高中数学(人教版必修2)配套练习 第四章4.2.1直线与圆的位置关系

§ 4.2
4.2.1
一、基础过关

直线、圆的位置关系
直线与圆的位置关系

1.直线 3x+4y+12=0 与圆(x+1)2+(y+1)2=9 的位置关系是 A.过圆心 A.y=2x 1 3 C.y= x+ 2 2 方程是 A.(x-2) +(y-1) =1 C.(x+2) +(y-1) =1 A.在圆上 C.在圆内
2 2 2 2 2 2

( D.相交

) )

B.相切

C.相离 B.y=2x-2 1 3 D.y= x- 2 2

2.直线 l 将圆 x2+y2-2x-4y=0 平分,且与直线 x+2y=0 垂直,则直线 l 的方程为(

3.若圆 C 半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准 ( B.(x-2) +(y+1) =1 D.(x-3)2+(y-1)2=1 ( ) B.在圆外 D.都有可能
2 2

)

4.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则点 P(a,b)的位置是

5.过原点 O 作圆 x +y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,则线段 PQ 的 长为________. 6.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被该圆所截得的弦长为 2 2,则圆 C 的标准方程为____________. 7.已知圆 C 和 y 轴相切,圆心 C 在直线 x-3y=0 上,且被直线 y=x 截得的弦长为 2 7, 求圆 C 的方程. 8.已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0.问是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 AB 满足:以 AB 为直径的圆经过原点. 二、能力提升 9.由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最小值为 A.1
2 2

( (

) )

B.2 2 B.2 个
2 2

C. 7 C.3 个

D.3 D.4 个

10.圆 x +y +2x+4y-3=0 上到直线 l:x+y+1=0 的距离为 2的点有 A.1 个

11.由动点 P 向圆 x +y =1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,且∠APB=60° ,则动 点 P 的轨迹方程为__________________. 12.已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0 的两条 切线,A、B 是切点. (1)求四边形 PACB 面积的最小值; (2)直线上是否存在点 P,使∠BPA=60° ,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,说明 理由.

三、探究与拓展 13.圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:不论 m 取什么数,直线 l 与圆 C 恒交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度,并求此时 m 的值.

答案
1.D 5.4 6.(x-3)2+y2=4 7.解 设圆心坐标为(3m,m),∵圆 C 和 y 轴相切,得圆的半径为 3|m|,∴圆心到直线 y |2m| =x 的距离为 = 2|m|. 2 由半径、弦心距的关系得 9m2=7+2m2, ∴m=± 1.∴所求圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. 8.解 假设存在且设 l 为:y=x+m,圆 C 化为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心 C(1,-2). ?y=x+m ? 解方程组? ?y+2=-?x-1? ? m+1 m-1 得 AB 的中点 N 的坐标 N(- , ), 2 2 由于以 AB 为直径的圆过原点,所以|AN|=|ON|. ?m+3?2 又|AN|= |CA|2-|CN|2= 9- , 2 m+1 2 m-1 2 |ON|= ?- ? +? ?. 2 2 ?3+m?2 ? m+1?2 ?m-1?2 所以 9- = - + ,解得 m=1 或 m=-4. 2 2 ? ? 2 ? ? 所以存在直线 l,方程为 x-y+1=0 和 x-y-4=0,并可以检验,这时 l 与圆是相交于 两点的. 9.C 10.C 11.x2+y2=4 12.解 3 (1)如图,连接 PC,由 P 点在直线 3x+4y+8=0 上,可设 P 点坐标为(x,-2- x). 4 2.A 3.A 4.B

圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1, 1 所以 S 四边形 PACB=2S△PAC=2× ×|AP|×|AC|=|AP|. 2 因为|AP|2=|PC|2-|CA|2=|PC|2-1, 所以当|PC|2 最小时,|AP|最小. 3 5 因为|PC|2=(1-x)2+(1+2+ x)2=( x+1)2+9. 4 4 4 2 所以当 x=- 时,|PC|min=9. 5 所以|AP|min= 9-1=2 2. 即四边形 PACB 面积的最小值为 2 2. (2)假设直线上存在点 P 满足题意.

因为∠APB=60° ,|AC|=1, 所以|PC|=2.
2 2 ? ??x-1? +?y-1? =4, 设 P(x,y),则有? ?3x+4y+8=0. ?

整理可得 25x2+40x+96=0, 所以 Δ=402-4×25×96<0.所以这样的点 P 是不存在的. 13.(1)证明 ∵直线 l 的方程可化为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0(m∈R). ? ?2x+y-7=0 ∴l 过? 的交点 M(3,1). ?x+y-4=0 ? 又∵M 到圆心 C(1,2)的距离为 d= ?3-1?2+?1-2?2= 5<5, ∴点 M(3,1)在圆内,∴过点 M(3,1)的直线 l 与圆 C 恒交于两点. (2)解 ∵过点 M(3,1)的所有弦中,弦心距 d≤ 5,弦心距、半弦长和半径 r 构成直角三 角形,∴当 d2=5 时,半弦长的平方的最小值为 25-5=20. ∴弦长 AB 的最小值|AB|min=4 5. 2m+1 1 此时,kCM=- ,kl=- . 2 m+1 1 2m+1 ∵l⊥CM,∴ · =-1, 2 m+1 3 解得 m=- . 4 3 ∴当 m=- 时,取到最短弦长为 4 5. 4


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