《2.3 条件概率与独立事件》 课件 2-优质公开课-北师大选修2-3精品_图文

《2.3 条件概率与独立事件》 课件 2

条件概率的求法
条件概率的计算方法: (1)从古典概型角度看,若事件有限定的前提条件,则各事 件包含的基本事件个数发生了变化,故首先要准确计算各 事件包含的基本事件个数,然后得出条件概率,即:
P?B | A? ? n(AB),n(AB) 表示A、B同时发生包含的基本事件
n(A)
的个数,同理n(A)表示事件A所包含的基本事件的个数.当 然这个公式只是对于古典概型而言,即组成事件A的各基本 事件发生的概率相等(等可能事件).

(2)把(1)的公式推广,便得到条件概率公式:

P?B

|

A?

?

P ? AB?,事件AB表示A、B同时发生. P?A?

在具体题目中,一定要先弄清谁是A谁是B,

是否是条件概率问题等.

【例1】甲、乙两名推销员推销某种产品,据以往经验,两 人在一天内卖出一份产品的概率分别为 3 和 7 ,两人在一天
5 10
内都卖出一份产品的概率为 1,问:
2
(1)在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品的概率是
多少?
(2)在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品的概率是
多少?

【审题指导】首先分清一前一后两事件的发生,前面的事 件对后面的事件的发生有没有影响.若无影响则为无条件概 率,若有影响,就是条件概率.然后根据相应的公式计算即 可.

【规范解答】记事件A=“甲在一天内卖出一份产品”,事

件B=“乙在一天内卖出一份产品”,因为两人在一天内卖

出一份产品的概率分别为 3 和 7 ,两人在一天内都卖出一份

5 10

产品的概率为 1,所以P?A? ? 3,P?B? ? 7 ,P?AB? ? 1 .

2

5

10

2

(1)因为“在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品”

这一事件是甲在一天内卖出一份产品后,乙卖出一份产

1

品,所以由条件概率公式,可得

P?B|A? ?

P ? AB? P?A?

?

2 3

?

5; 6

5

(2)因为“在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品”

这一事件是乙在一天内卖出一份产品后,甲卖出一份产

1

品,所以由条件概率公式,可得

P

?

A|B?

?

P ? AB? P?B?

?

2 7

? 5. 7

10

相互独立事件的概率
1.应用相互独立事件同时发生的概率乘法公式求概率的步 骤: (1)确定诸事件是相互独立的; (2)确定诸事件会同时发生; (3)先求出每个事件发生的概率,再求其积. 2.事件A与B及它们的和事件与积事件的关系: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).

(1)A、B互斥,则P(AB)=0,A、B对立,则 P(A)+P(B)=1,A、B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B). (2)当事件A与B相互独立时,P(AB)=P(A)·P(B) ,因此式 子1-P(A)·P(B)表示相互独立事件A与B至少有一个不发生 的概率,在概率运算中经常用到,应引起同学们的高度重 视.

【例2】某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率

为 4,乙当选的概率为 3,丙当选的概率为 7 .

5

5

10

(1)求甲、乙、丙三名同学恰有一名同学当选的概率;

(2)求甲、乙、丙三名同学至多有两名同学当选的概率.

【审题指导】三名同学是否当选互不影响,是相互独立的,

故可用相互独立事件的概率公式求解.另外,利用对立事件

的概率公式P( A )=1-P(A)是简化概率运算的重要手段.

【规范解答】设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B,C,则

有P?A? ? 4,P?B? ? 3,P?C? ? 7 .

5

5

10

(1)因为事件A,B,C相互独立,则甲、乙、丙三名同学恰

有1名同学当选的概率为 P(A) P(B) P(C) ? P(A) P(B) P(C)
?P(A) P(B) P?C? ? 4 ? 2 ? 3 ? 1 ? 3 ? 3 ? 1 ? 2 ? 7 ? 47 .
5 5 10 5 5 10 5 5 10 250
(2)甲、乙、丙三名同学至多有两名同学当选的概率为

1? P?ABC? ? 1? P(A) P(B) P?C? ? 1? 4 ? 3 ? 7 ? 83 .
5 5 10 125

相互独立性的验证
1.事件A与B相互独立及互斥的关系. 要正确理解和区分事件A与B相互独立和A与B互斥的意义.两 个事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两个事件相互 独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有 影响.当A与B互斥时,A与B不一定独立;反之亦然.只有当A 与B独立时,才能使用P(A∩B)=P(A)P(B);同时也只有当A 与B互斥时,才能使用公式P(A∪B)=P(A)+P(B).

2.事件A与B具备独立性的判定. 事件A与B是否具备独立性,一般都由题设条件给出,但实 际问题往往要根据实际问题的情况来判定两个事件或一组 事件是否相互独立.通常,诸如射击,若干电子元件或机器 是否正常工作,有放回地抽样等问题,对应的事件(组)认 为是相互独立的.

【例】从一副去掉大、小王的扑克牌中任抽一张,设事件 A=“抽得老K”,事件B=“抽得红牌”,事件C=“抽得J”, 判断下列每对事件是否是相互独立事件?是否是互斥事件? 是否是对立事件? (1)A与B;(2)C与A.

【审题指导】判断A与B和C与A是否独立,可考虑公式P(AB) =P(A)·P(B)和P(AC)=P(A)·P(C)是否成立.若成立则为相 互独立事件否则不是.因此下一步只需计算各事件的概率. 判断A与B,C与A是否互斥,只需判断它们是否同时发生.在 互斥的条件下再判断一个事件不发生,另一个事件是否一 定发生.若是则是对立事件,否则不是.

【规范解答】(1)由于事件A为“抽得老K”,事件B为“抽 得红牌”,故抽得红牌中有可能抽到红心K或方块K,即抽 到的红牌有可能是老K,故事件A,B有可能同时发生,显然, 它们不是互斥事件,更不是对立事件.

以下考虑它们是否为独立事件:抽到老K的概率为P(A)

?

4 52

?

1 ,抽到红牌的概率为
13

P

?

B?

?

26 52

?

1,故P(A)·P(B)=
2

1 ? 1 ? 1 ,事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”,也即
13 2 26

“抽得红心老K或方块老K”,因此 P?AB? ? 2 ? 1 ,从而有
52 26

P(AB)=P(A)P(B),因此事件A与B为相互独立事件.

(2)因为抽得老K就不可能抽得J,抽得J就不可能抽得老K, 所以事件C与事件A不可能同时发生,所以事件A与C互斥.所 以P(AC)=0,因此P(AC)≠P(A)P(C),故它们不是相互独立 事件.又抽不到老K也不一定抽到J,故事件A与C也不是对立 事件.

【典例】(12分)有外形相同的球分装三个盒子,每盒10个. 其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母 B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中则有 红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子 中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中 任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒 子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试验成功. 求试验成功的概率.

【审题指导】充分利用条件概率求出相应概率,再利用互 斥事件的概率求解.

【规范解答】设A={从第一个盒子中取得标有字母A的

球}.B={从第一个盒子中取得标有字母B的球},

R={第二次取出的球是红球},

W={第二次取出的球是白球},……………………………2分

则容易求得 P?A? ? 7 ,P?B? ? 3 , ………………………4分

10

10

P?R | A? ? 1,P?W | A? ? 1,…………………………………6分

2

2

P?R | B? ? 4,P?W | B? ? 1. …………………………………8分

5

5

事件“试验成功”表示为RA∪RB,又事件RA与事件RB互斥, 故由概率的加法公式,得P(RA∪RB) =P(RA)+P(RB) =P(R|A)·P(A)+P(R|B)·P(B) ? 1 ? 7 ? 4 ? 3 ? 0.59. ……………………………………12分
2 10 5 10

【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下:

1.已知 P?AB? ? 1,P?A? ? 3,则P(B|A)等于( )

5

4

(A) 4
15

(B) 3
20

(C) 7
10

(D) 7
15

1

【解析】选A.

P ? B|A ?

?

P ? AB? P?A?

?

5 3

?

4. 15

4

2.4张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽

取.若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最后一名同学抽

到中奖券的概率是( )

(A) 1
4

(B) 1
3

(C) 1
2

(D)1

【解析】选B.因为第一名同学没有抽到中奖券已知,故问

题变为3张奖券,1张能中奖,故最后一名同学抽到中奖券 的概率为 1 .
3

3.先后抛掷一枚骰子两次,则两次都出现奇数点的概率为
_______.
【解析】第一次出现奇数点与第二次出现奇数点是相互独
立的.每次出现奇数点的概率均为 1,所以两次都出现奇数
2
点的概率为 1 ? 1 ? 1 .
22 4
答案:1
4

4.在某道路A、B、C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内
开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这个
道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为_______. 【解析】三处都不停车相互独立,则概率为 5 ? 7 ? 3 ? 35 .
12 12 4 192
答案:35
192

5.甲射击命中目标的概率为 1,乙射击命中目标的概率为 1 ,

2

3

丙射击命中目标的概率为 1,若现在三人同时射击目标,则
4

目标被击中的概率是多少?

【解析】设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事
件B,“丙命中目标”为事件C,由于三人射击结果是互相
独立的.
? ? ?P A B C ? P(A) P(B) P(C)
? (1? 1)(1? 1)(1? 1) ? 1 , 2 3 44
故目标被击中的概率为1? 1 ? 3 .
44


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