圆锥曲线(做题技巧),含答案

一.椭圆

1.椭圆方程的第一定义:

椭圆中,与两个定点 F1 ,F 2 的距离的和等于常数 2a 的点的轨迹,且此常数 2a 一定要

大于 F1F2 。

PF1 ? PF2 ? 2a,(a ? c ? 0)

圆锥曲线上的任一点到 焦点的距离

2.圆锥曲线的第二定义:

此点到相应准线的距离

?e

3.椭圆的标准方程:

①中心在原点,焦点在

x

轴上:

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) .

中心在原点,焦点在

y

轴上:

y a

2 2

? x2 b2

? 1(a ? b ? 0) .

②一般方程: Ax2 ?By 2 ? 1(A ? 0, B ? 0) .

③椭圆的标准方程:

x a

2 2

y2 ?
b2

?1

的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

a cos? b sin ?

(0

??

?

2?

).

④准线: x ? ? a 2 或 y ? ? a 2 .

c

c

⑤离心率: e ? c ? 1? ( b )2 , e ? (0,1)

a

a

随手练

例1. (1)已知定点 F1(?3,0), F2 (3,0) ,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的 是( C )

A. PF1 ? PF2 ? 4 B. PF1 ? PF2 ? 6 C. PF1 ? PF2 ? 10

D. PF1 2 ? PF2 2 ? 12

例 2.(1)已知方程 x2 ? y2 ? 1表示椭圆,则 k 的取值范围为
3?k 2?k

(?3,? 1 ) ? (? 1 ,2)

2

2

1

4.【求椭圆标准方程方法技巧】 1.求椭圆的标准方程,除了直接根据定义外,常用待定系数法(先定性,后定型,再 定 参). 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,可设方程为 x2 ? y2 =1
mn
(m>0,n>0且m ? n) ,可以避免讨论和繁杂的计算,也可以设为 Ax2+By2=1 (A>0,B>0 且 A≠B),这种形式在解题中更简便.

2.椭圆的标准方程有两种形式,其结构简单,形式对称且系数的几何意义明确,在 解题时要防止遗漏.

【涉及离心率及焦点方法技巧】 (1)在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出 c 和 a 的值,而是根据题目 给出的椭圆的几何特征,建立关于参数 c、a、b 的方程或不等式,通 过解方程或不等

式求得离心率的值或范围.较多时候利用 e=c ,e ? 1? b2 解题;

a

a2

(2)对焦点三角形△F1PF2 的处理方法,

?

通常是运用

?定义式的平方

? ?

余弦定理

?

? ??(2c)2

(|PF|+|PF |)2

1

2

?

(2a

)2

?|PF1|2

+|PF |2 2

?

2|PF1|?|PF2|cos?

? ?

面积公式

? ?

?

S? ? 12|PF1|?|PF2|sin?

.

4.若

P

是椭圆: x2
a2

y2 ?
b2

? 1 上的点. F 1,F 2 为焦点,若 ?F1PF 2? ?

,则

?PF

1F

2

的面积为

b

2

t

an

? 2

2

(用余弦定理与 PF 1 ? PF 2 ? 2a 可得).

答案:设 PF1=m,PF2=n,则 m+n=2a

又 cos? ? m2 ? n2 ? 4c2
2mn

得到 4c2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos?

所以 4c2 ? (m ? n)2 ? 2mn(1? cos?) ? (2a)2 ? 2mn(1? cos?)

所以 mn ? 2b2
1? cos?

所以三角形面积为

S?

1 mn sin? 2

?

1 ? 2b2 2 1? cos?

? s in ?

? b2

s in ? 1? cos?

? b2

2

s

in

? 2

cos

? 2

2

cos2

? 2

? b2

tan ? 2

【直线与椭圆位置关系判断方法】 1.(1)代数法:把椭圆方程与直线方程联立消去 y,整理得到关于 x 的方程 Ax2+Bx+C

=0.记该一元二次方程根的判别式为 Δ ,①若 Δ >0,则直线与椭圆相交;②若 Δ = 0,则直线与椭圆相切;③若 Δ <0,则直线与椭圆相离. (2)几何法:在同一直角坐标系中画出椭圆和直线,利用图象和性质可判断直线与椭

圆的位置关系.

(3)弦中点问题,适用“点差法”.

【方法规律技巧】

1.涉及直线与椭圆的基本题型有: (1)位置关系的判断

(2)弦长、弦中点问题

(3)轨迹问题[来源:学#科#网] (4)定值、最值及参数范围问题

(5)存在性问题 2.常用思想方法和技巧有:

3

(1)设而不求(2)坐标法(3)根与系数关系

3. 若直线与椭圆有两个公共点 M (x1,y1),N (x2,y2 ),可结合韦达定理,代入弦长公式

MN =

(1? k 2 )[(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ] 或 MN =

(1 ?

1 k2

)[(y1

?

y2

)2

? 4 y1 y2 ]



MN =

1? k 2 x1 ? x2 求

距离.

例 3、F 是椭圆 x2 ? y2 ? 1的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点。
43

PA ? PF 的最小值为

4- 5

思路:椭圆第一定义;

例 4、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方

程。

答案:椭圆第一定义 MA=R-rx MB=r+rx

MA+MB=R+r=8>2

所以圆心 M 形成椭圆: x2 ? y2 ? 1 16 15

y C
M D A 0B 5 x

二:双曲线
1、双曲线及其标准方程
(1)第一定义: PF1 ? PF2 ? ?2a,(c ? a ? 0)
4

平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(小于| F1 F2 |)的动点 M 的 轨迹

注:若 MF1 < MF2 时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 MF1 > MF2 时,轨迹 为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.

(2)第二定义: 双曲线上的任一点到焦 点的距离
此点到相应准线的距离

?e

(3)标准方程:焦点在

x

轴,

x2 a2

?

y2 b2

? 1, (a

?

0, b

?

0)

焦点在

y

轴,

y2 a2

?

x2 b2

? 1, (a

? 0,b

?

0)

? 一般方程:

mx 2 ? ny2 ? 1, (m ? n ? 0)
(4)等轴双曲线: 双曲线 x2 ? y2 ? ?a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ?x ,离心率 e ? 2 . (5)共轭双曲线:
以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.

x2 a2

?

y2 b2

?

?与

x2 a2

?

y2 b2

?

?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:

x2 a2

?

y2 b2

?

0

2.双曲线的焦点判别方法是:如果 x2 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y2 项的

系数是正数,则焦点在 y 轴上。对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样,

通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

3.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2
①若双曲线方程为 a2

?

y2 b2

?

1

?

渐近线方程:

x2 a2

?

y2 b2

?0?

y??b a

x;

②若渐近线方程为

y

?

?

b a

x

?

x a

?

y b

?0

x2
? 双曲线可设为 a2

? y2 b2

??;

x2 ? y2 ?1

x2 ? y2 ? ?

③若双曲线与 a2 b2 有公共渐近线,可设为 a2 b2

5

( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).

x2
④双曲线 a2

?

y2 b2

? 1(a,b ? 0) 焦点三角形面积: S?F1PF2

?

b2 cot ? 2

,高 h ?

b2 cot ?
2 c



证明:

设 MF1 长为 m,MF2 长为 n,则 m-n=2a --------① 又由余弦定理

cos? ? m2 ? n2 ? (2c)2 ? (m ? n)2 ? 2mn ? (2c)2 ? (2a)2 ? 2mn ? (2c)2 ? 4a2 ? 4c2 ? 2mn ? 2mn ? 4b2

2mn

2mn

2mn

2mn

2mn

所以得到 mn ? 2b2
1? cos?

所以三角形 MF1F2 的面积为:

1 mn 2

s in ?

?

1 ? 2b2 2 1? cos?

? s in ?

? b2

? sin? 1? cos?

? b2

2

sin

? 2

cos

? 2

2

s

in

2

? 2

? b2

cot ? 2

题型一 双曲线的性质

x2 y2

14

? ?1

(2)已知双曲线与椭圆 9 25 共焦点,它们的离心率之和为 5 ,求双曲线方程.

答案: y2 ? x2 ? 1
4 12

6

x2 y2
例 2 求与双曲线 9 ? 3 ?1有共同的渐近线,并且经过点 ( 3, ?4) 的双曲线方程. 答案: y2 ? x2 ? 1
15 45

题型二、双曲线与椭圆共焦点,求 ΔPF1F2 相关知识



1:已知椭圆

x2 a12

?

y b12

2

? 1和双曲线

x2 a22

-

y b22

2

? 1有

共同的焦点 F1,F2,P 点是椭圆和双曲线的的交点,

问什么时候三角形 PF1F2 是直角三角形?

分析:

因为椭圆和双曲线共焦点,得 c2 ? a12 ? b12

c2 ? a22 ? b22 -------①

设 PF1 长为 m,PF2 长为 n,则可知: m+n=2a1 , m-n=2a2 -------②

当三角形 PF1F2 是直角三角形时, m2 ? n2 ? 4c2

7

由②知 m2

? n2

?

(m ? n)2

? (m ? n)2 2

?

4a12

? 4a22 2

?

2a12

? 2a22

由①知 2c2 ? a12 ? b12 ? a22 ? b22 ? a12 ? a22 ? b22 ? b12 所以 4c2 ? 2a12 ? 2a22 ? 2b22 ? 2b12 所以如果三角形 PF1F2 是直角三角形时 m2 ? n2 ? 4c2

需使 2a12 ? 2a22 ? 2a12 ? 2a22 ? 2b22 ? 2b12

得到 b1 ? b2 。

? ? 此时三角形 PF1F2 的面积为 1 mn ,由②知 mn ? 1

2

4

(m ? n)2 ? (m ? n)2

? a12 ? a22

所以三角形的面积为:

1 2

(a12

?

a22 )

?

1 2

(b11

?

b22

)

?

b2

结论:

(1)当椭圆

x2 a12

?

y b2

2

?

1 和双曲线

x2 a22

-

y b2

2

? 1共焦点且

b

值相等时,

ΔPF1F2

是直角三角形,三角形面积为

1 2

|PF1|·|PF2|=

1 2

(a12

?

a22

)

?

1 2

(b11

?

b22

)

?

b2



(2)当椭圆

x2 a12

?

y b12

2

? 1和双曲线

x2 a22

-

y b22

2

? 1共焦点且三角形

PF1F2

是直角三角形,

那么 b1 ? b2 。

随堂练习:

1.已知椭圆 x2 ? y2 ?1(a>0,b>0)与双曲线 x2 ? y2 ?1(m>0,n>0)有相同的焦点 F1、F2,

ab

mn

P 是两曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值为( D )

A. b ? n

B. a ? m

C.b-n

D.a-m

2.若椭圆 x2 ? y2 ?1(m ?1) 与双曲线 x2 ? y2 ?1(n ? 0) 有相同的焦点 F1、F2,P 是两曲线的一

m

n

8

个交点,则 ΔPF1F2 的面积为( C )

A.4

B.2

C.1

D. 1

2

3.若椭圆和双曲线有相同焦点 F1、F2,P 是两曲线的一个交点,并且 PF1 ? PF2 ? 0 ,e1, e2 分

别是它们的离心率,则

1 e12

?

1 e22

?

2

三.抛物线 1.定义:平面内与一定点 F 和一条定直线 L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 L 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 L 叫做抛物线的准线
9

2.标准方程:焦点在 x 轴, y2 ? ?2 px, ( p ? 0) 准线方程: x ? ? a2 c

焦点在 y 轴, x2 ? ?2 py, ( p ? 0)

y ? ? a2 c

3.通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径,通径长为



4.抛物线的几个常见结论

结论一:若 AB 是抛物线 y2 ? 2px(p ? 0) 的焦点弦(过焦点的弦),且 A(x1, y1) , B(x2, y2),

则:

x1x2

?

p2 4



y1 y2

?

? p2



证明:因为焦点坐标为 F( p ,0),当 AB 不垂直于 x 轴时,可设直线 AB 的方程为:
2

y ? k(x ? p) ,
2



? ?

y

?

?

k(x

?

p ) 得:
2

ky2 ? 2py ? kp2 ? 0

?? y2 ? 2 px

∴ y1y2

? ? p2 , x1x2

?

y12 ? 2p

y22 2p

?

p4 4 p2

?

p2 4



当 AB⊥x 轴时,直线 AB 方程为 x

?

p 2

,则

y1

?

p ,y2

? ? p ,∴

y1 y2

? ? p2 ,同上也有:x1x2

?

p2 4



例 1:已知直线 AB 是过抛物线 y2 ? 2px( p ? 0) 焦点 F,求证: 1 ? 1 为定值。 AF BF

10

证明:等于 2
P
结论二: (1)若 AB 是抛物线 y2 ? 2px(p ? 0) 的焦点弦,直线 AB 的倾斜角为α ,则 AB ? 2P (α
sin2 ?
≠0)。

(2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。

证明:(1)设

A(x1,

y1)



B( x2 ,

y2 ) ,设直线

AB:

y

?

k(x

?

p) 2



? ?

y

?

?

k(x

?

p) 2

得:,

ky2

? 2py

? kp2

?

0

?? y2 ? 2 px



y1

?

y2

?

2p k



y1 y2

?

?p2 ,

∴ AB ?

1

?

1 k2

y1 ? y2

?

1

?

1 k2

( y1 ? y2)2 ? 4y1y2 ?

1

?

1 k2

2p

1? k2 k

2 p(1? k2) 2 p(1? tan2 ?) 2P ? k2 ? tan2 ? ? sin2 ?



易验证,结论对斜率不存在时也成立。

(1)由(1):AB 为通径时,? ? 90 , sin2 ? 的值最大, AB 最小。

例 2:已知过抛物线 y2 ? 9x 的焦点的弦 AB 长为 12,则直线 AB 倾斜角为 60°或 120° 。

结论三:两个相切:

(1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.

(2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相

切。

例 3:已知 AB 是抛物线 y2 ? 2px( p ? 0) 的过焦点 F 的弦,

求证:(1)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过 A、B 做准线的垂线,垂足为 M、N,求证:以 MN 为直径的圆与直线

AB 相切。

y

11

A M

PO

Q F

x

证明:(1)设 AB 的中点为 Q,过 A、Q、B 向准线 l 作垂线,

垂足分别为 M、P、N,连结 AP、BP。

由抛物线定义: AM ? AF , BN ? BF ,

∴ QP ? 1 ( AM ? BN ) ? 1 ( AF ? BF ) ? 1 AB ,

2

2

2

∴以 AB 为直径为圆与准线 l 相切

(2)作图如(1),取 MN 中点 P,连结 PF、MF、NF,
M
∵ AM ? AF ,AM∥OF,∴∠AMF=∠AFM,∠AMF=∠MFO,

y A

∴∠AFM=∠MFO。同理,∠BFN=∠NFO,

PO F

x

∴∠MFN= 1 (∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO)=90°,
2
∴ MP ? NP ? FP ? 1 MN ,∴∠PFM=∠FMP
2

N B

∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°,∴FP⊥AB

∴以 MN 为直径为圆与焦点弦 AB 相切。

结论四:若抛物线方程为 y2 ? 2px(p ?0),过( 2 p ,0)的直线与之交于 A、B 两点,则 OA

⊥OB。反之也成立。

证明:

【典型例题】 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P
的坐标为___(2,2 2)___________
12

(2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐

标为 ( 1 ,1)



4

QA

H P

B

F

分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现,当 A、P、F 三点共线 时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时,距离和最小。 点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔 细体会。

例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的 最短距离。 答案: 5 。
4
分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设 A(x1,x12),B(x2,X22),又设 AB 中点为 M(x0y0) 用弦长公式及中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。
13

(2)M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法。

解法一:设 A(x1,x12),B(x2,x22),AB 中点 M(x0,y0)



?( ?

x2

?

x1)2

?

( x22

?x1 ? x2 ? 2x0

?

x12 )2

?

9

? ?

x12

?

x22

?

2 y0

-----① -----② -----③

由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9

即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ----④

由②、③得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0

代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9

∴ 4y0

? 4x02

?

9 1 ? 4x02



4 y0

? 4x02

?

9 4 x02

? (4x02

? 1) ?

9 ?1 4x02 ? 1

≥ 2 9 ?1 ? 5,

y0

?

5 4

当 4x02+1=3



x0 ? ?

2 2

时, ( y0 )min

?

5 4

此时 M (?

2 , 5) 24

法二:如图, 2 MM2 ? AA2 ? BB2 ? AF ? BF ? AB ? 3

∴ MM2

?3,
2

即 MM1

?1 ? 3,
42

∴ MM1

?5,
4

当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。

y M

B

A

A1 0 M1 B1 x

A2

M2 B2

14

∴M 到 x 轴的最短距离为 5
4
点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消 x1,x2,从而形成 y0 关于 x0 的函数, 这是一种“设而不求”的方法。
而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的 距离,再利用梯形的中位线,转化为 A、B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边 之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解 出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的坐标也 不能直接得出。 八.课后作业 1.以椭圆 x2 ? y2 ?1的焦点为焦点,过直线 l:x ? y ? 9 ? 0 上一点 M 作椭圆,要使所作椭
12 3
圆的长轴最短,点 M 应在何处?并求出此时的椭圆方程.

解:如图所示,椭圆 x2
12

?

y2 3

?1的焦点为 F1?? 3,0?, F2?3,0?.

点 F1 关于直线 l:x ? y ? 9 ? 0 的对称点 F 的坐标为(-9,6),直线 FF2 的方程为

x?2y?3? 0.

解方程组

?x ??x

? ?

2y ? 3 ? 0 得交点 M
y?9?0

的坐标为(-5,4).此时

MF1

?

MF2

最小.

所求椭圆的长轴: 2a ? MF1 ? MF2 ? FF2 ? 6 5 ,∴ a ? 3 5 ,又 c ? 3,

? ? ∴ b2 ? a2 ? c2 ? 3 5 2 ? 32 ? 36.因此,所求椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1. 45 36

15

2.求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过 A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 ,1) 两点的椭圆方程.

解:设所求椭圆方程为 mx2 ? ny2 ?1( m ? 0,n ? 0 ).由 A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 ,1) 两点在椭圆

上可得

??m ? ??m

? ?

( 3)2 ? n? (?2 3)2 ?

(?2)2 ? 1, n ?12 ? 1,



?3m ? 4n ??12m ? n

? 1, ? 1,

所以

m

?

1 15



n

?

1 5



故所求的椭圆方程为 x2 ? y2 ?1
15 5

x2 y2

3.双曲线

9

? 16

?1

的两个焦点为 F1、F2 ,点 P 在该双曲线上,若 PF1 ? PF2

? 0 ,则点 P 到 x

轴的距离为 3 41

.

5

x2 ? y2 ?1
4.设双曲线 2 上两点 A、B,AB 中点(1,2),求直线 AB 方程;

16

5.已知长轴为

12,短轴长为

6,焦点在

x

轴上的椭圆,过它对的左焦点

F1

作倾斜解为

? 3

的直线交椭圆于 A , B 两点,求弦 AB 的长.

解:(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.

AB ? 1? k 2 x1?x2 ? (1? k 2 )[(x1?x2)2 ? 4x1x2] .因为 a ? 6 ,b ? 3 ,所以 c ? 3 3 .因为焦点在 x 轴上,

所以椭圆方程为 x2 ? y2 ?1,左焦点 F(?3 3 , 0) ,从而直线方程为 y ? 3x ? 9 .
36 9
由直线方程与椭圆方程联立得:13x2 ? 72 3x ? 36 ?8 ? 0 .设 x1 , x2 为方程两根,

所以

x1? x2

?

?

72 3 13



x1x2

?

36 ? 8 13

,k

?

3,

从而 AB ?

1? k 2 x1?x2 ?

(1?

k

2

)[(x1?

x2

)2

?

4x1x2

]

?

48 13



(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.

由题意可知椭圆方程为 x2 ?
36

y2 9

? 1 ,设

AF1

?m,

BF1

? n ,则

AF2

?12 ? m ,

BF2

?12 ? n .

在 ?AF1F2 中,

AF2

2

?

AF1 2

?

F1F2

2

? 2 AF1

F1F2

? cos
3

,即 (12 ? m)2

? m2

? 36 ? 3 ? 2 ? m ? 6

3?1;
2

所以 m ?

6 4?

3 .同理在 ?BF1F2 中,用余弦定理得 n ?

6 4?

,所以
3

AB

? m ? n ? 48 .
13

(法 3)利用焦半径求解. 先根据直线与椭圆联立的方程13x2 ? 72 3x ? 36 ?8 ? 0 求出方程的两根 x1 , x2 ,它们分别 是 A , B 的横坐标. 再根据焦半径 AF1 ? a ? ex1 , BF1 ? a ? ex2 ,从而求出 AB ? AF1 ? BF1 .
17

x2

y2

6.若双曲线 a 2 - b2 =1 的渐近线与方程为 (x ? 2)2 ? y2 ? 3的圆相切,则此双曲线的离心

率为 2

7.双曲线与椭圆

x2 27

?

y2 36

?

1
有相同焦点,且经过点

(

15, 4) ,求其方程。

答案:

8 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是
3 5

9.(新课标全国卷)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与

C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( B )

A. 2

B. 3

C.2

D.3

10.(新课标全国卷)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交
18

于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( C )

A.18

B.24

C.36

D.48

11.(辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线 C:xa22-yb22=1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 4, 则它的离心率为____2____.

12.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为

+ =1

__.

13.已知双曲线ax22-yb22=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点与
19

抛物线 y2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为___ - =1_____.

14.设 F1,F2 分别为椭圆 C:xa22+by22=1(a>b>0)的左,右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C

相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,F1 到直线 l 的距离为 2 3. (1)求椭圆 C 的焦距; (2)如果 AF2 ? 2FB1 ,求椭圆 C 的方程.
答案:解:(1)设焦距为 2c,

由已知可得 F1 到直线 l 的距离

,故 c=2,所以椭圆 C 的焦距为 4;

(2)设

,由题意知



直线 l 的方程为

, 联立





解得

, 因为

,所以





,得 a=3, 又 c=2,故

,故椭圆 C 的方程为

15(2013 年高考陕西卷(文))已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)

的距离的 2 倍.

(Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程;

(Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m

的斜率.

20

16

错误!未指定书签。.(2013

年高考湖南(文))已知 F1, F2

分别是椭圆 E

:

x2 5

?

y2

?1

的左、右焦点 F1, F2 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点.

(Ⅰ)求圆C 的方程;

(Ⅱ)设过点 F2 的直线l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a ,b .当 ab 最大时,求直

线 l 的方程.

21

22


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