精品高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-3空间中的垂直关系2课堂探究新人教B版必修2

免费会员专享精品 【最新】2019 年高中数学 1-2 点线面之间的位置关系 1-2-3 空间中的垂直关系 2 课堂探究新人教 B 版必修 2 课堂探究 探究一 面面垂直的判定 (1)面面垂直的定义,判定的方法是: ①证明第三个平面与两个相交平面的交线垂直; ②证明这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直; ③根据定义,这两个平面互相垂直. (2)面面垂直的判定定理.在证明两个平面垂直时,一般先从现有 的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在现有的图中不存在,则可 通过作辅助线来解决. 【典型例题 1 】 在正方体 AC1 中,求证:平面 BDD1B1⊥平面 ACC1A1. 证明:如图所示,因为 AA1⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, 所以 AA1⊥BD. 又在底面 ABCD 内,对角线 AC⊥BD,且 AA1∩AC=A, 所以 BD⊥平面 ACC1A1. 又 BD? 平面 BDD1B1, 所以平面 BDD1B1⊥平面 ACC1A1. 【典型例题 2】 如图,在四面体 ABCD 中,BD=,AB=AD=CB=CD =AC=a,求证:平面 ABD⊥平面 BCD. 2a 1/6 免费会员专享精品 思路分析:图形中的垂直关系较少,不妨考虑利用定义法证明. 证明:取 BD 的中点为 E,连接 AE,CE, 因为 CB=CD=AB=AD, 所以 AE⊥BD,CE⊥BD,则有 BD⊥平面 AEC. 因为 AB=AD=CB=CD=AC=a,BD=, 2a 所以△ABD 和△BCD 都是等腰直角三角形,AE,CE 都是斜边上的中 线. 所以 AE=CE=BD=. 1 2 2 2 a 又 AC=a,所以 AE2+CE2=AC2.所以 AE⊥CE. 又 AE,CE 分别是平面 AEC 与平面 ABD、平面 BCD 的交线,所以平 面 ABD⊥平面 BCD. 探究二 面面垂直的性质 (1)当所给的题目中有面面垂直的条件时,一般要注意是否有垂直 于两个平面交线的垂线,如果有,可利用性质定理将面面垂直转化为 线面垂直或线线垂直;如果没有,一般需作辅助线,基本作法是过其 中一个平面内一点作交线的垂线,这样把面面垂直转化为线面垂直或 线线垂直. (2)面面垂直性质定理的常用推论: ①两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两相交平面的交线也 垂直于第三个平面. ②两个互相垂直的平面的垂线也互相垂直. ③如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线与另一个平 面平行或在另一个平面内. 2/6 免费会员专享精品 【典型例题 3 】 (1) 如图所示,三棱锥 P?ABC 的底面在平面 α 内,且 AC⊥PC,平面 PAC⊥平面 PBC,点 P,A,B 是定点,则动点 C 运 动形成的图形是( A .一条线段 圆,但要去掉两个点. 解析:因为平面 PAC⊥平面 PBC,AC⊥PC, ) B .一条直线 C .一个圆 D .一个 AC? 平面 PAC,且平面 PAC∩平面 PBC=PC, 所以 AC⊥平面 PBC. 又因为 BC? 平面 PBC, 所以 AC⊥BC,所以∠ACB=90°, 所以动点 C 运动形成的图形是以 AB 为直径的圆, 除去 A 和 B 两点,故选 D. 答案:D (2)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点, 平面 PAC⊥平面 ABC, ①判断 BC 与平面 PAC 的位置关系,并证明. ②判断平面 PBC 与平面 PAC 的位置关系. 解:①BC⊥平面 PAC. 证明:因为 AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上不同于 A,B 的任意一 点,所以∠ACB=90°,所以 BC⊥AC. 又因为平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC,BC? 平面 3/6 免费会员专享精品 ABC,所以 BC⊥平面 PAC. ②因为 BC? 平面 PBC,所以平面 PBC⊥平面 PAC. 探究三 探索型问题 (1)垂直关系的相互转化: (2)探究型问题的两种解题方法: ①(分析法)即从问题的结论出发,探求问题成立的条件. ②(反证法)先假设使结论成立的条件存在,然后进行推证,推出 矛盾,否定假设,确定使结论成立的条件不存在. 【典型例题 4】 如图,在三棱锥 A?BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD =1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60°,E,F 分别是 AC,AD 上的动点,且 ==λ (0<λ <1). A E A C A F A D (1)求证:不论 λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC. (2)当 λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD. 解:(1)因为 AB⊥平面 BCD,所以 AB⊥CD. 因为 CD⊥BC,且 AB∩BC=B,所以 CD⊥平面 ABC. 又因为==λ (0<λ <1), A E A C A F A D 所以不论 λ 为何值,恒有 EF∥CD. 所以 EF⊥平面 ABC,EF? 平面 BEF. 所以不论 λ 为何值,恒有平面 BEF⊥平面 ABC. (2)由(1)知,BE⊥EF, 因为平面 BEF⊥平面 ACD, 所以 BE⊥平面 ACD,所以 BE⊥AC. 4/6 免费会员专享精品 因为 BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, 所以 BD=,AB=tan 60°=. 2 2 2 B ? B C 7 所以 AC==. A 2 6 由 AB2=AE·AC,得 AE=.所以 λ ==. 探究四 易错辨析 6 7 A E A C 6 7 易错点 1:忽略了几何体的所属范围而致误 【典型例题 5】 已知在四边形 ABCD 中,四个角∠ABC,∠BCD, ∠CDA,∠DAB 都是直角.求证:四边形 ABCD 是矩形. 错解:根据初中所学知识,可知四边形 ABCD 是矩形. 错因分析:上述说明不严谨,忽略了四边形是空间四边形的检验 与讨论. 正解:(1)当四边形 ABCD 是平面四

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