抛物线中的定点定值问题

抛物线练习(定点定值垂直等) 例 1.已知 A, B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两点,且 OA ? OB . 求证: (1)求 AB 两点的横坐标之积和纵坐标之积; (2)直线 AB 恒过定点; (3)求弦 AB 中点 P 的轨迹方程; (4)求 △ AOB 面积的最小值; (5) O 在 AB 上的射影 M 轨迹方程.

思考 1:若将 O 点改为抛物线上任意点,AB 直线是否仍过定点? 思考 2:本题中, OA ? OB ,即表示 OA、OB 斜率之积为-1,若 kOA kOB=m(m 为不为零的常 数),直线 AB 是否过定点,试先举特例研究,再做一般性研究; 思考 3: kOA+ kOB=n(n 为非零常数), 直线 AB 过定点吗?试先举特例研究, 若 再做一般性研究;
思考 4:把问题 3 和问题 4 中的 O 点改为抛物线上任意点,是否也有类似性质?

思考 5:上述结论在椭圆中成立吗?

抛物线专题第 1 页

例 2.在专题 7 例 1 中,椭圆上任找一点 A,作两条斜率之和为 0 的直线,分别交椭圆与另外 亮点 B 和 C,有 BC 斜率为定值(简称一定二动斜率定值) 试着以抛物线 y 2 ? 4 x 上点 A(4,4),作两条斜率之和为 0 的弦 AB,AC 分别交抛物线于 B、 C 两点,证明:BC 斜率为定值。

例 3.类比于专题 7 例 4---例 6 已知抛物线 y 2 ? 4 x , 过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、 两点, B 试问 x 轴上是否存在点 P , 使 PF 平分 ?APB ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。

思考 1:若上述问题改为过求出的定点 P,做两条直线,分别交抛物线于点 A,B 且满足直线 AP 与 BP 斜率之和为 0,且 A、B 不关于 x 轴对称,证明直线 AB 过定点. 思考 2:若上述问题改为过求出的定点 P,做一条直线,交抛物线于点 A,B 探究 K AF , KBF 的 关系。

抛物线专题第 2 页

思考 3:若题中出现的点不是焦点,是否有类似规律,如下题:
已知定点 H (?3, 0) ,动点 P 在

y 轴上,动点 Q 在 x 轴的正半轴上,动点 M

满足: HP ? PM

??? ???? ? ?

?0,
相交于

???? ? 3 PM ? ? MQ .设动点 M 2 A、B 两点. (1)求曲线 C 的方程;

的轨迹为曲线 C ,过定点 D(m, 0)(

m ? 0) 的直线 l 与曲线 C

(2)若点 E 的坐标为 (?m,0) ,求证: ?AED

? ?BED ;
? a 所得的弦长恒为定值?若存在求出实

(3)是否存在实数 a, 使得以 AD 为直径的圆截直线 l ? : x 数 a 的值;若不存在,请说明理由.

抛物线专题第 3 页

例 4:类比于专题 8:在椭圆中,将准线和焦点结合,有很多垂直,共线的结论,试证明: 如图:若 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的弦, M 是 AB 的中点, l 是抛物 线的准线, MN ? l , N 为垂足, BD ? l , AH ? l , D , H 为垂足.证明: (1)AN ? BN ; 以 AB 为直径的圆和抛物线的准线相切. 即 (2) HF ? DF ; (3) FN ? AB ; (4)A、O、D 三点共线; (能否推广?F(a,0), l : x ? ? a )

思考:若 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的弦,过 A 和 B 分别做抛物线的切线,切线 交于点 M,试着猜想 M 的轨迹并证明; (参考专题 8 例 3)

抛物线专题第 4 页

抛物线练习(定点定值垂直等) 例 1.已知 A, B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两点,且 OA ? OB . 求证: (1)求 AB 两点的横坐标之积和纵坐标之积; (2)直线 AB 恒过定点; (3)求弦 AB 中点 P 的轨迹方程; (4)求 △ AOB 面积的最小值; (5) O 在 AB 上的射影 M 轨迹方程.

(1)

(2)

(3)

(5) ( x ? p)2 ? y 2 ? p 2 思考 1:若将 O 点改为抛物线上任意点,AB 直线是否仍过定点? 思考 2:本题中, OA ? OB ,即表示 OA、OB 斜率之积为-1,若 kOA kOB=m(m 为不为零的常 数),直线 AB 是否过定点, 试先举特例研究, 再做一般性研究;AB 过定点 (
2 y0 2 p ? ,? y 0 ) 。 2p m

思考 3: kOA+ kOB=n(n 为非零常数), 直线 AB 过定点吗?试先举特例研究, 若 再做一般性研究; 直线 AB 过定点 (
2 y0 2 y0 2 p ? , ? y0 ). 2p n n

思考 4:把问题 3 和问题 4 中的 O 点改为抛物线上任意点,是否也有类似性质?

思考 5:上述结论在椭圆中成立吗?

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例 2.在专题 7 例 1 中,椭圆上任找一点 A,作两条斜率之和为 0 的直线,分别交椭圆与另外 亮点 B 和 C,有 BC 斜率为定值(简称一定二动斜率定值) 试着以抛物线 y 2 ? 4 x 上点 A(4,4),作两条斜率之和为 0 的弦 AB,AC 分别交抛物线于 B、 C 两点,证明:BC 斜率为定值。 ?

1 p ,一般情况下 A( x0 , y0 ),结论为 ? 2 y0

例 3.类比于专题 7 例 4---例 6 已知抛物线 y 2 ? 4 x , 过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、 两点, B 试问 x 轴上是否存在点 P , 使 PF 平分 ?APB ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。 (-1,0) 思考 1:若上述问题改为过求出的定点 P,做两条直线,分别交抛物线于点 A,B 且满足直线 AP 与 BP 斜率之和为 0,且 A、B 不关于 x 轴对称,证明直线 AB 过定点. 思考 2:若上述问题改为过求出的定点 P,做一条直线,交抛物线于点 A,B 探究 K AF , KBF 的 关系。 K AF ? KBF ? 0 思考 3:若将 P 改为 x 轴负半轴上的其它点,是否有类似规律,如下题:
已知定点 H (?3, 0) ,动点 P 在

y 轴上,动点 Q 在 x 轴的正半轴上,动点 M

满足: HP ? PM

??? ???? ? ?

?0,
相交于

???? ? 3 PM ? ? MQ .设动点 M 2 A、B 两点. (1)求曲线 C 的方程;

的轨迹为曲线 C ,过定点 D(m, 0)(

m ? 0) 的直线 l 与曲线 C

(2)若点 E 的坐标为 (?m,0) ,求证: ?AED

? ?BED ;
? a 所得的弦长恒为定值?若存在求出实

(3)是否存在实数 a, 使得以 AD 为直径的圆截直线 l ? : x 数 a 的值;若不存在,请说明理由.

22、解: (Ⅰ)设 M ( x, y), P(0, y ?), Q( x?,0)( x? ? 0) ,

? ? ???? ? ? 3 ???? ??? ???? ? PM ? ? MQ, HP ? PM ? 0. 2 3 ? ( x, y ? y ?) ? ? ( x ? ? x, ? y ) 且 (3, y ?) ? ( x, y ? y ?) ? 0 , 2 1 1 ? x? ? x, y? ? ? y,3x ? yy? ? y?2 ? 0. 3 2
? y 2 ? 4x( x ? 0) .
………………………………………………4 分

∴动点 M 的轨迹 C 是以 O(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点).
抛物线专题第 6 页

…………………………………………5 分 (Ⅱ)解法一: (1)当直线 l 垂直于 x 轴时,根据抛物线的对称性,有 ?AED ? ?BED ; ……………6 分 (2)当直线 l 与 x 轴不垂直时,依题意,可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? m)(k ? 0, m ? 0) ,

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 A,B 两点的坐标满足方程组
? y ? k ( x ? m) ? 2 ? y ? 4 x ( x ? 0)
消去 x 并整理,得

y
A F H G

O?
O E B D

x

ky ? 4 y ? 4km ? 0 ,
2

? y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4m . k

……………7 分

设直线 AE 和 BE 的斜率分别为 k1、k2 ,则:

1 1 y y 2 ? y y 2 ? m( y1 ? y2 ) y1 y2 y1 ( x2 ? m) ? y2 ( x1 ? m) 4 1 2 4 2 1 ? ? ? k1 +k2 = ( x1 ? m)( x2 ? m) x1 ? m x2 ? m ( x1 ? m)( x2 ? m) 1 4 4m 1 (?4m)( ) ? y1 y2 ( y1 ? y2 ) ? m( y1 ? y2 ) k k ? 0 . …………………9 分 ?4 ?4 ( x1 ? m)( x2 ? m) ( x1 ? m)( x2 ? m)

? tan ?AED ? tan(180? ? ?BED) ? 0 ,
? tan ?AED ? tan ?BED ,

? 0 ? ?AED ?

?

2 ??AED ? ?BED .

, 0 ? ?BED ?

?
2
…………………10 分

综合(1)(2)可知 ?AED ? ?BED . 、

解法二:依题意,设直线 l 的方程为 x ? ty ? m(m ? 0) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 A,B 两 点的坐标满足方程组:

y
A F H G

? x ? ty ? m ? 2 ? y ? 4 x ( x ? 0)
消去 x 并整理,得 O E B

O?
D

y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 , ? y1 ? y2 ? 4t , y1 y2 ? ?4m . ……………7 分
设直线 AE 和 BE 的斜率分别为 k1、k2 ,则:

x

抛物线专题第 7 页

1 1 2 y1 y2 ? y2 y12 ? m( y1 ? y2 ) y y2 y ( x ? m) ? y2 ( x1 ? m) 4 4 ? ? 1 2 k1 +k2 = 1 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) x1 ? m x2 ? m ( x1 ? m)( x2 ? m) 1 1 y1 y2 ( y1 ? y2 ) ? m( y1 ? y2 ) (?4m)(4t ) ? 4mt ?4 ?4 ? 0 . …………………9 分 ( x1 ? m)( x2 ? m) ( x1 ? m)( x2 ? m)

? tan ?AED ? tan(180? ? ?BED) ? 0 ,
? tan ?AED ? tan ?BED ,

? 0 ? ?AED ?

?

……………………………………………………10 分 (Ⅲ)假设存在满足条件的直线 l ? ,其方程为 x ? a ,AD 的中点为 O? , l ? 与 AD 为直径的 圆相交于点 F、G,FG 的中点为 H,则 O?H ? FG , O? 点的坐标为 (

2 ??AED ? ?BED .

, 0 ? ?BED ?

?
2

x1 ? m y1 , ). 2 2

? O?F ?

1 1 1 AD ? ( x1 ? m) 2 ? y12 ? ( x1 ? m) 2 ? 4 x1 , 2 2 2

O?H ? a ?
2

x1 ? m 1 ? 2a ? x1 ? m , 2 2
2 2

? FH ? O?F ? O?H ?

1 1 ?( x1 ? m) 2 ? 4 x1 ? ? (2a ? x1 ? m) 2 ? ? 4 4
…………………………12 分

? (a ? m ? 1) x1 ? a(m ? a) .
? FG ? (2 FH ) 2 ? 4 ? (a ? m ? 1) x1 ? a (m ? a ) ? ,
2

令 a ? m ? 1 ? 0 ,得 a ? m ? 1 此时, FG ? 4( m ? 1) .
2

∴当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时, FG ? 2 m ? 1 (定值). ∴当 m ? 1 时,满足条件的直线 l ? 存在,其方程为 x ? m ? 1 ;当 0 ? m ? 1 时,满足条件的 直线 l ? 不存在. …………………………14 分 例 4:类比于专题 8:在椭圆中,将准线和焦点结合,有很多垂直,共线的结论,试证明: 如图:若 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的弦, M 是 AB 的中点, l 是抛物 线的准线, MN ? l ,N 为垂足,BD ? l , AH ? l , D , H 为 垂足.证明:

(1)AN ? BN ; 以 AB 为直径的圆和抛物线的准线相切. 即 (2) HF ? DF ; (3) FN ? AB ;
抛物线专题第 8 页

(4)A、O、D 三点共线; (能否推广) 思考 1:若 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的弦,过 A 和 B 分别做抛物线的切线, 切线交于点 M,试着猜想 M 的轨迹并证明; (参考专题 8 例 3)

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