高中数学圆的方程典型例题选

标准 方程 一般 方程

(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

圆心:(a,b),半径:r D E? 圆心:? ?- 2 ,- 2 ?, 1 半径: D2+E2-4F 2

x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)

1、圆的标准方程与一般方程的互化 (1)将圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 展开并整理得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2= 0,取 D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得 x2+y2+Dx+Ey+F=0. (2)将圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 通过配方后得到的方程为: D2+E2-4F D E (x+ )2+(y+ )2= 2 2 4 D E 1 ①当 D2+E2-4F>0 时,该方程表示以(- ,- )为圆心, D2+E2-4F为半径的圆; 2 2 2 D E D E ②当 D2+E2-4F=0 时,方程只有实数解 x=- ,y=- ,即只表示一个点(- ,- ); 2 2 2 2 ③当 D2+E2-4F<0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 2、圆的一般方程的特征是:x2 和 y2 项的系数 都为 1 ,没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确 定了.

(二)点与圆的位置关系
点 M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系: (1)若 M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)若 M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)若 M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.

(三)温馨提示
1、方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件是: (1)B=0; (2)A=C≠0; (3)D2+E2-4AF>0. 2、求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算. (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在任一弦的中垂线上. (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. 3、中点坐标公式:已知平面直角坐标系中的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),点 M(x,y)是线段

AB 的中点,则 x= 类型一:圆的方程

x1 ? x2 y ? y2 ,y= 1 2 2

B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与 例 1 求过两点 A(1 , 4) 、
圆的关系. 例 2 求半径为 4,与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆的方程. 例 3 求经过点 A(0 , 5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程. 例 4、 设圆满足:(1)截 y 轴所得弦长为 2;(2)被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为 3 : 1 ,在 满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线 l:x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程. 类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例 5 已知圆 O:x 2 ? y 2 ? 4 ,求过点 P?2, 4? 与圆 O 相切的切线. 例 6 两 圆 C1:x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 C2:x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相 交 于

A 、 B 两点,求它们的公共弦 AB 所在直线的方程. 例 7、过圆 x 2 ? y 2 ? 1 外一点 M ( 2,3) ,作这个圆的两条切线 MA 、 MB ,切点分别是 A 、

B ,求直线 AB 的方程。
类型三:弦长、弧问题
2 2 例 8、求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长.

例 9、直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的圆心角为
2 2

例 10、求两圆 x ? y ? x ? y ? 2 ? 0 和 x ? y ? 5 的公共弦长
2 2 2 2

类型四:直线与圆的位置关系 例 11、已知直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x ? y ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关系.
2 2

例 12、若直线 y ? x ? m 与曲线 y ?
2 2

4 ? x 2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围.

例 13 圆 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几个? 类型五:圆与圆的位置关系 14:若圆 x ? y ? 2mx ? m ? 4 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 4my ? 4m ? 8 ? 0 相切,则实
2 2 2 2 2 2

数 m 的取值集合是

.


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