等差数列前N项和的公式.ppt_图文

等差数列的前n项和 复习回顾 (1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d= ( an-am ) / (n-m) (2) 等差数列的性质: 在 等 差 数 列 ﹛an﹜ 中 , 如 果 m+n=p+q 返回 问题呈现 问题1 泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃 所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而 成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界 七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案 之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同 大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(见 左图),奢靡之程度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗? 下一页 问题2:对于这个问题,德国著名数学家高斯10 岁时曾很快求出它的结果。(你知道应如何算吗?) 假设1+2+3+ 那么100+99+98+ +100=x, +1=x. (1) (2) +101=2x, 由(1)+(2)得101+101+101+ 所以 100个101 2 x? 101 ? 100 , x=5050. 高斯 这个问题,可看成是求等差数列 1,2, 3,…,n,…的前100项的和。 下一页 探究发现 问题1:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石? 这是求奇数个项和的问题,不 能简单模仿偶数个项求和的办法, 需要把中间项 11 看成首、尾两 项1和21的等差中项。 通过前后比较得出认识:高斯 “首尾配对” 的算法还得分奇、 偶个项的情况求和。 有无简单的方法? 下一页 探究发现 问题1:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石? 借助几何图形之 直观性,使用熟悉的 几何方法:把“全等 三角形”倒置,与原 图补成平行四边形。 下一页 探究发现 问题1:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石? 2 1 21 20 19 3 获得算法: ( 1?2 1 )?2 1 s 2 1? 2 21 1 下一页 问题3: 求:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n 2 +1 S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + ? 2S ? n(n ? 1), n(n ? 1) ?S ? 2 下一页 下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 即 Sn=n(a1+an)/2 2sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+.. 下一页 由此得到等差数列的{an}前n项和的公式 n ( a a 1? n) S n ? 2 即:等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。 由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 上面的公式又可以写成 n ( n ? 1 ) S na d n? 1? 2 解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。 公式共涉及到 5 个量: a , d , n , a , S . 已知其 3 个可 2 个 1 n n 正所谓:知三求二 下一页 (1) 迅速作 答 1+2+3+…+n= Sn = n(n+1)/2 Sn = n2 (2) 1+3+5+…+(2n-1)= (3)2+4+6…+2n= Sn= n(n+1) 上面习题的答案在以后会经常用到。 1.将等差数列前n项和公式 n ( n ? 1 ) d S na n? 1? 2 看作是一个关于n的函数,这个函数 有什么特点? d d 2 d d 则 S =An2+Bn n 令 A? , B?a ? 1 2 2 S ( a n n? n ? 1? ) 2 2 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 ㈡【说明】 ①推导等差数列的前n项和公式的 方法叫 倒序相加法 ; ②等差数列的前n项和公式类同 于 梯形的面积公式 ; 2+bn S = an ③{an}为等差数列? n ,这 是一个关于 n 的没有 常数项 的 “ 二次函数 ” ( 注意 a 还可以是 0) 例1 如图,一个堆放铅笔的 V形 架的最下面一层放一支铅笔,往 上每一层都比它下面一层多一支, 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔? 解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅 笔,且自下而上各层的铅笔数成等差数列,记 为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项 和的公式,得 120 ? ( 1 ? 120 ) S ? ? 7 260 120 2 答:V形架上共放着 7 260支铅笔。 例2:在等差数列{an}中, (1)a3= -2,a8=12,求S10 (2)a1=14.5,d=0.7,an=32,求Sn 解:(1)?a1+a10 = a3+a8 = 10 ( a ? a ) ? 10 10 ? 10 1 10 S ? ? ? 50 10 2 2 (2)由等差数列的通项公式,得 14.5+(n ? 1) ? 0.7=32 ? n=26 ( 14 . 5 ? 32 ) ? 26 ? S ? ? 604 . 5 26 2 例3: 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和? 分析:可以由等差数列性质,直接代入前n 项和公式 解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=16/2 × 18=144 答:前16项的和为144。 由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当 知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出. 练一练 已知等差数

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