广西省桂林中学2015届高三11月月考数学(理)试题

广西省桂林中学 2015 届高三 11 月月考 数学(理)试题
说明: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.请在答题卷上答题(在本试卷上答题无效)

第Ⅰ卷

选择题

选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求 的. 1.设集合 A ? ?x
? x ? ? 0?, x ? 1 ? ? B ? x 0 ? x ? 3 ,那么“ m ? A ”是“ m ? B ”的(

?

?



A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D. 3 ) D. (4 , ? 8) ) D.第四象限 )

2.已知复数 z ? 2 ? i ,则 z ? z 的值为( A. 5 B. 5 C. 3

3.已知 a ? (1 , ? 2) , | b |? 2 5 ,且 a // b ,则 b ? ( A. (2 , ? 4) 4.若 B. (?2 , 4)

C. (2 , ? 4) 或 (?2 , 4)

3? x y ? ? ? 2? ,则直线 ? =1 必不经过 ( 2 cos ? sin ?
B.第二象限
x

A.第一象限

C.第三象限

5.已知实数 x, y 满足 a A. x
3

? a y (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是(
B. sin x ? sin D.

? y3
2

y

C. ln( x

? 1) ? ln( y 2 ? 1)

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

6.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(



m f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0

①正方体 A.①② B.①③

②圆锥 C.①④

③三棱台 D.②④

④正四棱锥

7.将红、黑、蓝、黄 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子,每个盒子至少放一个球,且红球和蓝球不能放在同 一个盒子,则不同的放法的种数为( ) A. 18 B. 24 C. 30 D. 36

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 8.已知 x , y 满足不等式组 ? x ? 6 y ? 27 ? 0 ,使目标函数 z ? mx ? y(m ? 0) 取得最小值的解(x,y)有无穷多 ?3 x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
个,则 m 的值是( A.2 B.-2 ) C.

3 2

D. ?

3 2

9.若点 O 和点 F 分别为椭圆 ( ) B.
?

x2 ? y 2 ? 1 的中心和右焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 OP ? FP 的最小值为 2
C. 2 ? 2

A. 2 ? 2 10.设 k=

1 2

D.1 )

?

0

(sin x ? cos x)dx ,若 (1 ? kx)8 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? L ? a8 x8 ,则 a1 ? a2 ? L ? a8 ? (

A.-1 B.0 C.1 D.256 11.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦值等于( A.

)

6 4

B.

10 4

C.

2 2

D.

3 2
恒成立,则实数 的

12.设函数 f ( x) ? x3 ? x , x ? R .若当 0 ? ? ? 取值范围是( A. ( ,1)
开始 输入 a,b,c

?
2

时,不等式

) B. ( ,1]

1 2

1 2

C. (??,1]

D. [1, ??)

第 II 卷

非选择题

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
是 i

a>b 且 a>c?
否 ib>c? 否 i 输出 c 结束 是 i

输出 a

13 . 阅 读 程 序 框 图 ( 如 图 所 示 ) , 若 输 入 a ? 60.7 , b ? 0.76 , c ? l o g 0.7 6, 则 输 出 的 数 是 .

输出 b

? 3

? ? 14.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15, 则数列 ? 1 ? 的前 100 项和为________. ? an an ?1 ?
15.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c. 若 b +c=2a,3sinA=5sinB,则角 C=________.

x2 y 2 3 16.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,A,B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不同于 A,B 的 a b 2
一点, 直线 PA,PB 倾斜角分别为 ? , ? ,则

cos(? ? ? ) = cos (? +?)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b, c ,已知向量 m ? (cos

A A 3A 3A ,sin ), n ? (cos , sin ), 且满足 2 2 2 2

m?n ? 3 .
(I)求角 A 的大小; (II)若 b ? c ? 3a, 试判断 ?ABC 的形状.

18. (本题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an ? 2an?1 ? n - 2 (n ? 2, 且n ? N? ) (I)求 a2 , a3 的值; (II)证明:数列 ?an ? n? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; (III)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

19. (本题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BC⊥侧面 AA1C1C,AC=BC=1,CC1=2, ∠CAA1= (I)求证:A1C⊥平面 ABC; (II)求平面 BDE 与平面 ABC 所成角的余弦值. ,D、E 分别为 AA1、A1C 的中点.

?

20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知圆 G:x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 经过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 及上顶点 B, 过椭圆外一点 (m,0) a b
2 2

( m ? a )倾斜角为

5? 的直线 L 交椭圆与 C、D 两点. 6

(I)求椭圆的方程; (II)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部,求 m 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 某高校在 2014 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组:第 1 组[75,80),第 2 组 [80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (I) 分别求第 3,4,5 组的频率; (II)若该校决定在笔试成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试, (ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率; (ⅱ)学校决定在这已抽取到的 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 L 的面试,设第 4 组中有 名学生被考官

L 面试,求 的分布列和数学期望.
频率 组距

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

75

80

85

90

95

100



22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e ( x ? mx ? 1 ? 2m) ,其中 m ? R .
x 2

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:对任意 m ? R ,函数 f ( x) 的图象在点 (0, f (0)) 处的切线恒过定点;

(Ⅲ)是否存在实数 m 的值,使得函数 f ( x) 在 R 上存在最大值或最小值?若存在,求出实数 m 的取值范围; 若不存在,请说明理由.

桂林中学 2015 届高三年级数学 11 月月考试题答案(理科)
一.选择题:AAC 1.解:由 BAD CDB BAC

x ? 0 得 0<x<1,即 A={x|0<x<1},分析可得 A ? B ,即可知“m∈A” 是“m∈B”的充分而 x ?1

不必要条件,故选 A. 2. 解:由 z ? 2 ? i 得 z ? 2 ? i ,所以 z ? z ? (2 ? i) ? (2 ? i) ? 5 ,故选 A. 3.解:设 b ? ( x, y) ,∴ ?

? ?

y ? 2x ? 0
2 2

? ? x ?y ?2 5 3? sin ? x y sin ? ? ? ? 2? 所以 ? ? 0, sin ? ? 0 ;所以选 B. ? ?1? y ? ? x ? sin ? ;因为 4.解: 2 cos ? cos ? sin ? cos ?
x y 3 3 5.解:由 a ? a (0 ? a ? 1) 知, x ? y , 所以, x ? y ,选 A.

,∴ ?

? x ? 2 ? x ? ?2 或? ,所以选 C. ? y ? ?4 ? y ? 4

6.解:②圆锥的正视图、侧视图、俯视图分别为三角形、三角形、圆;④正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图分 别为三角形、三角形、正方形;所以选 D. 7.解:将 4 个小球放入 3 个不同的盒子, 先在 4 个小球中任取 2 个作为 1 组,再将其与其他 2 个小球对应 3 个盒子, 2 3 共有 C4 A3 =36 种情况, 3 若红球和蓝球放到同一个盒子,则黑、黄球放进其余的盒子里,有 A3 =6 种情况, 则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为 36-6=30 种;故选 C. 8.解:画出可行域,目 标 函 数 z=mx+y ,取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 知 取 得 最 优 解 必 在 边 界 上 而 不 是 在 顶 点 上 , 目 标 函 数 中 系 数 必 为 负 , 最 小 值 应 在 边 界 3x-2y+1=0 上 取 到 , 即 mx+y=0 应 与 直 线 3x-2y+1=0 平 行 , 计 算 可 得 m ? ? . 选 D 9 . 解 : 设 点
3 2

P?x, y ?







OP ? ?x, y?, PF ? ?x ?1, y?












O ?P

F ?, P ? ? ?

? ? x2 ? x ? y 2 y ?x 1 ? y,?

1 2 1 1 2 x ? x ? 1 ? ? x ? 1? ? 2 2 2

x ? ? 2, 2

?

?

, 所 以

?O

? P

?F
m

1 ? P . 选 B. i 2 n
, 令 x ? 0, 得 a0 ? 1 , 在 ?1 ? 2 x ? 的 展 开 式 中 , 令 x ? 1 , 得 到
8

x?s i n x? ? 10 . 解 : k ? ?? c o s 0 ? 2
8

a0 ? a1 ? a2 ? ?? a8 ? ?1 ? 2? ? 1 ,? a1 ? a2 ? ? ? a8 ? 0 ,故选 B.

11.解:如图,以 A1C1 中点 E 为原点建立空间直角坐 则 A?

标系 E-xyz,设棱长为 1, 成 的 角 为 θ , EB1 为 平 面

? 3 ? ?1 ? 0, , 0,1? ,B1 ? ? 2 ,0? ? ,设 AB1 与平面 ACC1A1 所 ?2 ? ? ?

ACC1A1 的法向量. 则 sinθ =|cos〈 AB1 , EB1 〉|

? 1 3 ? ? 3 ? , ?1? ? ? 0, ,0? ?? , 2 2 2 ? ? ? ? = 6. = 4 3 2? 2
12.解: f ' ? x ? ? 3x ? 1 ? 0 , f ? x ? 单调递增,又 f ( x) ? x3 ? x 为奇函数,原不等式可化为 f ?m sin ? ? ? f ?m ? 1? ,
2

即 msin ? ? m ? 1 ,可变为 m ? 二.填空题: 13. 60.7 14.

? 1 1 ? 1 ,所以 m ? 1 时恒成立. ,又 0 ? ? ? ,得 0 ? sin ? ? 1 , 2 1 ? sin ? 1 ? sin ?

100 101

15.

2? 3

16.

3 5

13.解:程序框图的功能是:输出 a,b,c 中最大的数,
开始 输入 a,b,c

∵ a> 1 , 0< b< 1 , c< 0 ,所以输出的数为 6 14.解:∵等差数列 {an } , a5 ? 5 , S5 ? 15 ,
是 i 输出 a

0.7

.

a>b 且 a>c?
否 ib>c? 否 i 输出 c 结束 是 i

∴?

?a1 ? 4d ? 5 ? 5 ? 4 d ? 15 ? a1 ? d ? 1 ? an ? n , 5 a ? 1 ? 2 ?

输出 b



1 1 1 1 , ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1

1 100 1 1 1 1 1 ? ? ? 1? ? ? ∴数列 ? 1 ? 的前 100 和为 1 ? ? ? ? ??? ? . 101 101 2 2 3 100 101 ? an an ?1 ?

15.解:∵3sinA=5sinB,∴3a=5b.① 又∵b+c=2a,②∴由①②可得,a=
2

5 7 b,c= b. 3 3
2

?5 ? ?7 ? b ? ? b? ?? b? 2 2 2 b ?a ?c ? 3 ? ? 3 ? =- 1 .∴C= 2 π . ∴cosC= = 5 2 3 2ab 2? b?b 3
2

16 . 解 : 由 e ?

1 1 3 可 得 a ? 2b . 让 P 取 在 短 轴 的 顶 点 上 则 tan ? ? , tan ? ? ? .又因为 2 2 2

cos(? ? ? ) cos ? cos ? ? sin ? sin ? 1 ? tan ? tan ? 3 = . = ? cos (? +?) cos ? cos ? ? sin ? sin ? 1 ? tan ? tan ? 5
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 解: ? I ? m ? n ? 3, ? m ? n ? 2m ? n ? 3,
2 2

m ? 1, n ? 1

2

2

1 3A A 3A A 1 ? m ? n ? , ? cos cos ? sin sin ? 2 2 2 2 2 2 1 π ∴cosA = ,又0 < A <π,所以A = --------2 3

5分

? II ?

3 2? b ? c ? 3a ? sin B ? sin C ? 3 sin A ? , 又B+C= 2 3

?sin B ? sin (
0? B?
?B ?

2? 3 ? 3 -B) ? ,化简得 sin( B ? ) ? 3 2 6 2

?

2? ? 5? ? ? 2? ,0 ? B ? ? ,? B ? ? 或 3 6 6 6 3 3

6 2 2 6 所以: ?ABC 为直角三角形. ------18. (本题满分 12 分)

,C=

?

或B ?

?

,C=

?

10 分

解: (I)令 n ? 2 , a2 ? 2a1 ? 6, 令 n ? 3 , a3 ? 2a2 ? 1 ? 13 .------------2 分 (II)

an ? n 2a ? n - 2 ? n ? n?1 ? 2, an?1 ? (n ? 1 ) an?1 ? n ? 1

------------5 分

∴数列 ?an ? n? 是首项为 4,公比为 2 的等比数列, ∴ an ? n ? 4 ? 2 n?1 ? 2 n?1 ,? an ? 2 n?1 ? n . (III)∵数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 n?1 - n , ------------8 分

S n ? (2 2 ? 2 3 ? ......... 2 n ?1 ) ? (1 ? 2 ? .......... .. ? n) ?

4(1 ? 2 n ) n(n ? 1) n2 ? n ? 8 ? ? 2 n?2 ? .------------1 1? 2 2 2

2分 19. (本题满分 12 分) 证明: (I)∵BC⊥侧面 AA1C1C,A1C 在面 AA1C1C 内,∴BC⊥A1C.------ 2 分 在△AA1C 中,AC=1,AA1=C1C=2,∠CAA1=
2 2

? , 3
2 2

2 由余弦定理得 A1C =AC + AA 1 -2AC?AA1cos∠CAA1=1 +2 -2×1×2×cos

? =3, 3

∴A1C= 3

∴AC +A1C =AA1

2

2

2

∴AC⊥A1C----------------- 5 分 ------------------ 6 分

又AC

BC ? C, ∴A1C⊥平面 ABC.

(II)由(Ⅰ)知,CA,CA1,CB 两两垂直 ∴如图,以 C 为空间坐标系的原点,分别以 CA,CA1,CB 所在直线为 x,y,z 轴 建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0),B(0,0,1),A(1,0,0),A1(0, 3 , 0) 由此可得 D(

1 3 3 , ,0),E(0, ,0), 2 2 2

1 3 3 BD =( , ,-1) , BE =(0, ,-1). 2 2 2

?1 3 y?z ?0 ? x? 2 ?2 2 设平面 BDE 的法向量为 n =(x,y,z),则有 ? 令 z=1,则 x=0,y= 3 3 ? y ? z ? 0 ? ? 2
∴ n =(0,

2 ,1) 3

---------------------------------------------- 9 分

∵A1C⊥平面 ABC ∴ cos ? n, CA1 ??

∴ CA1 =(0, 3 ,0)是平面 ABC 的一个法向量 ------ 10 分

n ? CA1 n CA1

?

2 7 7

∴平面 BDE 与 ABC 所成锐二面角的余弦值为 20. (本题满分 12 分)

2 7 . -------------------- 12 分 7

解: (I) 圆 G : x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 经过点 F、B,? F (2,0), B(0, 2),?c ? 2, b ? 2,?a ? 6
2 2

2

故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ;------------ 4 分 6 2

(II)设直线 L 的方程为 y ? ?

3 ? x ? m ? m ? 6 ------------ 5 分 3

?

?

? x2 y 2 ? ?1 ? ? 6 2 由? 消去 y 得 2 x2 ? 2mx ? (m2 ? 6) ? 0 ----------- 6 分 ?y ? ? 3 x ? m ? ? ? 3 ?
由 ? 4m2 ? 8(m2 ? 6) ? 0, 解得 ?2 3 ? m ? 2 3 。 又 m ? 6,? 6 ? m ? 2 3 ---------- 7 分

设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), 则 x1 ? x2 ? m, x1 x2 ?

m2 ? 6 , 2

? 3 ? ? 3 ? 1 m m2 ? y1 y2 ? ? ? ( x1 ? m) ? ? ? ? ( x2 ? m) ? ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 3 ? 3 ? ? 3 ? 3 FC ? ( x1 ? 2, y1 ), FD ? ( x2 ? 2, y2 ), ? FC ? FD ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2
? 4 (m ? 6) m2 2m(m ? 3) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ?4? 3 3 3 3
点 F 在圆 E 内部, ---------- 9 分

? FC ? FD ? 0, 即

2m(m ? 3) ? 0, 解得 0<m<3---------- 11 分 3
---------- 12 分

∴m 的取值范围是 ( 6,3) . 21.(本小题满分 12 分) 频率 组距

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

75

80

85

90

95

100



解: ( I )第三组的频率为 0.06? 5? 0.3 ;第四组的频率为 0.04? 5? 0.2 ;第五组的频率为 0.02? 5? 0.1 . ------------ 3 分 ( II ) (ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件 A ,第三组应有 3 人进入面试,则:

P( A) ?

1 2 C2 ? C28 27 ; ? 3 C30 145

------------ 6 分

(ⅱ)第四组应有 2 人进入面试,则随机变量 ? 可能的取值为 0,1, 2 ------------7 分 且 P(? ? i) ?
i 2 ?i C2 ? C4 (i ? 0,1, 2) ,则随机变量 ? 的分布列为: 2 C6

?
P

0
2 5

1

2

8 1 15 15 2 8 1 2 E (? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? .------------12 分 5 15 15 3
22.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 m ? 1 时, f ( x) ? e x ( x2 ? x ?1), f ?( x) ? e x ( x 2 ? 3x) -------- 1 分 令 f ?( x) ? 0 得: x ? ?3 或 x ? 0 所以 f ( x) 的单调递增区间为 ? ??, ?3? , ? 0, ??? (Ⅱ) f ?( x) ? e [ x ? (m ? 2) x ? 1 ? m]
x 2

------------------------3 分 ---------------------- 4 分

f (0) ? 1 ? 2m, f ?(0) ? 1 ? m
所以函数 f ( x) 的图象在点 (0, f (0)) 处的切线方程为: y ? (1 ? 2m) ? (1 ? m)( x ? 0) 即: (m ? 1) x ? y ? 2m ? 1 ? 0 即: m( x ? 2) ? ( x ? y ? 1) ? 0 ,由 ? -----------------------5 分

?x ? 2 ? 0 ? x ? ?2 得: ? ?x ? y ?1 ? 0 ? y ? ?1
-------------6 分

所以函数 f ( x) 的图象在点 (0, f (0)) 处的切线恒过定点 ? ?2, ?1?
x 2 2

(Ⅲ) f ?( x) ? e [ x ? (m ? 2) x ? 1 ? m] ,令 t ? x ? (m ? 2) x ? 1 ? m ,

? ? (m ? 2)2 ? 4(1 ? m) ? m2 ? 8m
①当 ? ? 0 ,即 ?8 ? m ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立, 所以 f ( x) 在 R 上单调递增,此时 f ( x) 在 R 上既无最大值也无最小值. ----------7 分

②当 ? ? 0 ,即 m ? ?8 或 m ? 0 时, 方程 x2 ? (m ? 2) x ? 1 ? m ? 0 有两个相异实根记为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 由 f ?( x) ? 0 得 f ( x) 的单调递增区间为 (??, x1 ),( x2 , ??) , 由 f ?( x) ? 0 得 f ( x) 的单调递减区间为 ( x1 , x2 ) ----------------------8 分

f ( x) ? ex ( x2 ? mx ? 1 ? 2m) ,
当 x ??? 时,由指数函数和二次函数性质知 f ( x) ? ?? 所以函数 f ( x) 不存在最大值. 当 x ??? 时, f ( x) ? --------------------------9 分

x 2 ? mx ? 1 ? 2m , e? x

由指数函数和二次函数性质知 f ( x) ? 0 , f ( x) ? 0 方法一、所以当且仅当 f ( x2 ) ? 0 ,即 x22 ? mx2 ? 1 ? 2m ? 0 时, 函数 f ( x) 在 R 上才有最小值. ------------------------------------10 分
2 ? ? x2 ? (m ? 2) x2 ? 1 ? m ? 0 由? 2 得: 2 x2 ? m ? 0 , ? ? x2 ? mx2 ? 1 ? 2m ? 0

由韦达定理得: x2 ?

?(m ? 2) ? m2 ? 8m m ? ? ,化简得: m2 ? 8m ? 4 ? 0 , 2 2

解得: m ? ?4 ? 2 5 或 m ? ?4 ? 2 5 . 综上得:当 m ? ?4 ? 2 5 或 m ? ?4 ? 2 5 时, 函数 f ( x) 在 R 上存在最大值或最小值. -------------------------12 分

方法二、由指数函数和二次函数性质知 f ( x) ? 0 , f ( x) ? 0 (接上) 所以当且仅当 f ( x) ? 0 有解时, f ( x) 在 R 上存在最小值.
2 即: x ? mx ? 1 ? 2m ? 0 在 R 上有解,

由 ? ? m ? 4(1 ? 2m) ? 0 解得: m ? ?4 ? 2 5 或 m ? ?4 ? 2 5
2

综上得:当 m ? ?4 ? 2 5 或 m ? ?4 ? 2 5 时,函数 f ( x) 在 R 上存在最大值或最小值.


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