立体几何(向量法)—线面角

立体几何(向量法)—线面角
例 1(2013 年高考新课标 1(理) )如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.

(Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)取 AB 中点 E,连结 CE, A1 B , A1 E ,

∵AB= AA1 , ?BAA1 = 60 ,∴ ?BAA1 是正三角形,
0

∴ A1 E ⊥AB,

∵CA=CB,

∴CE⊥AB,

∵ CE ? A1 E =E,∴AB⊥面 CEA1 ,

∴AB⊥ A1C ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, EA1 ⊥AB, 又∵面 ABC⊥面 ABB1 A1 ,面 ABC∩面 ABB1 A1 =AB,∴EC⊥面 ABB1 A1 ,∴EC⊥ EA1 , ∴EA,EC, EA1 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, EA 的方向为 x 轴正方向,| EA |为单位 长度,建立如图所示 空间直角坐标系 O ? xyz , 有 题 设 知 A(1,0,0),

A1 (0,

3

,0),C(0,0,

3

),B(-1,0,0), 则

BC =(1,0, 3 ), BB1 = AA1 =(-1,0, 3 ), A1C =(0,- 3 , 3 ),
设 n = ( x, y, z ) 是平面 CBB1C1 的法向量,

1

则?

?n ? BC ? 0 ? ? ?n ? BB1 ? 0

,即 ?

? ? x ? 3z ? 0 ? ?x ? 3y ? 0

,可取 n =( 3 ,1,-1),

∴ cos n, A1C =

n ? A1C 10 , | n || A1C | 5
10 5

∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 例 2(2013 年高考湖南卷(理) )如图 5,在直棱柱

ABCD ? A1B1C1D1中,AD / / BC , ?BAD ? 90 , AC ? BD, BC ? 1 , AD ? AA1 ? 3 .

(I)证明: AC ? B1 D ;
【 答

(II)求直线 B1C1与平面ACD1 所成角的正弦值.
案 】



:

(Ⅰ)

? ABCD ? A1B1C1D1是直棱柱? BB1 ? 面ABCD, 且BD ? 面ABCD ? BB1 ? AC 又? AC ? BD, 且BD ? BB1 ? B,? AC ? 面BDB 。 ? B1D ? 面BDB , ? AC ? B1D . 1 1
(证毕) (Ⅱ)

? B1C1 // BC // AD,? 直线B1C1与平面ACD1的夹角即直线 AD与平面ACD1的夹角?。

建立直角坐标系,用向 量解题。设原点在 A点,AB为Y轴正半轴, AD为X轴正半轴。

设A?0,0, 0?, D(3,0,0), D1 (3,0,3), B(0, y,0),C(1, y,0),则AC ? (1, y,0), BD ? (3,? y,0),? AC ? BD

AC? BD ? 0 ? 3 ? y 2 ? 0 ? 0, y ? 0 ? y ? 3.? AC ? (1, 3,0), AD1 ? (3,0,3).
? ?n ? AC ? 0 设平面ACD1的法向量为n, 则? ? .平面ACD1的一个法向量n ? ( - 3, 1,3) , AD ? (3, 0, 3) ? n ? AD ? 0 1 ?
2

? 平面ACD1的一个法向量 n? (- 3, 1,3) , AD ? (3, 0, 0) ? sin ? ?| cos ? n, AD ?|?

3 3 21 ? 7 7 ?3

所以BD1与平面ACD1夹角的正弦值为

21 . 7

3

4


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