2008年全国高中数学联合竞赛加试试题及参考答案(B卷)

2008 年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷) 试题参考答案
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档 次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、 (本题满分 50 分) 如题一图, ABCD 是圆内接四边形. AC 与 BD 的交点为

P , 是弧 ? 上一点, E 连接 EP 并延长交 DC 于点 F , G , H 点 AB
分 别 在 CE , DE 的 延 长 线 上 , 满 足 ?E A G ? ? F A D ,

?EBH ? ?FBC ,求证: C , D, G, H 四点共圆.
[证] 由已知条件知

?FAG ? ?FAE ? ?EAG ? ?FAE ? ?FAD ? ?DAE .
又 所以

?DAE ? ?DCE ? 180? ,
?FAG ? ?DCE ? 180? ,

题一图

从而 A, F , C , G 四点共圆,此圆记为 ?1 . 同理可证: B, F , D, H 四点共圆,此圆记为 ?2 . 点 E 在圆 ?1 , ?2 内.延长 FE 与圆 ?1 相交于点 I ,则

IP ? PF ? AP ? PC ? DP ? PB ,
故 B, F , D, I 四点共圆. 所以 I 在 ?BFD 的外接圆上,故 I 在 ?2 上. 再用相交弦定理:

E C ?

E G ?

E? F

? I E

?E D E H ,
答一图

故 C , D, G, H 四点共圆.

二、 (本题满分 50 分) 求满足下列关系式组

? x2 ? y2 ? 2z 2 , ? ? z ? y ? z ? 50,

的正整数解组 ( x, y, z ) 的个数. [解] 令 r ? y ? z ,由条件知 0 ? r ? 50 ,方程化为

x2 ? ( z ? r )2 ? 2z 2 ,即 x 2 ? 2 zr ? r 2 ? z 2 .
因 y ? z ? r ? 0 ,故 z 2 ? x2 ? y 2 ? z 2 ? x2 ,从而 z ? x . 设 p ? z ? x ? 0 .因此(1)化为

(1)

?2zp ? p2 ? 2zr ? r 2 ? 0 .
下分 r 为奇偶讨论, (ⅰ)当 r 为奇数时,由(2)知 p 为奇数. 令 r ? 2r ? 1 , p ? 2 p1 ? 1,代入(2)得 1

(2)

2( p12 ? p1 ? zp1 ? zr1 ? r12 ? r1 ) ? 1 ? 0 .

(3)

(3)式明显无整数解.故当 r 为奇数时,原方程无正整数解. (ⅱ)当 r 为偶数时,设 r ? 2r ,由方程(2)知 p 也为偶数.从而可设 p ? 2 p1 ,代入(2) 1 化简得

p12 ? zp1 ? zr1 ? r12 ? 0 .

(4)

2 由(4)式有 z( p1 ? r ) ? p1 ? r 2 ? 0 ,故 p1 ? r ,从而可设 p1 ? r ? a ,则(4)可化为 1 1 1 1

(r1 ? a)2 ? za ? r12 ? 0 , 2r12 ? 2ar1 ? za ? a2 ? 0 .
因z? (5)

2r12 ? 2r1 ? a 为整数,故 a 2r12 . a

又 z ? z ? x ? 2 p1 ? 2(r ? a) ,因此 1

(r1 ? a)2 ? r12 ? za ? 2(r1 ? a)a ,得 a2 ? 2r12 ,

a ? 2r1 .
因此,对给定的 r ? 1, 2, ???, 25 ,解的个数恰是满足条件 a ? 2r 的 2r12 的正因数 a 的个数 1 1

N (r1 ) .因 2r12 不是完全平方数,从而 N (r1 ) 为 2r12 的正因数的个数 ? (2r12 ) 的一半.即

N (r1 ) ? ? (2r12 ) / 2 .
由题设条件, 1 ? r ? 25 .而 1 25 以内有质数 9 个:2,3,5,7,11,13,17,19,23.将 25 以内的数分为以下八组: :

A1 ? {20 , 21, 22 , 23 , 24} ,
A2 ? {2 ? 3, 2 ? 5, 2 ? 7, 2 ?11},

A3 ? {22 ? 3, 22 ? 5} , A4 ? {23 ? 3} , A5 ? {2 ? 32 } ,
B1 ? {3,5,7,11,13,17,19, 23} ,

B2 ? {32 ,52} ,
B3 ? {3? 5,3? 7} ,
从而易知

N ( A1 ) ? N (20 ) ? N (21 ) ? N (22 ) ? N (23 ) ? N (24 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 15 ,
N ( A2 ) ? N (2 ? 3) ? 4 ? 6 ? 4 ? 24 , N ( A3 ) ? 9 ? 2 ? 18 ,

N ( A4 ) ? 12 , N ( A5 ) ? 10 ,
N ( B1 ) ? 3? 8 ? 24 , N ( B2 ) ? 5 ? 2 ? 10 , N ( B3 ) ? 9 ? 2 ? 18 ,
将以上数相加,共 131 个.因此解的个数共 131.

三、 (本题满分 50 分) 设 ak ? 0 , k ? 1, 2,?, 2008 .证明:当且仅当 ? ak ? 1 时,存在数列 {xn } 满足以下条件:
k ?1 2008

(ⅰ) 0 ? x0 ? xn ? xn?1 , n ? 1, 2,3,? ; (ⅱ) lim xn 存在;
n ??

(ⅲ) xn ? xn ?1 ? ? ak xn ? k ? ? ak ?1 xn? k , n ? 1, 2,3,? .
k ?1 k ?0

2008

2007

[证] 必要性:假设存在 {xn } 满足(ⅰ)(ⅱ)(iii) , , .注意到(ⅲ)中式子可化为
* xn ? xn ?1 ? ? ak ( xn ? k ? xn ? k ?1 ) , n ? N ,

2008 k ?1

其中 x0 ? 0 . 将上式从第 1 项加到第 n 项,并注意到 x0 ? 0 得

xn ? a1 ( xn?1 ? x1 ) ? a2 ( xn?2 ? x2 ) ? ? ? a2008 ( xn?2008 ? x2008 ) .
由(ⅱ)可设 b ? lim xn ,将上式取极限得
n ??

b ? a1 (b ? x1 ) ? a2 (b ? x2 ) ? ? ? a2008 (b ? x2008 )
? b ? ? ak ? (a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? a2008 x2008 )
k ?1 2008

? b ? ? ak ,
k ?1

2008

因此 ? ak ? 1 .
k ?1

2008

充分性:假设 ? ak ? 1 .定义多项式函数如下:
k ?1

2008

f ( s) ? ?1 ? ? ak s k , s ?[0,1] ,
k ?1

2008

则 f ( s ) 在[0,1]上是递增函数,且

f (0) ? ?1 ? 0 , f (1) ? ?1 ? ? ak ? 0 .
k ?1

2008

因此方程 f ( s) ? 0 在[0,1]内有唯一的根 s ? s0 ,且 0 ? s0 ? 1,即 f (s0 ) ? 0 .
k 下取数列 {xn } 为 xn ? ? s0 , n ? 1, 2,? ,则明显地 {xn } 满足题设条件(ⅰ) ,且 k ?1 n

k xn ? ? s0 ? k ?1

n

n s0 ? s0 ?1 . 1 ? s0

因 0 ? s0 ? 1, i s0 ?1 0 , 故m n ? 因此 lim xn ? lim s0 ? s0 ? s0 , {xn } 的极限存在, (ⅱ) 即 满足 . l n ?? n ?? n ?? 1 ? s 1 ? s0 0
k 最后验证 {xn } 满足(ⅲ) ,因 f (s0 ) ? 0 ,即 ? ak s0 ? 1 ,从而 k ?1 2008

n ?1

n k n n xn ? xn?1 ? s0 ? ( ? ak s0 )s0 ? ? ak s0 ? k ? ? ak ( xn? k ? xn? k ?1 ) . k ?1 k ?1 k ?1

2008

2008

2008

综上,已证得存在数列 {xn } 满足(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ) , , .


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