【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲:第13讲 复数与三角函数(含详解)

数学高考综合能力题选讲 13

复数与三角函数
题型预测

复数与三角有着极为密切的关系,将二者融合在一起考查, 历来为命题者所青睐.考查的题型往往结合辐角主值、积化和差、和 差化积公式等命制.
范例选讲 例1 已知 z1 ? 1 ? cos? ? i sin? , z 2 ? 1 ? cos ? ? i sin ?

?0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ?,

且 arg z1 ? arg z 2 ?

13? , z1 z 2 ? 3 ? 1 ,求 tan?? ? ? ?的值. 6

讲解:由于涉及到辐角主值与模,所以,不妨将 z1 , z 2 写成三角形式. 由 z1 ? 1 ? cos? ? i sin ? ? 2 cos2
z 2 ? 1 ? cos ? ? i sin ? ? 2 sin 2

?
2

? 2i sin

?
2

cos

?

?? ? ?? ? 2 cos ? cos ? i sin ? , 2 2? 2 2?
?
2

?
2

2 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? 2 sin ? cos? ? ? ? i sin? ? ? ? ? ? 2? ?2 2? ? 2 2 ??

? 2i sin

?

cos

且 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,所以, arg z1 ? 又 arg z1 ? arg z 2 ?

?
2

, arg z 2 ?

13? , z1 z 2 ? 3 ? 1 ,所以, 6

5? ? ? . 2 2

?
2

?

?
2

?

?

? ? 3 ?1 , cos sin ? . 2 2 4 3

? ? 1? ? ?? ? ?? ? ? sin 又 cos sin ? ? sin ?, 2 2 2? 2 2 ?
所以 sin

???
2

??

1 . 2

2 7? 所以, tan?? ? ? ? ? tan ? 3. 3

又由 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 可知:

?

?

???
2

?

3? ? ? ? 7? ,所以, . ? 2 2 6

点评:本题的突破口在于对 arg z1 ? arg z 2 ?

13? , z1 z 2 ? 3 ? 1 的处理.由 6

于 z1,z 2 分别涉及到角α ,β ,且互不相关,所以只需将 z1,z 2 分别化为三角形 式即可.
1 ? 3i ,求 z1 ? z 2 的值. 2

例2

已知复数 z1 , z 2 满足 z1 ? z 2 ? 1 ,且 z1 ? z 2 ?

讲解:设复数的三角形式去解本题是常规思路. 设 z1 ? cos? ? i sin? , z 2 ? cos ? ? i sin ? , 因为 z1 ? z 2 ?
1 ? 3i ,所以, 2

? ?cos? ? cos ? ? ? ? ?sin ? ? sin ? ? ? ?

1 2 3 2

(1) ( 2)

和差化积, (2)

(1)

得 tan

???
2

? 3,

所以, sin?? ? ? ? ?

3 1 , cos?? ? ? ? ? ? . 2 2

1 3 i. 所以, z1 ? z 2 ? ? ? 2 2

点评:如果注意到模为 1 的复数的特性: z ?

1 ? 3i 1 ,则由 z1 ? z 2 ? 可得: 2 z

z1 ? z 2 ?

z ? z 2 1 ? 3i 1 1 1 ? 3i 1 ? 3i ? ? ? , 即 , 也 即 1 .所以, z1 z 2 2 z1 z 2 2 2

1 ? 3i ? 1 ? 3i 2 z1 z 2 ? ? ? . 2 1 ? 3i 1 ? 3i 2 2 z1 ? z 2

例3

已知 z ? cos? ? sin? ? 2 ? i?cos? ? sin? ? .

(1) 当 ? 为何值时, z 取得最大值,并求此最大值. (2) 若 ? ? ?? ,2? ? ,求 arg z (用 ? 表示). 讲解:(1) z ?

?cos? ? sin? ? 2 ?

2

? ?cos? ? sin? ?

2

? 4 ? 2 2 ?c o ? ? s i n ? s ?

?? ? ? 2 1 ? c o ?? ? ? s 4? ?
?? ? 所以,当 cos?? ? ? ? 1 时, z 取最大值 2 2 . 4? ?
(2)要求 arg z ,可以把 z 写成三角形式,但较为困难,故可先求出 arg z 的 正切值.设 arg z =α ,则由于

? ? ? ? z ? cos? ? sin? ? 2 ? i?cos? ? sin? ? = 2 ?1 ? sin(?? ? ) ? i sin(? ? )? 4 4 ? ?
?? ?? ? ? 2 sin?? ? ? sin?? ? ? 4? 4? ?? ? ? ? ? ? ? tan? ? ? . ?? ? ? ? ?? ?2 8? ? 2 ?1 ? sin? ? ? ? ? ? 1 ? cos?? ? ? ? ? 4? 4 ?? ? ? ?

所以, tan? ?

因为 ? ? ?? ,2? ? ,

? ? ? ? 所以, z 的实部= 2 ?1 ? sin(?? ? )? 〉0, z 的虚部= 2 sin(? ? ) . 4 ? 4 ?

? ? 7? ? 当 ? ? ?? , ( ? 时, 2 s in ? ? ) <0,Z 所对应的点位于第四象限.由于 4 ? 4 ?
? 9? 5? ? ? ?? ? ? . ? ? ? ? ,所以, arg z =α ? ? ? ? ? ? ? ? 2 8 8 2 8 ?2 8?

? ? 7? ? 当 ? ? ? ,2? ? 时, 2 sin(? ? ) ≥0,Z 所对应的点位于第一象限(或 x 轴 4 ? 4 ?
正半轴).由于 ? ?

?
2

?

?
8

?

? 7? 9? ?? ? ? ,所以, arg z =α ? ? ? ? ? ? ? ? . 2 8 8 ?2 8?

点评:正确解答本题,一要注意到辐角主值的范围,二要注意到正切函数在

?0,2? ? 上并非单值函数,三要正确运用诱导公式 tan?x ? k? ? ? tan x?其中k ? Z ? .


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