选修2-2--2.1合情推理与演绎推理课件_图文

内容结构
“推理与证明”是数学的基本思维过程, 也是人们学习和生活中经常使用的思维方 式.推理一般包括合情推理和演绎推理.在本 章中,我们将通过对已学知识的回顾,进一步 体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系 与差异;体会数学证明的特点,了解数学证明 的基本方法,包括直接证明的方法(如分析法、 综合法、数学归纳法)和间接证明的方法(如 反证法);感受逻辑证明在数学以及日常生活 中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯。

1、什么是推理
推理是人们思维活动的过程,是根据一个 或几个已知的判断来确定一个新的判断的思 维过程。

在日常生活中,人们常常需要进行这样那样的推理。 例如: 医生诊断病人的病症, 警察侦破案件, 气象专家预测天气的可能状态, 考古学家推断遗址的年代, 数学家论证命题的真伪等等。 在数学中,证明的过程更离不开推理。

本节知识结构

推理
(或然性推理) (部分到整体、 特殊到一般)

合情推理

演绎推理 (必然性推理)

归纳

类比 三段论 (特殊到特殊) (一般到特殊)

归纳推理
歌德巴赫猜想的提出过程:
3+7=10,3+17=20,13+17=30,
10=3+7,20=3+17,30=13+17.

一个规律: 偶数=奇质数+奇质数
6=3+3, 8=3+5,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=5+11,…, 1 000=29+971,…

猜想: 一个偶数(不小于6)总可以表示成两个奇质数之和;

哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture)

世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫 是德国一位中学教师,也是一位著名的 数学家,生于1690年,1725年当选为俄 国彼得堡科学院院士。1742年,哥德巴赫在教学中发现, 每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除 的数)之和。如6=3+3,12=5+7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大 数学家欧拉(Euler),提出了以下的猜想: (a)任何一个≥6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和。 (b)任何一个≥9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和。

归纳推理的定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推
出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,

或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为
归纳推理(简称归纳).

简言之,归纳推理是由部分到整体、由个
别到一般的推理。

例如: 金受热后体积膨胀, 银受热后体积膨胀, 铜受热后体积膨胀, 铁受热后体积膨胀, 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象,它们受 热后分子的凝聚力减弱,分子运动加速,分子彼 此距离加大,从而导致体积膨胀
所以,所有的金属受热后都体积膨胀。

例如: 磨擦双手(S1 )能产生热(P), 敲击石头(S2 )能产生热(P) , 锤击铁块(S3 )能产生热(P) , 磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动;

所以,物质运动能产生热。

如:观察下图,可以发现
1+3=4=22, 1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, ……
2 1+3+…+(2n-1)=n .

an 例1:已知数列{an}的第1项a1=1且 an?1 ? 1 ? an

1 1 a2 ? ? ; 解: 当n=1时, a1=1; 当n=2时, 1 ? 1 2 1
1 3

(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.

观察可得,数列的前4项都等于相应序号的倒数, 1 由此猜想,这个数列的通项公式为: an ? n

1 1 2 a4 ? ? a3 ? ? 当n=3时, 当n=4时, 1 1 3 4 1 ? 1? 3 2

练习:(2010.上海)根据图中5个图形及相应点的个数 2 的变化规律,试猜测第n个图形中有 n ? n ? 1 个点.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

练习:(2009年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有
且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若 用f(n)表示这n条直线交点的个数, f(4)=

1 时,f(n)= ( n ? 2)( n ? 1) .(用n表示) 2

5

,当n>4

f (4) ? f (3) ? 3 f (5) ? f (4) ? 4
f (6) ? f (5) ? 5

f (n) ? f (n ? 1) ? n ? 1
累加得: f ( n) ? f (3) ? 3 ? 4 ? 5 ?

? ( n ? 1)

归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理;
⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。

归纳推理所得的结论仅是一种猜想,未必可靠,还 需证明 例如,法国数学家费马观察到

2 ?1 ? 5,2 ?1 ? 17,2 ?1 ? 257,2 ?1 ? 65537
都是质数,于是他用归纳推理提出猜想:任何形如 2n * 2 ? 1(n ? N ) 的数都是质数。 ——这就是著名的费马猜想。 半个世纪之后,善于计算的欧拉发现,第5个费马数

21

22

23

24

F5 ? 2 ? 1 ? 4294967297 ? 641? 6700417
不是质数,从而推翻了费马的猜想。

25

据说春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班, 被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树 时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉 事却使他发明了锯子.

鲁班的思路是这样的:
茅草是齿形的;
茅草能割破手. 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗?

我需要一种能割断木头的工具;

地球

火星

行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存

温度适合生物的生存

有生命存在

可能有生命存在

类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征,和其

中一类对象的某些已知特征,推出另一类
对象也具有这些特征的推理称为类比推理

(简称类比).
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人 ,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”

【例1】如图,利用类比推测球的有关性质
圆 圆心与弦(非直径)中 点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两条 弦长相等;与圆心距离 不等的两弦不等,距圆 心较近的弦较长 圆的周长C= 圆的面积S= 球 球心与截面圆(不经过球 心的截面圆)圆心的连线 垂直于截面圆。 与球心距离相等的两个截面 圆面积相等;与球心距离不 等的两个截面圆面积不等; 与球心距离较近的截面圆面 积较大。 球的表面积 S

?d 2 ?r

? 4?r 4 球的体积 V ? ?r 3 3

2

例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质。
解(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后,所得的结果仍然是 一个实数。 (2)从运算律的角度考虑,加法和乘法都满足交换律和结合律, 即 a+b=b+a ab=ba (a+b)+c=a+(b+c) (ab) c=a (bc)

(3)从逆运算的角度考虑,二者都有逆运算,加法的逆运算是减法, 乘法的逆运算是除法,这就使得方程

都有唯一解

x?a ?0

|

x ? ?a

|

(4)在加法中,任意实数与0相加都不改变大小;乘法中的1与加法 中的0类似,即任意实数与1的积都等于原来的数,即
a+0=a

1 x? a

ax ? 1(a ? 0)

a 1? a

类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征, 从而得出一个猜想; ⑶ 检验猜想。

你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类 比对象? 从构成几何体的元素数目看,四面体由4个平面围成, 它是空间中由数目最少的基本元素(平面)围成的封 闭几何体;
从构成几何体的元素数目看,三角形由3条直线围成, 它是平面内由数目最少的基本元素(直线)围成的封 闭图形。 从这个角度看,我们可以把三角形作为四面体的类比 对象。

例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间 中四面体性质的猜想。 P B 解:考虑到直角三角形的 两条边互相垂直,我们可 S a c S D 以选取有3个面两两互相 S F 垂直的四面体,作为直角 C b A E 三角形的类比对象。 如图,Rt△ABC中有勾股定理:a2+b2=c2。 类似地,在四面体P-DEF中,∠PDF= ∠PDE= ∠EDF=900。 设S1,S2,S3和S分别表示△PDF, △PDE, △EDF 和△PEF的面积。 直角三角形有2条直角边a,b和1条斜边c,类似于四面 体P-DEF有3个“直角面” S1,S2,S3和1个“斜面”S.
2 1 3

于是,类比勾股定理的结构,我们猜想 S2=S12+S22+S32。

平面图形与空间图形常见类比对象
平面图形 直线 三角形 正方形 圆 图形面积 切线 垂线 线线角 空间图形
平面 四面体

正方体
球 几何体体积

切面
垂面 面面角

平面坐标系

空间坐标系

运用类比思想,提升推理能力
如图,若射线OM,ON上分别存在点M1 , M 2 与点N, ,则 1 N2 三角形面积之比 S三角形OM1 N1 S三角形OM 2 N 2 OM1 ON1 ? ? , 若不在同一平面内的 OM 2 ON 2

?1? 类比的结论是什么? ? 2 ? 请对以上结论进行探究。

射线OP , OQ 和OR上分别存在点P , ,点Q, , 1 P2 1 Q2 和点R 1 R2
O P1 P2 P O1 R1 R2 R Q O3

Q1
Q2

O2

同样地,类比推理所得的结论也不一定可靠。 例如,

“平面内,同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”
得到猜想:

“空间中,同时垂直于一个平面的两个平面互相平行”
显然,这个猜想是错误的。

合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提 出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理。 通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理。

合情推理在数学中的作用
数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常 常能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们 提供证明的思路和方向

判断下列推理是否是合情推理
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除. 3.三角函数都是周期函数, 因为tan ? ?是三角函数, 所以tan ? 是周期函数
我们常以某些一般的判断为前提,得出一些个别 的、具体的判断。

从一般性的命题推演出特殊性命题的推理 方法,称为演绎推理.
注: 1.演绎推理是由一般到特殊的推理; 2.“三段论”是演绎推理的一般模式;如 下: 1.所有的金属都能导电, 大前提 小前提 因为铜是金属, 结论 所以铜能够导电. 2.三角函数都是周期函数, 因为tan ? 是三角函数, 所以tan ? 是周期函数

大前提 小前提 结论

三段论是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提 (2)小前提 (3)结论 已知的一般原理;

M是P,

所研究的特殊情况; S是M, 根据一般原理,对特 所以,S是P。 殊情况做出的判断.

☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集 合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子 集,那么S中所有元素也都具有性质P. M
?

a

S

一条抛物线 练习.把“函数y ? x 2 ? x ? 1的图象是___________?
恢复成完全三段论。
大前提: 二次函数的图象是一条抛物线 小前提: 函数y ? x 2 ? x ? 1是二次函数; 结 论: 所以,函数 y ? x2 ? x ? 1的图象是一条抛物线

感受理解

说明:为了方便,在运用三段论推理时,常常 采用省略大前提或小前提的表述方式.

数学上的证明主要通过演绎推理来进行的,我们来看一个例子。

例1.如图所示,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是垂足。求证:AB的中点M到D,E 的距离相等。
C D E (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, 证明: ………………………………………………大前提 在△ABD中,AD⊥BC,即∠ADB=900,………小前提 所以△ABD是直角三角形。……………结论
同理△ABE是直角三角形。 (2)因为直角的三角形斜边上的中线等于斜边的一半, ………………………………………………大前提 而M是Rt △ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线, …………………………………………………小前提 1 所以DM= 2 AB。 …………………结论 1 同理EM= 2 AB。 所以,DM=EM。

A

M “三段论”可以表述为

B

?P 大前提: 大前提:M M是 P。 。 小前提: 小前提:S S? 是M M。 。 结 结 论: 论:S S? 是P P。 。

由此可见,应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大 前提和小前提。但为了简洁,如果大前提是显然的,则可以省略。
2 例2 证明函数 f ( x) ? ? x ? 2x在(??,1] 上是增函数。

证明: 任取x1 , x2 ? ? ??,1? , 且x1 ? x2 , 分析:证明本例所依据的大前提是增函数的定义,即函数 满足:在给定区间内任取自变量的两个值 x1 ,x ,若 x1<x 2, fy=f(x) ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ? x12 ? 2 x1 ) ? ( ? x22 ? 2 x2 ) ? ( x2 ? x2 )( x ? x 1 2 1 ? 2) 则有f(x1)<f(x2).
因为x1 ? x2 , 所以x2 ? x1 ? 0; 2+2x,x ? ?, 1] 满足增函数的定义,这是 小前提是 f(x)=-x 因为x , x ? 1, x ? x( ,所以 x ? x ? 2 ? 0.
1 2 1 证明本例的关键。 2 2 1

因此,f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即f ( x1 ) ? f ( x2 ).
于是,根据“三段论”,可知f ( x ) ? ? x 2 ? 2 x 在 ? ?? ,1? 上是增函数。

还有其他 方法吗?

想一想?

因为指数函数 y

1 x 而 y ? ( ) 是指数函数(小前提) 2

?a

x

是增函数(大前提)

1 x 所以 y ? ( ) 是增函数(结论) 2 (1)上面的推理形式正确吗?

(2)推理的结论正确吗?为什么? 推理形式正确,但推理结论错误,因为大前提错误。
注意:演绎推理在大前提,小前提和推理形式都正确的 前提下,得到的结论一定正确.

演绎推理错误的主要原因
(1)大前提不成立; (2)小前提不符合大前提的条件

演绎推理具有如下特点:
(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论 是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完 全蕴涵于前提之中。 (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联 系.只要前提是真实的,推理的形式是正确的, 那么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数 学中严格证明的工具。 (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它较少 创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证 作用,有助于科学的理论化和系统化。

合情推理与演绎推理的主要区别是什么?
从形式看:
合情推理:归纳是由部分到整体、个别到一般的推理; 类比是由特殊到特殊的推理。
演绎推理:由一般到特殊的推理。

合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明; 从结论看:
演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结 论一定正确。 从作用看: 就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建 立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思路等的 发现,主要靠合情推理。因此,我们不仅要学会证明,也 要学会猜想。


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