山东省济南市2017届高三下学期一模考试数学(理)试题 Word版含答案













理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、设集合 A ? {x | A. ?3,1

x?2 ? 0}, B ? {?4 ? x ? 1} ,则 A ? B ? x?3
C. [?2,1] D. (?3,1]

?

?

B. ? ?4, 2?

2、若复数 z 满足, ( 3 ? i) ? z ? 4i ,其 i 中为虚数单位,则 z ? A. 1 ? 3i B. 3 ? i C. 3 ? i D. 1 ? 3i

3、中国诗词大会的播出引发了全民的读书热,某小数语文老师在班里开展了一次诗词默写 比赛,班里 40 名学生得分数据的茎叶图如右图,若规定得分不小于 85 分的学生得到“诗词 达人”的称号,小于 85 分分且不小于 70 分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到 “诗词爱好者” 的称号, 根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选 10 名学生, 则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为 A.2 C.5 B.4 D.6

4、在 ?ABC 中, AC ? 13, BC ? 1 ? 600 ,则 ?ABC 的面积为 A. 3 B.2 C. 2 3 D.3

?x ? 2 y ? 0 y ? 5、若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 的最小值等于 x?3 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A.-4 B.-2 C. ?

1 8

D.0

2 6、设 x ? R ,若“ x ? a ? 1(a ? R) ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件,则的取值

范围是 A. (??, ?3] ? [2, ??) B. (??, ?3) ? (2, ??) C. (?3, 2) D. [?3, 2)

7、我国古代数学家刘徽在学生研究中,不迷信古人,检查实事求是,他对《九章算术》中

“开立圆术”给出的公式产生质疑,为了证实自己的猜测,他引入了一中新的几 何体 “牟合方盖” :以正方体相邻的两个侧面为底面两次内切圆柱切割,然后剔除 外部,剩下的内核部分,如果“牟合方盖”的主视图和左视图都是圆,则其 俯视图形状为

3 3 8 、 若 , 有 四 个 不 等 式 : ① a ? b ; ② loga?2 3 ? logb?1 3 ; ③

b ? a ? b ? a; ④

a 2 ? b2 ? 2 ab2,则下列组合中全部正确的为
A.①② B.①③ C.②③ D.①④

x2 y 2 9、已知 O 为坐标原点,F 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a b
左右焦点,A、B 分别为左右顶点,过点 F 作 x 轴的垂线交双曲线 C 于点,连接 PB 交 y 轴于点 E,连接 AE 交 QF 于点 M,若 M 是线段 QF 的中点,则双曲线 C 的离心率为 A.2 B.

5 2

C.3

D.

7 2

10、 设函数 f ? x ? ? ? 取值范围是 A. (

2 ? 1 1 ?ax ? x, x ? 0 x ? [ ? , ] 时恒有 f ? x ? a ? ? f ? x ? , , 当 则实数 a 的 2 2 2 ? ax ? x , x ? 0 ? ?

1? 5 1? 5 , ) 2 2

B. (?1,

1? 5 ) 2

C. (

1? 5 , 0) 2

D. (

1? 5 1 ,? ) 2 2

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上。. 11、函数 f ? x ? ?

2x ?

1 3 ? 的定义域为 2 x ?1

12、执行下边的程序框图,当输入的 x 为 2017 时,输出的 y ?

13、已知 (1 ? 2 x) n ( n ? N ? ) 的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相对,则展开式中所 有项的系数和为 14、在平面直角坐标系内任取一个点 P( x, y) 满足 ?

?0 ? x ? 2 1 ,则点 P 落在曲线 y ? 与直 x ?0 ? y ? 2

线 x ? 2, y ? 2 围成的阴影区域(如图所示)内的概率为

15、如图,正方形 ABCD 的边长为 8,点 E、F 分别在边 AD、BC 上,且 AE ? 3ED, CF ? FB , 如果对于常数,在正方形 ABCD 的四条边上有且只有 6 个不同的点 P,使得 PE ? PF ? m 成 立,那么 m 的取值范围是

??? ? ??? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? (sin

x x x ? cos ) 2 ? 2 3 cos 2 ? 3 。 2 2 2

(1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)求 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上的值域。

17、 (本小题满分 12 分)

O ,上、下底面边长分别为 如图,正四棱台 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的高为 2,下底面中心为
2 和 4. (1)证明:直线 OC1 / / 平面 ADD1 A 1; (2)求二面角 B ? CC1 ? O 的余弦值。

18、 (本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和, S3 ? 9 ,并且 a2 , a5 , a14 成等比 数列,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ?

3n ?1 ? 3 。 2

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ?
2 an ? 8log 3 bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 M n 。 an?1bn

19、 (本小题满分 12 分) 2017 年 1 月 25 日智能共享单车项目膜拜单车正式登陆济南, 两种车型采用分段计费的方 式 MobikeLite 型( Lite 版)每 30 分钟收费 0.5 元(不足 30 分钟的部分按 30 分钟计算) ;

Mobike (经典版)每 30 分钟收费 1 元(不足 30 分钟的部分按 30 分钟计算) ,有甲乙丙三
人相互独立的到租车点租车骑行 (各组一车一次) , 设甲乙丙不超过 30 分钟还车的概率分别 为

3 2 1 , , ,三人租车时间都不会超过 60 分钟,甲乙均租用版单车,丙租用经典版单车。 4 3 2

(1)求甲乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率; (2)设甲乙丙三人所对的费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。

20、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 2 ax ? (a ? 1) x ? ln x ,其中 a ? R 。 2

(1)当 a ? 0 时,讨论 f ? x ? 的单调性; (2) 当 a ? 0 时, 设 g ? x ? ? ? xf ? x ? ? 2 , 是否存在区间 ? m, n? ? (1, ??) 使的函数 g ? x ? 在 区间 ?m, n? 上的值域为 [k (m ? 2), k (n ? 2)] ?若存在,求实数 k 的取值范围;若不存在, 请说明理由。

21、 (本小题满分 12 分)

设椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,定义椭圆的“伴随椭圆”方程为 x2 ? y 2 ? a2 ? b2 ; 2 a b
6 。 3

若抛物线 x2 ? 4 y 的焦点与椭圆 C 的一个短轴端点重合,且椭圆 C 的离心率为 (1)求椭圆 C 的方程和“伴随圆”E 的方程;

(2)过“伴随圆”E 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 PA、PB,A、B 且切点,延长 PA 与 “伴随圆”E 交于点 Q, O 为坐标原点。 ①证明: PA ? PB ; ②若直线 OP, OQ 的斜率存在,设其分别为 k1 , k2 ,试判断 k1 ? k2 是否为定值,若是,求出 该值;若不是,请说明理由。


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