§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)_图文

§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

1.“五点法”作函数y=sinx的图象
y
1-

y ? sin x
? 6

x ?[0,2? ]
5? 3 11? 6

-1

o
-1 -

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

2?

x

在函数 y ? sin x, x ?[0, 2? ] 的图象上,起关键作用的点有: 最高点:(

?

2

,1)

( 32? ,?1) 最低点:

与x轴的交点: (0,0) (? ,0) (2? ,0) 在精度要求不高的情况下,我们可以利用这5个点画出函数 的简图,一般把这种画图方法叫“五点法”。
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2.如图是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化 的图象,图(2)是放大后的图象:

问题:观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦 曲线有什么关系?
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y ? 2sin(2 x ? ? ) 的简图. 例1. 画出函数 3

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解:(1)列表

x
2x ? ? 3
2sin(2 x ? ? ) 3

?π 6

π 12

π 3

7π 12

5π 6

0

π 2

π

3π 2



0

2

0

-2

0

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(2) 描点:
( ? , 2) 12

( ? ? , 0) 6

y “五点法”作图的思路:

(1)列表
(2)描点

( ? , 0)
( 7? , ?2) 12

3

(3)连线
? ? 注意:曲线的弯曲情况 ? ? o 12 6 3
7? 12 5? 6

( 5? , 0) 6

x

(3) 连线

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? 问题1.如何由函数y=sinx的图象经过变换得到函 数y=Asin(ωx+φ)的图象?
? 问题2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象与参数A、 ω、φ 的关系又是怎样的?

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§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

可以将上述问题分解为以下几个步骤来进行: ? 函数y=sin(x+φ)与函数y=sinx的图象关系如何? φ的意义如何? ? 函数y=sin(ωx+φ)与函数y=sin(x+φ)的图象关系 如何? ω的意义如何? ? 函数y=Asin(ωx+φ)与函数y=sin(ωx+φ)的图象 关系如何? A的意义如何? ? 函数y=Asin(ωx+φ)与函数y=sinx的图象关系如何?
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§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

一、探索φ对y=sin(x+φ)的图象的影响 1.观察函数 y ? sin( x ? ) 和函数 y ? sin x 的图 3 象的关系

?

y 1 A O -1
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π | AB |? 3
B x

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y
1
?π 3

y ? sinx
y ? sin(x ? π ) 4
π 4

O
-1

x
y ? sin(x ? π ) 3

结论1
一般地,函数y=sin(x+φ),(φ≠0)的图象,可以看作 是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向 右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位而得到.
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§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

练习 1.口答:如何由函数y=sinx的图象得到下列函数 ? 的图象? ? y ? ? sin x ? y ? ? sin( x ? )
2? ? ? ?1?y ? sin ? x ? ? 5 ? ?

?? ? ?2?y ? sin ? x ? ? 6? ?

?? ? ?3?y ? sin ? ? x ? ?3 ?

3

向左平移

向右平移 先关于x轴对称再向右平移 ?? ?? ? ? 2.如何由函数 ? sin? x ? ?的图象得到函数 ? sin? x ? ? y y 3? 3? ? ? 2? x? ? 的图象? y ? sin( x ? ? ) ??x?? y ? sin[( x ? 2? ) ? ? ] 3 ?
3 3 3

向左平移
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§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

二、探索ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响

? 不妨令? ?
的图象的关系.

2.观察函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象和 y ? sin(x ? )
3 3

3

?

?

y B x

A O
xA 1 ? xB 2
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§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

y
1 0 -1 结论2

y ? sinx

?
y ? sin2x

2?
y ? sin 1 x 2

4? x

一般地,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把 y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1 时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1/ω倍(纵坐标不 变)而得到的.
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§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

三、探索A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 3.观察函数 y ? 3 sin(2 x ?

?
3

和函数 y ? sin(2 x ?

?

) 的图象
的图象的关系.
y
2

3

)

? 不妨令? ? 2,? ? . 3

A

B O

x

-2

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§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

y
2
1 2

y ? 2sinx

O -1
y ? 1 sinx 2

?

2?
y ? sinx

x

结论3

-2

一 般 地 , 函 数 y=Asin(ωx+φ) 的 图 象 可 以 看 作 是 把 y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短 (当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
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§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

四、探索y=Asin(ωx+φ)和y=sinx的图象关系

4.观察函数 y ? 3 sin(2 x ? ) 3 y 的图象的关系.
3
2 1
π? π ? 3 6

?

的图象和y=sinx

y ? 3sin(2 x ? ? ) 3
y=sinx

o

π 3

5π 6

?

-1

-2
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? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3
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5π 3

2? x

-3

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§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

结论4 函数y=Asin(?x+?) (其中A>0, ?>0)的图 象如何由y=sinx得到?
①先画出函数y=sinx的图象; ②再把正弦曲线向左(右)平移|?|个单位长度,得到 函数y=sin(x+?)的图象; ③然后使曲线上各点的横坐标变为原来1/?倍,得 到函数y=sin(?x+?)的图象;

④最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这 时的曲线就是函数y=Asin(?x+?)的图象.
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§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

过程步骤
步骤1

y
1

y=sinx
? 2

?
3? 2

2?

O -1

x

(沿x轴 平行移动)
y
1

y=sin(x+? )
? 2

步骤2

?
3? 2

2?

O -1

x

(沿x轴 伸缩)
y y=sin(?x+? ) x

步骤3

O

(沿y轴 伸缩) y y=Asin(?x+? )

步骤4
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O

x
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6 个单位,可得到函数y ? sin x的图象.

? ? )的图象向 ____ 平移 ___ 右 【1】 将函数y ? sin( x ? 6

左 6 【2】 将函数y ? sin( x ? ? )的图象向 ____ 平移 ___
3 个单位,可得到函数y ? sin( x ? ? )的图象. 6

?

y ? sin( x ? ? ) ? y ? sin[( x ? ? ) ? ? )] 3 6 3
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§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

y ? 1 sin(2 x ? ? ) 的图象可以看作是 【3】函数 3 6 把函数 y ? 1 sin 2 x 的图象做以下平移( A ). 3

? ? A.向左平移 12 B.向右平移 12 2? 2? C.向左平移 C.向有平移 3
3

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§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

【4】函数y=Asin(?x+?) (A>0, ?>0)的一个周期 内的图象如图,则有( D). y ?) A. y ? 3sin( x ? 3 6

?) B . y ? 3sin( x ?
3 C . y ? 3sin(2 x ? ? ) 6 D . y ? 3sin(2 x ? ? ) 3
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o

?
3

5? 6

x

-3
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? 例2.已知函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0, ? ) 2 在一个周期内的简图(如图),求其相应的函数解 y 析式. 2 解:由图知 A ? 2,

?

? ? ? ), 将点(-1,0)代入, 得 0 ? 2sin( ? 4 ? ?? ? ? ? ? k? , 又 ? ? , 令k=0, 得 ? ? ? . 4 4 2 所以函数解析式为 y ? 2sin( ? x ? ? ).
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? y ? 2sin( ? x ? ? ). 4

? ? 2? ? 2? ? ? , T 8 4

T ? 7 ? ( ?1) ? 8,

?1

o
?2

3

7

x

4

4

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课堂小结
1.作函数y=Asin(?x+?) 的图象的方法

(1)用“五点法”作图. (2)利用“图象变换法”作图.
y=sinx 的图象

y=sin(x+φ) 的图象

y=Asin (ωx+φ) 的图象
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y=sin (ωx+φ) 的图象
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§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

由y ? sin x 到y ? A sin(? x ? ? )的图象变换步骤 步骤1 画出y ? sin x在?0, ?上的简图 2? 沿x轴 平移 ? 个单位
步骤2

得到y ? sin( x ? ? )在某周期内的简图
得到y ? sin( ?x ? ? )在某周期内的简图
纵坐标 变为原来的A倍 横坐标 变为原来的 ? 倍
1

步骤3

步骤4

得到y ? A sin( ?x ? ? )在某周期内的简图
沿x轴 扩展

步骤5
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得到y ? A sin( ?x ? ? )在R上的图象
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§1.5.1-1函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(一)

课堂练习 <<教材>> P.55 书面作业 <<教材>> P.58 习题1.5 A组2 练习1.2

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