精品高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-3空间中的垂直关系1课堂探究新人教B版必修2

免费会员专享精品 【最新】2019 年高中数学 1-2 点线面之间的位置关系 1-2-3 空间中的垂直关系 1 课堂探究新人教 B 版必修 2 课堂探究 探究一 线面垂直的判定 (1) 利用直线与平面垂直的判定定理来判定直线与平面垂直的步 骤: ①在这个平面内找两条直线,使它们和这条直线垂直; ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线; ③根据判定定理得出结论. (2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧: 证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导 出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、 菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方 法. 【典型例题 1】 如图所示,直角△ABC 所在平面外有一点 S,且 SA=SB=SC,点 D 为斜边 AC 的中点. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD⊥平面 SAC. 思路分析:由于 D 是 AC 的中点,SA=SC,则 SD 是△SAC 的高, 连接 BD,可证△SDB≌△SDA.由于 AB=BC,所以 Rt△ABC 是等腰直角 三角形,则 BD⊥AC,利用线面垂直的判定定理即可得证. 1/5 免费会员专享精品 证明:(1)因为 SA=SC,D 为 AC 的中点,所以 SD⊥AC. 在 Rt△ABC 中,连接 BD. 则 AD=DC=BD.又因为 SB=SA,SD=SD, 所以△ADS≌△BDS.所以 SD⊥BD. 又 AC∩BD=D,所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 BA=BC,D 为 AC 的中点,所以 BD⊥AC. 又由(1)知 SD⊥BD, AC∩SD=D,所以 BD⊥平面 SAC. 探究二 线面垂直的判定定理与推论的应用 (1)平面内证明线线平行的四种方法: ①两条直线被第三条直线所截,若同位角相等(或内错角相等或同 旁内角互补),则两直线平行. ②三角形中位线、梯形中位线的性质. ③平行四边形对边平行的性质. ④平行线分线段成比例定理. (2)空间中证明线线平行的四种方法: ①(基本性质 4)平行于同一条直线的两条直线平行. ②(线面平行的性质定理 )如果一条直线与一个平面平行,那么过 该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行. ③(面面平行的性质定理 )如果两个平行平面同时与第三个平面相 交,那么它们的交线平行. ④(线面垂直的性质定理 )如果两条直线垂直于同一个平面,那么 这两条直线平行. 2/5 免费会员专享精品 【典型例题 2】 如图所示,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,M 是 AB 上一点,N 是 A1C 的中点,MN⊥平面 A1DC. 求证:MN∥AD1. 证明:因为 ADD1A1 为正方形, 所以 AD1⊥A1D. 又因为 CD⊥平面 ADD1A1, 所以 CD⊥AD1. 因为 A1D∩CD=D, 所以 AD1⊥平面 A1DC. 又因为 MN⊥平面 A1DC, 所以 MN∥AD1. 探究三 距离问题 求点到平面距离的基本步骤是:①找到或作出要求的距离;②使 所求距离在某一个三角形中;③在三角形中根据三角形的边角关系求 出距离. 【典型例题 3】 如图所示,已知 P 为△ABC 外一点,PA,PB,PC 两两垂直,PA=PB=PC=a,求点 P 到平面 ABC 的距离. 思路分析:作出点到平面的垂线,进一步求出垂线段的长. 证明:过 P 作 PO⊥平面 ABC 于点 O,连接 AO,BO,CO, 所以 PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC. 因为 PA=PB=PC=a, 所以△PAO≌△PBO≌△PCO. 所以 OA=OB=OC,所以 O 为△ABC 的外心. 3/5 免费会员专享精品 因为 PA,PB,PC 两两垂直, 所以 AB=BC=CA=, 2a 所以△ABC 为正三角形,所以 OA=AB=, 2 2 A ? O A 所以 PO==. P 3 3 3 6 a 3 3 a 3 3 所以点 P 到平面 ABC 的距离为. 探究四 易错辨析 a 易错点:忘记分类讨论而致误 【典型例题 4】 已知:线段 AB 的中点为 O,O∈平面 α . 求证:A,B 两点到平面 α 的距离相等. 错解:如图所示,过点 A,B 作平面 α 的垂线,垂足分别为 A1, B1,则 AA1,BB1 分别是点 A、点 B 到平面 α 的距离.在 Rt△AA1O 和 Rt△BB1O 中, AO=BO,∠B1OB=∠A1OA, 所以 Rt△AOA1≌Rt△BOB1, 所以 AA1=BB1,即 A,B 两点到平面 α 的距离相等. 错因分析:错误的原因有两种:一是忽略了 AB? α 的情况;二是 认为∠AOA1 和∠BOB1 为对顶角而相等,其实应说明 B1,O,A1 三点共 线才行. 正解:(1)当线段 AB? 平面 α 时,显然 A,B 到平面 α 的距离均 为 0,相等. (2)当 AB 平面 α 时,如图,分别过点 A,B 作平面 α 的垂线,垂 足分别为 A1,B1,则 AA1,BB1 分别是点 A、点 B 到平面 α 的距离, 4/5 免费会员专享精品 且 AA1∥BB1. ? 所以 AA1 与 BB1 确定一个平面,设为 β ,则 α ∩β =A1B1.因为 O∈AB,AB? β ,所以 O∈β . 又因为 O∈α ,所以 O∈A1B1.所以∠AOA1=∠BOB1. 又 AA1⊥A1O,BB1⊥B1O,AO=BO, 所以 Rt△AA1O≌Rt△BB1O.所以 AA1=BB1,即 A,B 两点到平面 α 的距离相等. 5/5

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