反三角函数阅读材料

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一、反三角函数 1.反正弦的概念: 在区间 ??
?
2

, ? ? 上, 符合条件 sin x ? a ? ? 1 ? a ? 1 ? 的角 x , 叫做实数 a 的反正弦, 记作 arcsin a ; 2

2.反余弦的概念: 在区间 ?0 , ? ? 上, 符合条件 cos x ? a ? ? 1 ? a ? 1 ? 的角 x , 叫做实数 a 的反余弦, 记作 arccos a ; 3.反正切的概念: 在区间 ? ?
?
2

, ? ? 上,符合条件 tan x ? a ? a ? R ? 的角 x ,叫做实数 a 的反正切,记作 arctan a 。 2

二、例题评析 1.三数 a ? arcsin 1 , b ? arccos ? ? 1 ? , c ? arctan 1 的大小顺序是( A. a ? b ? c ① a ? arcsin 1 ? ②∴ b ? a ? c 2.下列各式中,正确的一个是( A. arcsin ? ?
?
3



B. b ? a ? C
?
2

C. c ? a ? b
c ? arcta1 ? n
?
4

D. b ? c ? a

b ? a r c c o ?s 1 ? ? ? ?

) B. arc ? arcsin
?
3

??
5? 4

?

3 2

??

?
3

C. arcsin ? sin

??

?

?
4

D. sin ?arccos
?
3

1 ? ? 2 ?? ?

?

2 2

①对于 arcsin x 中 x 必须在 ?? 1 ,1 ? 之间,∴ ? 即 A、B 均无意义。 ② arcsin ? sin
sin ?arccos
5? 4

和 ?3 均不在 ?? 1 ,1 ? 之内。

??

arcsin
sin

?? ? ? ?
2 2
2? 3

?
4

∴C√

1 ? ? 2 ?? ?

?

3 2

相关键接: ① sin ? arcsin x ? ? x ? ?? 1 ,1 ?
arcsin

? sin x ? ? ? x ?? ?

x ? ??

?
2

,? ? 2
?1

记 sin ? f ,则 arcsin ? f ∴ f ?f
?1

x ? 反函数定义域 ? ?? 1 ,1 ?

f

?1

? f ? x ?? ?

x ? 原函数定义域 ? ??
?
2

?
2

,? ? 2

② arcsin x ? arccos x ? 证明: arcsin x ?
?
2

x ? ?? 1 ,1 ?

? arccos x

(Ⅰ)∵ sin ?arcsin x ? ? x , 求值 sin ? ? ? arccos x ? ? cos ? arccos x ? ? x 2 ∴ sin ? arcsin x ? ? sin ? ? ? arccos x ? 2 (Ⅱ)计算范围:
?
?
2

? arcsin x ?
?
2

?
2

又 0 ? arccos x ? ?
?
2

?? ? ?arccox ? 0 s

∴?

?

?
2

? arccos x ?

即 arcsin x 与 ? ? arccos x 范围相同 2 (Ⅲ)∵ y ? sin ? 当 ? ? ??
?
2

, ? ? 时, y ? sin ? 是单调递增函数。 2
?
2

∴综合(Ⅰ)(Ⅱ)可知 arcsin x ? 、 3.在区间 ?0 ,2 ? ? 上,满足条件 3 cos ①∵ cos
2
2

? arccos x 即 arcsin x ? arccos x ?

?
2

成立。

x ? 1 的角 x 的集合。

x ?

1 3

∴ c o sx ? ?

3 3

可知 x 可为一、二、三、四象限的角 ② x 为一象限时, x ? arccos
3 3 3 3 3 3
3 3

x 为二象限时, x ? ? ? arccos x 为三象限时, x ? ? ? arccos
x 为四象限时, x ? 2 ? ? arccos

4.在区间 ? ? ① tan
2

?
2

, 32? ? 上,已知 4 tan
1 4

2

x ? 1 ? 0 的角 x 的集合。

x ?

, tan x ? ?

1 2

②∴ x 可为一、二、三、四象限的角
x 为一象限时, x ? arctan
1 2 1 2 1 2

x 为二象限时, x ? ? ? arctan
x 为三象限时, x ? ? ? arctan x 为四象限时, x ? ? arctan
1 2


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