人教课标版高中数学必修4第一章-三角函数任意角的三角函数2课件_图文

高一数学

任意角的三角函数

任意角的三角函数

1.任意角的三角函数的定义:

设角?终边任一点P(除端点外)的坐标

为(x,y),它与原点距离为r= x2 ? y2 ?0,则:

正弦: sin? = 余弦: cos? =

y
xr r

. .

正切:

tan? =

y x

.

余割: csc? =

r y

.

正割: sec? =

r x

.

余切: cot? =

x y

.

若终边位置一定,三角函数值与P点的位置 无 关。 角α的三角函数也可以看成 关于 “实数”的函数

2.各三角函数角的取值范围:
设角?终边任一点P(除端点外)的坐标 为(x,y),它与原点距离为r= x2 ?y2 ?0

角 ?的三角函数
y sin ? = r
x cos ? = r
y tan ? = x
x cot ? = y

角 ?的取值范围

R

R

?

?

k

?

+

? 2

,k为整数

? ? k? ,k为整数

思考:
sec?与csc?角 的取值范围呢?

r sec ? = x ,

角 范 围 同 tan

?;

r csc ? = y ,

角 范 围 同 cot

?。

3.三角函数值的符号:

y

y

++



+

Y>0 Y>0
x
-0 -

X<0 -0

X>0 x +

Y<0 Y<0

X<0 X>0

sinα cscα

cosα sec α

y -+
X<0,y>0 X>0,y>0
x +0 -
X<0,y<0 X>0,y<0
tanα cotα

三角函数值在各象限符号为 正的情况: Ⅰ ⅡⅢⅣ 全函 正弦 正切 余弦
余割 余切 正割

确定三角函数定义域时, 主要应抓住三 角函数定义中,比值的分母不得为零这一制 约条件, 当终边落在坐标轴上时, 终边上任 一点P(x, y)的坐标中, 必有一分量为0, 故相 应有两个比值无意义. 请理解并记住各三角 函数的定义域.
分类讨论(角位置)是三角函数求值过程 中,使用频率非常高的一个数学思想,而分类 标准往往是四个象限及四个坐标半轴.

4. 诱导公式一:
终边相同的角的同一三角函 数值相等. 即
sin(k ? 360? + ?) = sin? cos(k ? 360? + ?) = cos? tan(k ? 360? + ?) = tan? 其中k ? Z.
这组公式的作用是可把任意 角的三角函数值问题, 转化为0? 到360?角的三角函数值问题.

5. 三角函数线:
无向线段是不论方向的。“AB=BA=3”的含义为线段AB(或BA) 的长度为3。比如物理中表示标量的线段——路程、质量等。
有向线段是有方向的。有向线段AB,不同于有向线段BA。他 们的方向不同。前者,方向是从A指向B的,以A为起点,B为终 点;后者,方向是从B指向A的,以B为起点,A为终点。比如物 理中表示矢量的线段——位移、重力、速度等。
对于有向线段而言,若AB=3,则BA=-3,含义为有向线段AB的 数量为3,有向线段BA的数量为-3。它们的长度表示为 |AB|=|BA|=3。有向线段的数量的绝对值就是有向线段的长度。
平面直角坐标系中,对于三角函数线而言,我们规定,与x轴平 行或重合的有向线段的数量,同x轴正方向一样,向右为正,那 么向左就为负;同样,与y 轴平行或重合的有向线段的数量, 同y轴正方向一样,向上为正,那么向下就为负。

任意角的三角函数

(1)下列四个命题中,正确的是( D ) A.终边相同的角都相等 B.终边相同的角的三角函数相等 C.第二象限的角比第一象限的角大 D.终边相同的角的同名三角函数值相等
(2) 若角?终边上有一点P(? 3,0),则
下列函数值不存在的是( D )
A. sin? B. cos? C. tan? D. cot?

(3) 函数y = tanx + cotx的定义域是( B )
A.{x | x ? R,x ? ? ,x ? ?}
2
B.{x | x ? R,x ? k ? ,k ? Z} C.{x | x ? R,x ? k?2 ,k ? Z}
D.{x | x ? R,x ? k? + ? ,k ? Z}
2
(4)已知?的终边过点(3a ? 9,a + 2),且cos? ? 0, sin? > 0,则a的取值范围是__(_?__2_,__3_?__.
???3aa??29??00??2?a?3

(5)画图填空。画出下列各角的正弦线、余弦线和 正切线,并在图中标出相应字母,在横线中填写相应 字母名称,及用不等号表示与“0”的大小关系。

PT MA

P
A M

T

(图一)

(图二)

图一中,正弦线为MP >0,余弦线为OM > 0,正切线为AT > 0;

图二中,正弦线为MP >0,余弦线为OM < 0,正切线为AT < 0;

(5)画图填空。画出下列各角的正弦线、余弦线和 正切线,并在图中标出相应字母,在横线中填写相应 字母名称,及用不等号表示与“0”的大小关系。

T
M A
P

MA
P T

(图三)

(图四)

图一中,正弦线为MP <0,余弦线为OM < 0,正切线为AT > 0;

图二中,正弦线为MP <0,余弦线为OM > 0,正切线为AT < 0;

例1. 若sinα= 1 ,且α的终边经过点p(-1,y),
3
则α是第几象限的角?并求secα,tanα的值。

解: r? 1?y2,sin?? y ? y ?1,
r 1?y2 3

进而求y得 ? 2 (y?? 2为增根)

4

4

可判P断 在点 第二象 ?为 限 二 , 象 故 限角。

求得r ?3 2, sec?? r ??3 2,

4

?1 4

tan?? y ?? 2
?1 4

例2. 角?的终边在直线y =-3x上,求
si? nco?? s2co 2?s?3si2n ?的值

解:设直 P的 线 坐 上 标 x, ? 一 3x为 ) 点 ( , x?0且

r? x2?(?3x) 2 ? 10| x|,

则sin?? ?3x ,co?s ? x

10| x|

10| x|

原 ?式 ? 3 x? x ? ( 2 x ) 2? ( 3? 3 x) 2

1|x 0 | 1|x 0 | 1|x 0 | 1|x 0 |

?3x2 2x2 27x2 13

?10 x2

?10 x2?10 x2

? 5

练习:
1. 角 ? 的 终 边 一 点 P(x , 2x-3) , x≠0 , tanx=-x , 求
sinx+cosx。
解: 2x?3? 由 ? x得 x?? 3 或 x?1 x
x??3时,P点 坐标为?3( , ?9),

r?(?3) 2?(?9) 2 ?3 10,

sinx? ?9 ??3 10, coxs? ?3 ?? 10

3 10 10

3 10 10

sinx?coxs??2 10 5
同理 x?1时 ,, P坐 点 标1, ? 为 1)( ,

求s得 ixn?? 2, cox? s 2, sixn?cox? s0

2

2

例3. 求值:sin(? 1380?)cos1110? cos(? 1020?)sin750? - tan405?.
解:原式=sin(? 1380?+4×360 ? )cos(1110? 3×360 ?) + cos(? 1020?+3×360 ? )sin(750?2×360 ?) - tan(405?-360 ? )
=sin60 ? cos30? - cos60?sin30? - tan45?=-0.5

例4. 若?是第二象限的角, 且|cos ? |

= ? cos ? , 问 ? 是第几象限角? 2

2

2

ⅢⅡ ⅣⅠ ⅠⅣ
ⅡⅢ

如图可知, ?为 若二象限?角的,范围:
2

?
(

?2k?,? ?2k?)?(5?

?2k?,3?

?2k?),k?Z,

4

2

4

2

即?为一、三象限角,
2

结合已知条 co?件 s?0还 ,故?可 只知 能为三象

2

2

1. 已知?是第三象限角且sin ? < 0, 则

( B)

2

A.cos

? 2

<0

C.tan

? 2

>0

B.cos

? 2

>0

D.cot

? 2

>0

2. 下列各式为正号的是( C )

A.cos2 ? sin2

B.cos2 ? sin2

C.tan2 ? sec2

D.sin2 ? tan2

3. 若lg(sin? ?tan?)有意义, 则?的终边
在( C ) A.第一象限 B.第四象限 C.第一或第四象限 D.第一或第四象限或x轴正半轴上
由si?n?0且ta?n?0可知 ?是一象限角 由si?n?0且ta?n?0可知 ?是四象限角

辽阳小乖:已知A是三角形ABC的一个内角, 若lg(-sinA ?cosA)有意义, 则三角形ABC为 什么不是锐角三角形呢?
由-sinA ?cosA>0,可知sinA ?cosA<0。因为 0<A<π ,因而sinA>0,cosA<0,故A为钝角。三 角形ABC为钝角三角形。

y? ? ? 4. 函数

|sinx| cosx |tanx| 的值域
sinx |cosx| tanx

是__{_3_,__?__1_} __. 解:显然x不 ,能为轴上角

x为一象y限 ?six角 n?co 时 x? sta , xn?3 sixncoxstaxn
x为二象 y?限 sixn ?角 co x时 ? stax , n?? 1 sixn?co xs?taxn
x为三象 y?限 sixn角 ?co x 时 ? sta, xn ?? 1 ?sixn?co xstaxn
x为四象 y?限 sixn角 ?co x时 ? stax , n?? 1 ?sixnco xs?taxn

例5 . 如果?终边在第二象限,则 sin(cos?)?cos(sin?)的值是什么符号? 解:因为?终边在第二象限,则
-1<cos?<0,0<sin?<1 sin(cos?)<0,cos(sin?)>0 sin(cos?)?cos(sin?)的值的符号为负。

例6. 角?的正弦线与余弦线长度相等, 则?的

值为?

?

?
4

?

1 2

k? ,

k

?

Z。若角?的正弦线与余弦线

符号也相同,的?的终边在直线 y ? x 上;

若符号相反,则?的终边在直线 y ? ?x 上。

辽阳小乖:已知角?的正弦线 和余弦线是长度相同,方向 相反的有向线段, 则?的终 边在?
在这里,应将“方向”一词,改为“符号”

例7. 根据单位圆写出符合下列条件的角x的集合。

( 1) cox? s1 ( 2) cox? s1

2

2

x? 1
2?
1
3

解:(1)x所属集合是
{x | x ? 2k? ? ? ,k ?Z}
3

( 2)x所 属 集 合 是

-1

1

-1

??

{x|2k????x?2k??5?,k?Z}

3

3

3

例7. 根据单位圆写出符合下列条件的角x的集合。

( 3) sin x??1且taxn??1 2

3?

(3)x所属集合是

4

1

{x|2k??3??x?2k??7?,k?Z}

2

4

-1

1

y??1

2

7?

-1

6

y ? ?1
7? 11?
46

例 义域8. 。求函数解y=:lg由 sin???(sinx-x(??3 ?)3)+?0? 9 ? x2 的定
?? 9?x2 ?0

???2k??x??3?2k???,k?Z?

??

?3?x?3

??2k????x?2k??4?,k?Z

?3

3

??

?3?x?3

续 例 义域8解 . 。求函? ? ?: 2数k?y? =?3lg? sinx(?2 xk-??3 ?)43 ?+,k9? ?Zx2 的定

? ?

?3?x?3

5 ? -
3

-3-2 ? 3

0? 3

3 4 ? 3

进而求得函数[?定 3, ?2义 ?) ? 域 (?为 , 3]
33


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