数学理科课件与练习4-6

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一、选择题 1.在△ABC 中,a2=b2+c2+bc,则 A 等于( A.60° C.120° 【解析】cos A= B.45° D.30° b2+c2-a2 b2+c2-?b2+c2+bc? 1 = =- . 2bc 2bc 2 )

∵0° <A<180° ,∴A=120° ,故选 C. 【答案】 =1,则 c 等于( A.1 C. 3-1 C ) B.2 D. 3 2.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A=60° ,a= 3,b

3 1 1 【解析】∵sin 60° =sin B,∴sin B=2. 又 a>b,∴A>B,故 B=30° ,∴C=90° ,故 c=2. 【答案】 角的余弦值为( 5 A.18 3 C. 2 4a2+4a2-a2 7 2· 2a· 2a =8. D B ) 3 B.4 7 D.8 3.(2008 年· 海南宁夏)如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶

【解析】设底边边长为 a,则由题意知等腰三角形的腰为 2a,故顶角的余弦 值为 cos θ=

【答案】

4.△ABC 中,下列结论:①a2>b2+c2,则△ABC 为钝角三角形;②a2=b2 + c2 + bc , 则 ∠A 为 60° ; ③a2 + b2 > c2 , 则 △ABC 为 锐 角 三 角 形 ; ④ 若 ∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则 a∶b∶c=1∶2∶3,其中正确的个数为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

b2+c2-a2 【解析】①cos A= 2bc <0,∴∠A 为钝角,正确; ②cos A= b2+c2-a2 1 =- ,错误; 2bc 2,∴∠A=120° a2+b2-c2 2ab >0,∠C 为锐角,但∠A 与∠B 不一定为锐角,错误;

③cos C=

④∠A=30° ,∠B=60° ,∠C=90° 时, a∶b∶c=1∶ 3∶2≠1∶2∶3,错误. 【答案】 A 5.在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成 3 等差数列,∠B=30° ,△ABC 的面积为2,那么 b 等于( A. C. 1+ 3 2 B.1+ 3 D.2+ 3 )

2+ 3 2

【解析】∵a、b、c 成等差数列,∴2b=a+c, 平方得 a2+c2=4b2-2ac. 3 又△ABC 的面积为2,且∠B=30° , 1 1 1 3 故由 S△ABC=2acsin B=2acsin 30° =4ac=2, 得 ac=6.∴a2+c2=4b2-12. a2+c2-b2 4b2-12-b2 由余弦定理,得 cos B= 2ac = 2×6 b2-4 3 = 4 =2, 解得 b2=4+2 3.又 b 为边长,∴b=1+ 3. 【答案】 二、填空题 6.已知△ABC 三边 a、b、c 所对的三个顶点分别为 A、B、C,且面积可以 1 1 表示为 S=2a2-2(b-c)2,那么角 A 的正弦值 sin A=________. 【解析】根据面积公式有 1 1 2 1 2 bc sin A = 2 2a -2(b-c) , 即 bcsin A=a2-(b-c)2=2bc-2bccos A, B

1 即 cos A=1-2sin A, 5 代入 sin2A+cos2A=1,可得4sin2A-sin A=0, 4 又 sin A≠0,所以 sin A=5. 【答案】 4 5

7.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若( 3b-c)· cos A =acos C,则 cos A=________. 【解析】 依题意由正弦定理得: ( 3sin B-sin C)· cos A=sin A· cos C, 即 3sin B· cos A=sin(A+C)=sin B, 3 ∴cos A= 3 . 【答案】 3 3

8.在锐角△ABC 中,边长 a=1,b=2,则边长 c 的取值范围是________.

?a+c>b, 【解析】三边应满足:? a +b >c , ?a +c >b ,
a+b>c,
2 2 2 2 2 2

解得 3<c< 5. 【答案】 ( 3, 5) 9.某人朝正东方向走了 x 米后,向左转 150° ,然后朝新方向走了 30 米,结 果他离出发点的距离为 10 3米,那么 x=________米.

【解析】由已知画图知:△ABC 中,AB=x,BC=30, AC=10 3,∠ABC=30° . 由余弦定理得:(10 3)2=302+x2-30 3x, 解得 x=10 3或 x=20 3. 【答案】 三、解答题 10.(2010 年广西南宁二中二模)已知△ABC 的周长为 2 2+4,且 sin A+sin B= 2sin(A+B). 10 3或 20 3

(1)求边 AB 的长; 4 (2)若△ABC 的面积 S=3sin C,求角 C 的大小. 【解析】(1)设∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c. 由 sin A+sin B= 2sin(A+B)= 2sin C 得:a+b= 2c, ∵a+b+c=2 2+4,∴c=2 2,即 AB 边长是 2 2. 1 4 8 (2)∵S=2absin C=3sin C,∴ab=3. 又∵a+b= 2c=4,∴cos C= π ∴∠C=3. 11.某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的速度,采用如下 办法:在岸边设置两个观察点 A、B ,且 AB=80 米,当航模在 C 处时,测得 ∠ABC = 105° 和 ∠BAC = 30° ,经过 20 秒后,航模直线航行到 D 处,测得 ∠BAD=90° 和 ∠ABD=45° .请你根据以上条件求出航模的速度. (答案保留根号) a2+b2-c2 ?a+b?2-2ab-c2 1 =2, 2ab = 2ab

【解析】(法一)∵∠BAD=90° ,∠ABD=45° ,∴∠ADB=45° , ∴AD=AB=80,∴BD=80 2, BC AB 在△ABC 中,sin 30° =sin 45° ,

ABsin 30° ∴BC= sin 45° =

1 80×2 2 2

=40 2,

在△DBC 中,DC2=DB2+BC2-2DB· BCcos 60° 1 =(80 2)2+(40 2)2-2×80 2×40 2×2=9600, 40 6 ∴DC=40 6.∴航模的速度 V= 20 =2 6(米/秒). (法二)在△ABC 中, ∴AC=40(1+ 3). 在△ACD 中,∠DAC=60° ,AD=80, AC AB = , sin∠ABC sin∠ACB

∴DC2=AD2+AC2-2AD· ACcos 60° =9600, 40 6 ∴DC=40 6.∴航模的速度 V= 20 =2 6(米/秒). 附加探究 (2010 年辽宁省沈阳市高三年级教学质量监测)在△ABC 中,角 A、B、C 的 对边分别为 a,b,c,且满足(2b-c)cos A-acos C=0. (1)求角 A 的大小; 3 3 (2)若 a= 3,S△ABC= 4 ,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 【解析】(1)(法一)∵(2b-c)cos A-acos C=0, 由正弦定理得(2sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0, ∴2sin Bcos A-sin(A+C)=0,sin B(2cos A-1)=0. 1 π ∵0<B<π,∴sin B≠0,cos A=2,∵0<A<π,∴A=3. (法二)∵(2b-c)cos A-acos C=0. b2+c2-a2 a2+b2-c2 由余弦定理,得(2b-c)· 2bc -a· 2ab =0, b2+c2-a2 1 整理得 b +c -a =bc,∴cos A= 2bc =2.
2 2 2

π ∵0<A<π,∴A=3. 1 3 3 π 3 3 (2)∵S△ABC=2bcsin A= 4 ,即 bcsin3= 2 , ∴bc=3.
2 2

① ②

∵a =b +c2-2bccos A,∴b2+c2=6.

由①②得 b=c= 3,∴△ABC 为等边三角形. 反馈与评价 内 自学成就 互助成就 困难求助 错题归因 容


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