函数的单调性试题(含答案)

一、选择题 1.下列函数中,在区间(-∞,0)上是减函数的是( A.y=1-x2 C.y=- -x [答案] D [解析] y=1-x2 在(-∞,0)上为增函数,y=x2+x 在(-∞,0) 上不单调,y=- -x在(-∞,0)上为增函数,故选 D.
?1? 2.已知 f(x)是 R 上的减函数,则满足 f? x?>f(1)的 x 的取值范围是 ? ?

)

B.y=x2+x x D.y= x-1

(

) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,0)∪(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) [答案] D 1 [解析] ∵f(x)在 R 上单调递减且 f(x )>f(1), 1 ∴x<1,∴x<0 或 x>1. 3.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( A.y=3-x 1 C.y=x [答案] B 1 [解析] y=3-x,y=x ,y=-|x|在(0,2)上都是减函数,y=x2+1 B.y=x2+1 D.y=-|x| )

在(0,2)上是增函数.

4.若 y=f(x)是 R 上的减函数,对于 x1<0,x2>0,则( A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)<f(-x2) C.f(-x1)=f(-x2) D.无法确定 [答案] B

)

[解析] 由于 x1<0,x2>0,所以 x1<x2,则-x1>-x2,因为 y =f(x)是 R 上的减函数,所以 f(-x1)<f(-x2),故选 B. 5.函数 f(x)= -x2+6x+7的单调增区间为( A.(-∞,3] C.[-1,3] [答案] C [解析] 方程-x2+6x+7=0 的两根为 x1=-1, 2=7, y=- x 又 x2+6x+7 对称轴为 x=3,如图知选 C. B.[3,+∞) D.[3,7] )

1 6.函数 y=1- ( x-1

)

A.在(-1,+∞)内单调递增 B.在(-1,+∞)内单调递减 C.在(1,+∞)内单调递增 D.在(1,+∞)内单调递减 [答案] C [解析] 1 1 因为函数 y=1- 可视作函数 y=-x 的图象向右平 x-1

1 移一个单位,再向上平移一个单位得到的,所以 y=1- 在(-∞, x-1 1)和(1,+∞)内都是增函数,故选 C. 7.已知函数 y=f(x)的定义域是数集 A,若对于任意 a,b∈A, 当 a<b 时都有 f(a)<f(b),则方程 f(x)=0 的实数根( A.有且只有一个 B.一个都没有 C.至多有一个 D.可能会有两个或两个以上 [答案] C [解析] 由条件知 f(x)在 A 上单调增, f(x)的图象与 x 轴至多有 故 一个交点,故选 C. 8. 如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t, 都有 f(2+t)=f(2-t), 则( ) A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1) [答案] A [解析] 由条件知,二次函数 f(x)=x2+bx+c 的对称轴为 x=2, 其图象开口向上, ∵2-1<4-2,∴f(4)>f(1)>f(2). [点评] 当二次函数的图象开口向上时,与对称轴距离越远,对 应的函数值越大;开口向下时恰好相反.
?x2-4x+6,x≥0, ? 9.(09· 天津文)设函数 f(x)=? 则不等式 f(x) ? ?x+6,x<0,

)

>f(1)的解集是(

)

A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) [答案] A [解析] ∵f(1)=3,∴当 x≥0 时,由 f(x)>f(1) 得 x2-4x+6>3, ∴x>3 或 x<1.又 x≥0,∴x∈[0,1)∪(3,+∞). 当 x<0 时,由 f(x)>f(1)得 x+6>3∴x>-3, ∴x∈(-3,0). 综上可得 x∈(-3,1)∪(3,+∞),故选 A. 10.设(c,d)、(a,b)都是函数 y=f(x)的单调减区间,且 x1∈(a, b),x2∈(c,d),x1<x2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是( A.f(x1)<f(x2) C.f(x1)=f(x2) [答案] D [解析] 函数 f(x)在区间 D 和 E 上都是减函数(或都是增函数), 但在 D∪E 上不一定单调减(或增). 如图, f(x)在[-1,0)和[0,1]上都是增函数, 但在区间[-1,1]上不单 调. B.f(x1)>f(x2) D.不能确定 )

二、填空题 11.考察单调性,填增或减 函数 y= 1-x在其定义域上为________函数; 函数 y= 1 在其定义域上为________函数. x 减 x≥0 x<0 , f(x)的单调增区间是________, 则

[答案] 减

?(x-1)2 ? 12. f(x)=? 若 ? ?x+1

单调减区间是________. [答案] 增区间为(-∞,0]、[1,+∞),减区间[0,1] [解析]
?(x-1)2 (x≥0) ? 画出 f(x)=? 的图象如图,可知 f(x)在 ? ?x+1 (x<0)

(-∞,0]和[1,+∞)上都是增函数,在[0,1]上是减函数.

13.已知函数 f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2)上递减,在[-2, +∞)上递增,则 f(1)=________. [答案] 21 -m [解析] 由已知得- =-2,解得 m=-16 2×4 ∴f(x)=4x2+16x+1,则 f(1)=21. 三、解答题 14.设 f(x)在定义域内是减函数,且 f(x)>0,在其定义域内判断 下列函数的单调性

(1)y=f(x)+a (2)y=a-f(x) (3)y=[f(x)]2. [解析] (1)y=f(x)+a 是减函数,(2)y=a-f(x)是增函数.证明从 略. (3)设 x2>x1,f 2(x2)-f 2(x1)=[f(x2)+f(x1)][f(x2)-f(x1)]<0,∴y=f
2

(x)是减函数. 15.画出函数 y=|x2-x-6|的图象,指出其单调区间.

[解析] 函数解析式变形为
2 ? ?-x +x+6(-2≤x≤3) y=? 2 ?x -x-6(x<-2或x>3) ?

1 画出该函数图象如图,由图知函数的增区间为[-2,2]和[3,+ 1 ∞);减区间为(-∞,-2)和[2,3]. 16.讨论函数 y= 1-x2在[-1,1]上的单调性. [解析] 设 x1、x2∈[-1,1]且 x1<x2,即-1≤x1<x2≤1,则 f(x1)- f(x2)= 1-x2- 1-x2 1 2 = (x2-x1)(x2+x1) 1-x2+ 1-x2 1 2

当 1>x1≥0,1≥x2>0,x1<x2 时,f(x1)>f(x2), ∴f(x)在[0,1]上为减函数,

当-1≤x1<0,-1<x2≤0,x1<x2 时,f(x1)<f(x2),∴f(x)在[-1,0] 上为增函数. a2 17.求证:函数 f(x)=x+ x (a>0),在区间(0,a]上是减函数. a2 a2 [解析] 设 0<x1<x2≤a,f(x2)-f(x1)=(x2+x )-(x1+x ) 2 1 a2(x1-x2) (x2-x1)(x1x2-a2) =(x2-x1)+ x x = . xx
1 2 1 2

∵0<x1<x2≤a,∴0<x1x2<a2, (x2-x1)(x1x2-a2) ∴ <0,∴f(x2)<f(x1), x1 x2 a2 ∴f(x)=x+ x (a>0)在(0,a]上是减函数. 18.已知 f(x)在 R 上是增函数,且 f(2)=0,求使 f(|x-2|)>0 成立 的 x 的取值范围. [解析] 不等式 f(|x-2|)>0 化为 f(|x-2|)>f(2),∵f(x)在 R 上是增函数, ∴|x-2|>2,∴x>4 或 x<0.


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