图(根据函数图像的特征,画草图) 函数名称 一次函数 反比例函数 解析式

二次函数

函数图像 函数名称 解析式 指数函数 对数函数 幂函数

函数图象

四 例题分析: 1.会利用几种变换画函数的图像 例 1.画出下列四个函数的图像: (1) y ? ln x (2) y ? ln x

-5-

(3) y ?

x?2 x ?1

(4) y ? x ?

4 x

2.理解函数图像变换 例 2.【答案】C 【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
.w

A. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg10 ? x ? 3? , B. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg10 ? x ? 3? ,

x?3 , 10 x ?3 D. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg . 10
C. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg 练习 1
O

A

3.会根据函数图像求函数的解析式或者确定参数的范围或者其他 例 3(07 安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为(B)

3 (0≤x≤2) | x ?1| 2 3 3 (B) y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 2 3 (C) y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2
(A) y ? (D) y ? 1? | x ? 1 | (0≤x≤2)
x ?b

练习 2.(2005 福建)函数 f ( x) ? a 结论正确的是 A. a ? 1, b ? 0

的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列 ( D )

B. a ? 1, b ? 0

C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 练习 3.( 2009 广 东 卷 理 )已知甲、乙两车由同一起点同时 出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度 曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的

t0和t1 ,下列判断中一定正确的是
A. 在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面

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C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面

【解析】由图像可知,曲线 v甲 比 v乙 在 0~ t 0 、0~ t 1 与 x 轴所围成图形面积大,则在 t 0 、 t1 时刻,甲车均 在乙车前面,选 A. 4.会根据数量关系,认识其草图。 例 4. A 练 习 3. 【 解 析 】 : 函 数 有 意 义 , 需 使 e ? e
x ?x

? 0 , 其 定 义 域 为 ?x | x ? 0? , 排 除 C,D, 又 因 为

y?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A. 答案:A. x ?x e ?e e ?1 e ?1


练习 4.两个二次函数 f (x) =ax2+bx+c 与 g (x) =bx2+ax+c 的图象只能是………………………… D (

A B D bC 练习 5.在下列图象中,二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=( )x 的图象只可能是(

a



b b 2 b2 解析一:由指数函数图象可以看出 0< <1。抛物线方程是 y=a(x+ )- ,其顶点坐标为 4a 2 a 2a
(-

b2 b b b 1 ,- ) ,又由 0< <1,可得- <- <0.观察选择支,可选 A。 4a 2a a 2a 2

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解析二:求 y=ax2+bx 与 x 轴的交点,令 ax2+bx=0,解得 x=0 或 x=- 练习 6.(2009 安徽卷理)设 a <b,函数 y ? ( x ? a) ( x ? b) 的图像可能是
2

b b ,而-1<- <0。故选 A。 a a

[解析]: y ? ( x ? a)(3x ? 2a ? b) ,由 y ? 0 得 x ? a, x ?
/

/

x?

2a ? b 时 y 取极小值且极小值为负。故选 C。 3

2a ? b ,∴当 x ? a 时, y 取极大值 0,当 3

或当 x ? b 时 y ? 0 ,当 x ? b 时, y ? 0 选 C

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