利用导数判断函数的单调性问题的学案

利用导数判断函数的单调性问题的学案 目标: 1. 更全面了解和掌握导数在研究函数单调性的价值, 掌握比较函数大小的一种方法就是通 过构造新的函数, 利用导数解决新函数在给定区间大于 0 或小于 0 来实现函数大小的比 较。 2. 培养学生分类讨论的能力、知识迁移的能力、计算能力和抽象运算能力,加强对数学方 法和思想全面的了解和认识,加强思维的逻辑性。 3. 重点解决关于含参函数单调区间的研究, 发现不同类型下的不同对策问题, 利用函数在 区间上的单调性求参数的范围问题。 4. 解决分类讨论时如何确定讨论点、 如何展开分类讨论问题; 掌握利用分离参数法来解决 参数的范围问题。 过程: 1.复习回忆:利用导数判断单调性的充分条件——

若f , ( x) ? 0在区间(a, b)上成立 ? f ( x)在区间(a,b)上单调递增;若f , ( x) ? 0 在区间(a,b)上成立 ? f ( x)在区间(a,b)上单调递减。
2. 利用导数解决函数的单调区间的步骤: (1) 先求 y=f(x)的导函数 (2)

令f , ( x) ? 0,求出y ? f(x)的单调递增区间;令f , ( x) ? 0, 求出f(x)的 单调递减区间

(3) 限时(5 分钟)求下列函数的单调区间:

(1) y ?
(3) y ?

1 3 1 2 x ? x ? 2x ? 5 3 2
x2 ?1 x

(2) y ? 2 x 2 ? ln x

(4) y ?

1 3 x ? kx2 ? 3k 2 x ? 1(k ? 0) 3

小结提问:具体求函数的单调性时我们应该注意什么问题 (1) 函数的定义域问题 (2) 利用导数取得单调区间应该分开写,最好用和 (3) 注意利用导函数的图像来解决单调区间 提出一个问题:将(4)中 k>0 这个条件去掉,那么函数的单调性又如何研究呢? 一. 含参函数的单调性问题的研究 问题 1:讨论函数 y ?

1 3 x ? kx2 ? 3k 2 x ? 1 的单调性 3

分析:找出导函数对应的两个零点,对两个零点的大小关系进行讨论,从而决定函数的 单调区间 例 1:试讨论函数 y ?

1 3 1 ax ? (a ? 1) x 2 ? x ? 1 的单调性 3 2

分析: 先注意最高次前面的系数问题, 确定大的分类讨论点, 求导以后注意观察导函数, 看能否利用十字相乘法找出导函数的零点,然后再着手讨论。

试一试自己完成:

1 2 ;单调减区间(1,∞) x ? x ? 1, 单调区间(—∞,1) 2 1 1 当 a≠0,当 a>0 时, ? ? 1, 单调递增区间 (??,? ) 和(1,+∞) ;单调减区间为 a a 1 ( ? ,1 ) ;当 a<0 时, a 1 1 1 当 ? ? 1 ? a ? ?1, 单调减区间(? ?, ? )和( 1, ? ?);单调递增区间为(? , 1 ) a a a 1 当 ? ? 1 ? a ? ?1, f , ( x) ? 0恒成立,故y ? f ( x)在R上恒单调递减 a 1 1 1 当 ? ? 1 ? ?1 ? a ? 0, 单调递减区间(? ?, 1 )和(? ,??); 单调递增区间( 1, ? ) a a a
参考答案:当 a=0 时, y ? 例 2:试讨论函数 y ? ( x ? ax ? 2)e 的单调性
2 x

分析:注意求导的准确性,研究导函数局部的性质, (即 g ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ? 2 )
2

这函数在区间上的正负符号问题, 从而决定函数在区间上的单调性, 分析这个函数没有 特征, 不能在有理式范围内实现十字相乘分解, 故我们要用△来研究其导函数的符号问 题,

g ( x)中? ? (a ? 2) 2 ? 4(a ? 2) ? a 2 ? 4当? ? 0时,导函数有两个不同零点 ? (a ? 2) ? a 2 ? 4 , 利用导函数图像即可得到递增递减区间;当? ? 0时, 2 , 导函数图像与x轴至多有一个交点,且恒在x轴上方,故满足f( x) ? 0恒成立, x1, 2 ? 故y ? f(x)在R上单调递增。

试一试自己完成:

有这样一个命题:若一个函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则一定满足其导 函数 y ? f ( x) ? 0 在区间(a,b)上恒成立。
,

提问:这个命题是否正确,若不正确,请给出例子说明。 得出结论:导数判断函数单调性的必要条件——若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单 调递增,则其导函数 f ( x) ? 0 在区间(a,b)上恒成立;
,

若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则其导函数 f ( x) ? 0 在区间上恒成立。
,

二.利用函数在区间上的单调性解决参数的范围问题(导数判断单调性的必要条件)

1 3 1 2 x ? ax ? (a ? 3) x ? 1在R上单调递增,求a的取值范围 3 2 1 3 1 2 变式一:若 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 3) x ? 1在?? 2, 2?上单调递增,求a的范围 3 2 1 1 变式二 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? (a ? 3) x ? 1在(0, ? ?)上单调递增,求a的取值范围 3 2
问题探究:若 f ( x) ? 点评: 同一函数在三个不同区间的单调性引出三种不同求参数范围的方法 (图像法, 最值法, 分离系数法) ,具体问题具体分析,每种方法都有它的适用范围,所以根据式子的特征选择 最有效的解法在解题中很重要。 参考答案: (1)-2≤a≤6 (2)-2≤a≤7 (3)-2≤a 练习: (1)函数 y ? x ? ax ? ln x在定义域上单调递增,求a的取值范围
2

(2)函数 y ?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 2ax在区间?0, 1?上单调递增,求a的取值范围 3
(2)a≤0

参考答案: (1) ? 2 2 ? a

例 3:已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R)
2

(1) 讨论函数的单调性 (2) 若函数在区间【2,+∞)上是单调递增的函数,求实数 a 的取值范围

本题综合利用导数研究函数单调性的充分条件和必要条件,涉及到分类讨论 的思想和利用分离参数法求参数的取值范围, 可感受导数在解决函数单调性问题中的重 要作用。


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