文科立体几何练习题

高三数学常识题 1.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时,它们的交线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.1 条或 2 条





2.如图所示,已知正四棱锥 S—ABCD 侧棱长为 2 ,底面边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异 面直线 BE 与 SC 所成角的大小为 A.90° C.45° B.60° D.30° ( )

B 解析:平移 SC 到 S ′B ,运用余弦定理可算得 BE = S ′E = S ′B = 解析:

2.

3. 有三个平面 α ,β,γ,下列命题中正确的是 A)若 α ,β,γ两两相交,则有三条交线

(

)

(B)若 α ⊥β, α ⊥γ,则β∥γ

C)若 α ⊥γ,β∩ α =a,β∩γ=b,则 a⊥b (D)若 α ∥β,β∩γ= ? ,则 α ∩γ= ? D 4. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中与 AD1 成 600 角的面对角线的条数是 (A)4 条 10 条 C 解析: 解析:A 项:如正方体的一个角,三个平面相交,只有一条交线。 5. 设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC = 0 , AC ? AD = 0 , ,则△BCD 是 (A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)不确定 (B)6 条 (C)8 条 (D)

6.设 a、b 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题 ①若 a ⊥ b, a ⊥ α , 则b // α ②若 a // α , α ⊥

β , 则a ⊥ β β , 则α ⊥ β

③a ⊥

β ,α ⊥ β , 则a // α

④ 若a ⊥ b, a ⊥ α , b ⊥

其中正确的命题的个数是 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个





7. 已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,A1B⊥CB1,则 A1B 与 AC1 所成的角为 (A)450 (C)900 (B)600 (D)1200

C 解析:作 CD⊥AB 于 D,作 C1D1⊥A1B1 于 D1,连 B1D、AD1,易知 ADB1D1 是平行四边形, 解析: 由三垂线定理得 A1B⊥AC1,选 C。 8. 正四面体棱长为 1,其外接球的表面积为 A. 3 π

B.

3 π 2

C.

5 π 2

D.3π

9.若 a、b 为异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是 A.相交 B.异面 C.平行 D. 异面或相交





解析: 解析:D 如正方体的棱长。 ( )

10.在正方体 A1B1C1D1—ABCD 中,AC 与 B1D 所成的角的大小为

A.

π
6

B.

π
4

C.

π
3

D.

π
2

解析: 解析:D B1D 在平面 AC 上的射影 BD 与 AC 垂直,根据三

垂线定理可得。 11.如图,点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是( )

解析: 解析:C

A,B 选项中的图形是平行四边形,而 D 选项中可见图:

12.如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C 为其上的三个点,则在正方体盒 子中,∠ABC 等于 ( ) A.45° B.60°

C.90°

D.120°

A C

B

解析: 解析:B 如图 13.线段 OA,OB,OC 不共面, ∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COA=60 ,OA=1,OB=2,OC=3,则△ABC 是
o

( A.等边三角形 C.锐角三角形 B 非等边的等腰三角形 D.钝角三角形
2 2 2 2 2 2 2 2 2



解析: 解析:B. 设 AC=x,AB=y,BC=z,由余弦定理知:x =1 +3 -3=7,y =1 +2 -2=3,z =2 +3 -6=7。 14.设直线 a 上有 6 个点,直线 b 上有 9 个点,则这 15 个点,能确定_____个不同的平面. 解析: 解析: 当直线 a,b 共面时,可确定一个平面; 当直线 a,b 异面时,直线 a 与 b 上 9 个点可确定 9 个不同平面,直线 b 与 a 上 6 个点可确定 6 个不同平面,所以一点可以 确定 15 个不同的平面. 15. 在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点.求证:EF 和 AD 为异面直线. 解析: ,则 A,B,E,F∈ α ;……(4 分)又 A, 解析:假设 EF 和 AD 在同一平面 α 内,…(2 分) E ∈ AB,∴AB ? α ,∴B ∈ α ,……(6 分)同理 C ∈ α ……(8 分)故 A,B,C,D ∈ α ,这 与 ABCD 是空间四边形矛盾。∴EF 和 AD 为异面直线. 16. 在空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是 AB,AD 的中点,F,G 分别是 CB,CD 的中点,若 AC + BD = a ,AC ? BD =b,求 EG + FH .
2 2
A

解析: 解析:四边形 EFGH 是平行四边形,…………(4 分)

E H

EG 2 + FH 2 =2 ( EF 2 + FG 2 ) =

B D

1 1 ( AC 2 + BD 2 ) = (a 2 ? 2b) 2 2

F C

G

17. 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, A1A=AB, E、F 分别是 BD1 和 AD 中点. (1)求异面直线 CD1、EF 所成的角;

(2)证明 EF 是异面直线 AD 和 BD1 的公垂线. (2 (1)解析:∵在平行四边形 BAD1C1 中,E 也是 AC1 的中点,∴ EF // C1 D , 分) 解析: 解析
C1 D1

∴两相交直线 D1C 与 CD1 所成的角即异面直线 CD1 与 EF 所成的角.(4 分)又
B1 A1 E C D F B A

A1A=AB,长方体的侧面 ABB1 A1 , CDD1C1 都是正方形 ,∴D1C ⊥ CD1 ∴异面直线 CD1、EF 所成的角为 90°.(7 分)
2 (2)证:设 AB=AA1=a, ∵D1F= a 2 + AD = BF , ∴EF⊥BD1 . (9 分)

4

由平行四边形 BAD1C1 ,知 E 也是 AC1 的中点,且点 E 是长方体 ABCD—A1B1C1D1 的对称中 心, (12 分)∴EA=ED,∴EF⊥AD,又 EF⊥BD1,∴EF 是异面直线 BD1 与 AD 的公垂线.(14 分)
B1 C1 D1

A1 E C F D

B

A


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