南京市、盐城市2017届高三第二次模拟考试_图文

江苏省南京市、盐城市 2017 届高三年级第二次模拟考试

数学
2017.3
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)

1. 函数 f ? x ? ? ln

1 的定义域为 1? x

.

2. 若复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 2i ( i 是虚数单位), z 是 z 的共轭复数,则
z?z ?

.

3.某校有三个兴趣小组,甲乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个 兴趣小组的可能性相同,则甲乙不在同一个兴趣小组的概率为 .

4.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据,人数如表所示:

现要从所有参加调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 个 人做进一步的调研,若在“不喜欢戏剧的男性青年观众” 中抽取 8 人,则 n 的值为 .

5.根据如图所示的伪代码,输出 S 的值 为 .

6.记公比为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 a1 ? 1 则 S5 的值 , S4 ?5S2 ?0 , 为 .

7.将函数 f ? x ? ? sin x 的图象向右平移 数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 的最大值是

? 个单位后得到函数 y ? g ? x ? 的图象,则函 3
.

8.在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 y 2 ? 6x 的焦点为 F,准线为 l ,P 是抛物线上 的一点, PA ? l , A 为垂足,若直线 AF 的斜率为 k ? ? 3 ,则线段 PF 的长 为 .
-1-

?? 3 ? ? ?? 9.若 sin ? ? ? ? ? , ? ? ? 0, ? ,则 cos? 的值 6? 5 ? ? 2?
为 .

10. ? , ? 是两个不同的平面, m, n 为两条不同的直线,下列命题中正确的 是 .(填上所有正确的序号) ②若 m // ? , n ? ? ,则 m // n ;

①若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? ;

③若 ? ? ? , ? ? ? ? n, m ? n ,则 m ? ? ;④若 m ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? 11.在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l1 : kx ? y ? 2 ? 0 与直线 l2 : x ? ky ? 2 ? 0 相交于 点 P,则当 k 实数变化时,点 P 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离的最大值为 .

12.若函数 f ? x ? ? x2 ? m cos x ? m2 ? 3m ? 8 有唯一的零点,则满足条件的实数 m 的 所有的集合为 . .

??? ? ??? ? ???? ??? ? 13.已知平面向量 AC ? ?1, 2 ? , BD ? ? ?2, 2 ? ,则 AB ?CD 的最小值为
14.已知函数 f ? x ? ? ln x ? ? e ? a ? x ? b ,其中 e 为自然对数的底数,若不等式
b f ? x ? ? 0 恒成立,则 的最小值为 a

.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出 必要的文字说明或推理、验算过程.

15.(本题满分 14 分) 如图,在 ?ABC 中, D 为边 BC 上一点,
AD ? 6, BD ? 3, DC ? 2.

(1)若 AD ? BC ,求 ?BAC 的大小; (2)若 ?ABC ?

?
4

,求 ?ADC 的面积.

16.(本题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? 平面 PAB, AP ? AB.

-2-

(1)求证: CD ? AP ; (2)若 CD ? PD ,求证: CD // 平面 PAB .

17.(本题满分 14 分)在一张足够大的纸板上截取一个面积为 3600 平方厘米的 矩形纸板 ABCD,然后再矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的 边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形的边长为 x 厘米, 矩形纸板的两边 AB,BC 的长分别为 a 厘米和 b 厘米,其中 a ? b . (1)当 a ? 90 时,求纸盒的 侧面积的最大值; (2) 试确定 a, b, x 的值, 使得 纸盒的体积最大, 并求出最大 值.

18.(本题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,焦点在 x 轴上的椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1 经过点 8 b2

?b, 2c ? ,其中 e 为椭圆 C 的离心率,过点 T ?1,0? 作斜率
为 k ? k ? 0? 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点(A 在 x 轴下 方). (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆 C 于点 M,N,求
AT ? BT 的值; MN 2

??? ? 2 ??? (3)记直线 l 与 y 轴的交点为 P,若 AP ? TB ,求直线 l 的斜率 k . 5

-3-

19.(本题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? ex ? ax ?1,其中 e 为自然对数的底数, a ? R . (1)若 a ? e ,函数 g ? x ? ? ? 2 ? e? x . ①求函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间;
? ? f ? x?, x ? m ②若函数 F ? x ? ? ? 的值域为 R,求实数 m 的取值范围; g x , x ? m ? ? ? ?

(2)若存在实数 x1 , x2 ??0, 2? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,且 x1 ? x2 ? 1 ,求证:
e ? 1 ? a ? e2 ? 2 .

20.(本题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?bn ? ,?cn ? 满足

? n ? 1? bn ? an?1 ?

Sn a ?a S , ? n ? 2 ? cn ? n ?1 n ? 2 ? n ,其中 n ? N ? . n 2 n

(1)若数列 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,求数列 ?cn ? 的通项公式; (2)若存在实数 ? ,使得对一切 n ? N ? ,有 bn ? ? ? cn ,求证:数列 ?an ? 是 等差数列.

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数学附加卷
21.【选做题】在 A,B,C,D 四个小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题纸的指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 的顶点 A,C 在圆 O 上,B 在圆外,线段 AB 与圆 O 交于点 M.
-4-

(1)若 BC 是圆 O 的切线,且 AB=8,BC=4,求线段 AM 的长; (2)若线段 BC 与圆 O 交于另一点 N,且 AB=2AC,求证:BN=2MN.

B.选修 4-2:矩阵与变换

? 3 0? 设 a, b ? R ,若直线 l : ax ? y ? 7 ? 0 在矩阵 A ? ? ? 对应的变化作用下,得到的 ? ?1 b ?
直线为 l ? : 9 x ? y ? 91 ? 0 ,求实数 a , b 的值. C.选修 4-4:坐标系与参数方程
3 ? x ? 1? t ? ? x ? 4k 2 ? 5 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l : ? ( t 为参数),与曲线 C : ? (k ? y ? 4k ?y ? 4 t ? 5 ?

为参数)交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. D.选修 4-5:不等式选讲 设 a ? b ,求证: a 4 ? 6a 2b 2 ? b 4 ? 4ab ? a 2 ? b 2 ? . 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分共计 20 分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面四边形
ABCD 为菱形,A1 A ? AB ? 2, ?ABC ?

?
3

, E , F 分别是

BC, AC 1 的中点.
(1)求异面直线 EF , AD 所成角的余弦值; (2)点 M 在线段 A1D 上,
A1M ? ? ,若 CM // 平面 AEF ,求实数 ? 的值. A1D
-5-

23.(本小题满分 10 分) 现有 阵:
n ? n ? 1? n ? 2, n ? N ? ? 个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数 ? 2

设 M k 是第 k 行中的最大数, 其中 1 ? k ? n, k ? N ? , 记 M1 ? M 2 ? ? ? M n 的概率为 pn (1)求 p2 的值; (2)证明: pn ?
2 Cn ?1 . ? n ? 1?!

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