五法求二面角

五法求二面角 一、 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点, 分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例 1 如图,四棱锥 S

? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,SD ? 底面 ABCD , AD ? 2 DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上,
? AM ? B 的大小。

?ABM

=60°(I)证明:M 在侧棱 SC 的中点;(II)求二面角 S

证明:作 ME∥CD 交 SD 于点 E,则 ME∥AB,ME⊥平面 SAD, 连结 AE,则四边形 ABME 为直角梯形,作 MF⊥AB,垂足为 F,则 AFME 为矩形, 设 ME=x,则 SE=x, 由 MF=FB·tan 60°,得 从而 (Ⅱ)解:MB= ,所以 M 为侧棱 SC 的中点。 =2, ,MF=AE= ,解得 x=1,即 ME=1, ,FB=2-x,

又∠ABM=60°,AB=2,所以△ABM 为等边三角形. 又由(Ⅰ)知 M 为 SC 中点, 故 , ,

G F

取 AM 中点 G,连结 BG,取 SA 中点 H,连结 GH, 则 BG⊥AM,GH⊥AM, 由此知∠BGH 为二面角 S-AM-B 的平面角, 连结 BH,在△BGH 中, ,BH= 所以, , ,所以,二面角 S-AM-B 的大小为 arccos 。

练习 1 如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC

? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点.

(Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 (2).设 AB=2 则 AE=√3 面 PAD∴∠EHA 就是 EH 与面 PAD 所成的角 最大时,EH⊥PD 则 AH⊥PD AD=2 面 ABC ∴PA=2=AC tan∠EHA=AE/AH=√6/2 CF⊥AF ∴AF=√2

6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值. 2
∵ AE ⊥ 当∠ EHA AH= √ 2 ∵ PA ⊥

∴面 PAC⊥面 ABC

作 EG⊥AC

则 EG⊥面 PAC

作 GM⊥AF 于 M,连 EM GM=3√2/4 EF=PB/2=√2 cos∠EMG=GM/EM=3√10/10

则∠EMG 为二面角 E-AF-C 的平面角或其补角 EG=AE/2=√3/2,AG=√3·EG=3/2 EM=√30/4(也可以在△AEF 中利用面积可以求得) 二、三垂线法 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点 P 在一个半平 面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例 2.如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, 棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是

D A
1

C
1

B
1

(1) (2)

证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。

1

E
1

D A E F

C B

解(2)因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中 点 O,则 OB⊥CF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD,所以 CC1⊥BO,所以 OB⊥ 平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一个平面 角, 在△BCF 为正三角形中, OB △OPF∽△CC1F,∵

D A
1 1

C F
1 1

B
1

? 3 ,在 Rt△CC1F 中,

OP ? 2 1
2

E
1
2 2

D A E F

P O

C B

OP OF ? CC1 C1 F

,

?2

2

?2 ?

在 Rt△OPF 中,

BP ?

OP 2 ? OB 2 ?

1 ?3 ? 2

14 , OP cos ?OPB ? ? 2 BP

2 2 ? 14 2

7 7

,二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为

7 7

.

练习 2 如图,在四棱锥 P 已知

? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形.

AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60? .

AD ? 平面 PAB ; AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小.
(Ⅰ)证明 (Ⅱ)求异面直线 PC 与

三.补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称 为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决 例 3 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA=2. (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小. 解: (Ⅱ)延长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF. 过点 A 作 AH⊥PB 于 H,由(Ⅰ)知 平面 PBE⊥平面 PAB,所以 AH⊥平面 PBE. 在 Rt△ABF 中,因为∠BAF=60°, 所以,AF=2AB=2=AP. 在等腰 Rt△PAF 中,取 PF 的中点 G,连接 AG. 则 AG⊥PF.连结 HG,由三垂线定理的逆定理得, PF⊥HG.所以∠AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角(锐角). 在等腰 Rt△PAF 中, AG ? 在 Rt△PAB 中,
AH ?

P

D A P
? 2 2 5 ? . 5 5

E C

B

2 PA ? 2

2.
AP?AB AP ? AB
2 2

AP?AB ? PB

G

所以,在 Rt△AHG 中,

AH sin ?AGH ? ? AG

2 5 5 ? 2

10 . 5

F H A C1 D E C A1 B B1

10 故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小 arcsin . 5
练习 3 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的棱长都是 a,侧棱与底面成 600 的角,侧面 BCC1B1⊥ 底面 ABC。 (1)求证:AC1⊥BC; (2)求平面 AB1C1 与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。 提示:本题需要补棱,可过 A 点作 CB 的平行线 L (答案:所成的二面角为 45O)

A L C B

四、射影面积法( cos q =

s射影 S



凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos ? 面角的大小。 例 4.(2008 北京理)如图,在三棱锥 P ?

?

S射 S斜

)求出二

ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90? ,
A

P

AP ? BP ? AB , PC ? AC . (Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小;

B C

? BC , AP ? BP ,?△ APC ≌△BPC . 又 PC ? AC ,? PC ? BC .
(Ⅱ)? AC

P E B

又 ?ACB 取

? 90? ,即 AC ? BC ,且 AC ? PC ? C ,? BC ? 平面 PAC .

AP 中点 E .连结 BE,CE .? AB ? BP ,? BE ? AP . ? EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影,? CE ? AP .∴△ACE 是△ABE 在平面 ACP 内的射影,

于 是 可求得:

AB ? BP ? AP ? AC2 ? CB 2 ? 2 2



BE ? AB2 ? AE2 ? 6



AE ? EC ? 2



S 射 ? S ?ACE ?
设二面角 B ?

1 1 1 1 AE ? CE ? 2 ? 2 ? 1 , S 原 ? S ?ABE ? AE ? EB ? 2? 6 ? 3 2 2 2 2

AP ? C 的大小为 ? cos? ?

S射 S原

?

1 3

?

3 3 ∴二面角 B ? AP ? C 的大小为 ? ? arccos 3 3

练习 4: 如图 5,E 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点,求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐角的余弦值. 分析 平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1 交线即二面角的棱没有给出, 要找到二面角的平面角,

D A D1 A1 图5 B1 B

C

则必须先作两个平面的交线, 这给解题带来一定的难度。 考虑到三角形 AB1E 在平面 A1B1C1D1 上的射影是三角形 A1B1C1,从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。 (答案:所求二面角的余弦值为 cosθ = 五、向量法 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法, 可以说所有的立体几何题都 可以用向量法求解, 用向量法解立体几何题时, 通常要建立空间直角坐标系, 写出各点的坐标, 然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量计算解题。 例 4( :2009 天津卷理) 如图, 在五面体 ABCDEF 中, FA (I) (II) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; 证明平面 AMD ? 平面 CDE;

E C1

2 3

).

? 平面 ABCD, AD//BC//FE, AB ? AD, M 为 EC 的中点, AF=AB=BC=FE=

1 2

AD

求二面角 A-CD-E 的余弦值。 现在我们用向量法解答:如图所示,建立空间直角坐标系,以点

A为

坐 标 原 点 。 设

AB ? 1, 依题意得 B?1 , 0, 0?, C ?1, 1, 0?, D?0, 2, 0?, E ?0, 1, 1?,

F?0, 0, 1?,

?1 1? M? , 1, ?. ?2 2?
(I) 解: BF ?

?? 1, 0, 1?, DE ? ?0, ?1 , 1?,
BF ? DE BF DE ? 0 ? 0 ?1 1 ? . 2? 2 2
0

于是 cos BF, DE ?

所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 . (II)证明:由AM ?

?1 1? 1, ?,CE ? ?? 1 , 0, 1?,AD ? ?0, 2, 0?,可得CE ? AM ? 0 , ? , ?2 2?

CE ? AD ? 0.因此,CE ? AM,CE ? AD.又AM ? AD ? A,故CE ? 平面AMD .

而CE ? 平面CDE,所以平面 AMD ? 平面CDE.
(III) 解:设平面 CDE的法向量为u

? ?u ? CE ? 0, ? ( x,y,z ),则? ? ?u ? DE ? 0.

?? x ? z ? 0, 于是? 令x ? 1,可得u ? (1, 1, 1 ) . ?? y ? z ? 0.
又由题设,平面

ACD 的一个法向量为 v ? (0, 0, 1).

练习 5、(2008 湖北)如图,在直三棱柱 (Ⅰ)求证:

ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ? 侧面 A1 ABB1 . A1 ? B C? A的 大 小 为

AB ? BC ;
AC
与平面

(Ⅱ)若直线

A1 B C 所 成 的 角 为 ?

,二面角

?

,试判断 ? 与 ? 的大小关系,并予以证明. 于是很容易想到以 B 点为 量,先求出二面角的两个半

分析:由已知条件可知:平面 ABB1 A1⊥平面 BCC1 B1⊥平面 ABC 空间坐标原点建立坐标系,并将相关线段写成用坐标表示的向 平面的法向量,再利用两向量夹角公式求解。 ( 答 案 :

? ?a
a ,) 2 a

r

a c s a2 ? c2

i



n



a b
用。
2

c ? a



2

c ?

2

c

总之,上述五种二面角求法中,前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律,后两种是两种不同的解题技巧,考生可选择使


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