2017届一轮复习北师大版 绝对值不等式的解法及其应用 课件_图文

第86讲

绝对值不等式的解法 及其应用

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

1.理解绝对值的意义. 2.会解一些简单的绝对值不等式. 3.会利用绝对值不等式的三角不等式证明简单的绝 对值不等式.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

1.含绝对值不等式的解法 (1)如果 a>0,则

(-a,a) ; ②|x|>a 的解集是 (-∞,a)∪(a,+∞) .
①|x|<a 的解集是 (2)不等式|ax+b|≤c;|ax+b|≥c 的解法: ①换元法:令 t=ax+b,转化为|t|≤c,|t|≥c 型不等 式,然后求 x,得原不等式的解集;

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

②分段讨论法:
? ?ax+b<0, ?ax+b≥0, |ax+b|≤c(c>0)?? 或? ? ?-?ax+b?≤c. ?ax+b≤c, ? ?ax+b<0, ?ax+b≥0, |ax+b|≥c(c>0)?? 或? ? ?-?ax+b?≥c. ?ax+b≥c,

(3)不等式|x-a|+|x-b|≥c的常用解法: ①利用绝对值的几何意义的数形结合思想; ②零点分段法的分类讨论思想; ③构造函数法的函数与方程思想.

复习目标

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高频考点

课时小结

2.绝对值三角不等式 (1)定理 1 仅当 若 a,b 为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且 时,等号成立; |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. |a1+a2+?+an|≤|a1|+|a2|+?+|an|. |a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当 时,等号成立.

ab≥0
推论 1 推论 2

(2)定理 2

(a-b)· (b-c)≥0

复习目标

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高频考点

课时小结

1.不等式|3x-2|<4 的解集为

.

2 解:因为|3x-2|<4?-4<3x-2<4?-3<x<2.

2 答案:(- ,2) 3

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

2.设函数 f(x)=|2x-1|+x+3,若 f(x)≤5,则 x 的取 值范围是 .

解:f(x)≤5?|2x-1|+x-2≤0,
?2x-1≥0, 1 ? ① 解得2≤x≤1. ?2x-1+x-2≤0, ?2x-1<0, 1 ? ② 解得-1≤x<2. ?-2x+1+x-2≤0,

综上可得-1≤x≤1.
答案: [-1,1]

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

3.不等式|x+3|-|x-1|>0 的解集为

.

解:原不等式等价于|x+3|>|x-1|. 两边平方得(x+3)2>(x-1)2,解得 x>-1. 故原不等式的解集为{x|x>-1}.

答案:{x|x>-1}

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

4.不等式 1≤|x-3|≤6 的解集是( A.{x|4≤x≤9} C.{x|-3≤x≤2 或 4≤x≤9}
解:原不等式等价于:
?x-3≥0, ?x-3<0, ? 或? ?1≤x-3≤6, ?1≤-x+3≤6.

)

B.{x|-3≤x≤9} D.{x|-1≤x≤2}

解得 4≤x≤9 或-3≤x≤2. 所以原不等式的解集为{x|-3≤x≤2 或 4≤x≤9}.
答案:C
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结

5.若|x-a|<m,|y-a|<n,则下列不等式一定成立的 是( ) A.|x-y|<2m C.|x-y|<n-m B.|x-y|<2n D.|x-y|<n+m

解:|x-y|=|x-a-(y-a)|≤|x-a|+|y-a|<m+n.
答案:D

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

|f(x)|>g(x)及|f(x)|<g(x)型 不等式的解法 |x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x- b|≤c型不等式的解法 绝对值三角不等式的应用

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

考点一·|f(x)|>g(x)及|f(x)|<g(x)型不等式的解法
【例 1】(2015· 江苏卷)解不等式 x+|2x+3|≥2.

解:原不等式化为|2x+3|≥2-x.
? 3 ?x<- , 2 所以? ?-2x-3≥2-x, ? ? 3 ?x≥- , 2 或? ?2x+3≥2-x. ?

1 解得 x≤-5 或 x≥-3.
? ? ? 1 ? ? 综上,原不等式的解集是?x?x≤-5或x≥-3 ? ? ? ? ? ? ?

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

点评:解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号, 而根据绝对值的定义去掉绝对值符号是最基本的方法.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

【变式探究】
1.设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

解:(1)当 a=1 时,f(x)≥3x+2 可化为|x-1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤-1. 故不等式 f(x)≥3x+2 的解集为{x|x≥3 或 x≤-1}. (2) 由 f(x)≤0 得 |x-a|+3x≤0. 此不等式化为不等式组
?x≥a ? ? ? ?x-a+3x≤0, ?x≤a, ? 或? ? ?a-x+3x≤0.

?x≥a, ? 即 ? a x ≤ ? 4, ?

?x≤a, ? 或? a x ≤- ? 2. ?

因为

? ? ? ? a>0,所以不等式组的解集为? x ? ? ? ?

a x≤-2

? ? ?. ? ?

a 由题设可得-2=-1,故 a=2.
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结

考点二· |x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式的 解法
【例 2】(2015· 山东卷改编)求不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

解:原不等式等价于:
? x≤ 1 , ?1<x<5, ? 或? ?1-x-?5-x?<2, ?x-1-?5-x?<2, ?x≥5, 或? ?x-1-?x-5?<2.

分别解上述不等式得 x≤1,或 1<x<4,或 x∈?. 综上,原不等式的解集为(-∞,4).

复习目标

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高频考点

课时小结

点评:若不等式含有两个或两个以上的绝对值,通常采 用“零点分段法”求解,其基本步骤是: ①求出每个绝对值的原数值等于零的未知数的值(即零 点); ②将这些零点标在数轴上,此时数轴分成若干个区间; ③在每一个区间上, 每一个绝对值符号内的代数式有一 个确定的符号,利用绝对值定义去掉绝对值符号,将含绝对 值的不等式转化为若干个整式不等式组; ④这若干个不等式组的解集的并集就是原不等式的解 集.
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结

【变式探究】
2.(2012· 新课标卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

解:(1)当 a=-3 时,原不等式即为|x-3|+|x-2|≥3. 此不等式等价于:
?x≤2, ? ? ? ?3-x+2-x≥3, ?x≥3, ? 或? ? ?x-3+x-2≥3. ?2<x<3, ? 或? ? ?3-x+x-2≥3,

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

解上述不等式分别得到 x≤1,或 x∈?,或 x≥4. 所以 f(x)≥3 的解集为(-∞,1]∪[4,+∞). (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a|?|x+a|≤2 ?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0].

复习目标

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考点三· 绝对值三角不等式的应用
【例 3】 已知关于 x 的不等式|x-2|-|x-5|-a>0 的解集 为 R,求实数 a 的取值范围.

复习目标

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高频考点

课时小结

解:不等式的解集为 R 是指对任意的实数 x,不等式 都成立. 将上述不等式转化为|x-2|-|x-5|>a, 只需求|x-2|-|x-5|的最小值, 利用绝对值三角不等式即可求得. 因为||x-2|-|x-5||≤|x-2-(x-5)|=3, 所以-3≤|x-2|-|x-5|≤3. 因为|x-2|-|x-5|>a 的解集为 R,所以 a<-3. 故所求实数 a 的取值范围为(-∞,-3).

复习目标

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高频考点

课时小结

点评:绝对值三角不等式处理形如|x-a|+|x-b|或|x -a|-|x-b|的最值问题(或恒成立问题)时非常方便.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

【变式探究】
1 3.(2014· 新课标卷Ⅱ)设函数 f(x)=|x+a|+|x-a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围.

复习目标

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高频考点

课时小结

1 1 解:(1)证明:由 a>0,有 f(x)=|x+a|+|x-a|≥|x+a-(x 1 -a)|=a+a≥2. 所以 f(x)≥2. 1 (2)f(3)=|3+a|+|3-a|. 5+ 21 1 当 a>3 时,f(3)=a+a,由 f(3)<5 得 3<a< 2 . 1+ 5 1 当 0<a≤3 时, f(3)=6-a+a, 由 f(3)<5 得 2 <a≤3. 1+ 5 5+ 21 综上,a 的取值范围是( 2 , 2 ).

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

1 .解含有绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符 号,利用绝对值的定义是去绝对值符号的有效方法. 2.解含多个绝对值符号的不等式,常采用零点分区 间法,也可数形结合,将不等式的求解问题转化为考察 两函数图象之间的关系.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

3.不等式的解集为 R 是指不等式恒成立,而解集为 ?即不等式的对立面也是不等式恒成立(如 f(x)>m 的解集 是?,则 f(x)≤m 恒成立),这两类问题都可转化为最值问 题,即 f(x)<a 恒成立?a>f(x)max,f(x)>a 恒成立?a<f(x)min. 4. 利用绝对值三角不等式处理形如|x-a|+|x-b|或|x -a|-|x-b|的最值问题非常方便、快捷.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结


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