高中数学选修2-3 二项式

1、二项式定理: 2、通项公式:

0 1 r n (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? ? ? Cn a n ?r b r ? ? ? Cn b n
r Tr ?1 ? C n a n? r b r ( r ? 0,1, 2,? n)

n 1 2 r n 3、特例: (1 ? x) ? 1 ? C n x ? C n x 2 ? ? ? C n x r ? ? ? C n x n

(1)对称性: 二项式系数的性质 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)增减性与最大值:
m n Cn ? Cn ? m

从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减小.

因此,当 n 为偶数时,中间一项的二项式系数

取得最大值;当 n 为奇数时,中间两项

的二项式系数 (3)各二项式系数的和



相等且同时取得最大值

0 1 2 r n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n

0 2 1 3 C n ? C n ? ? ? ? ? C n ? C n ? ? ? ? ? 2 n ?1

例 1:在二项式(2x-3y)9 的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (4)系数绝对值的和。

(3)所有奇数项系数之和;

解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9, (1)二项式系数之和为 (2)各项系数之和为 a0+a1+a2+…+a9, 令 x=1,y=1,∴a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1; (3)由(2)知 a0+a1+a2+…+a9=-1,令 x=1,y=-1,可得:a0-a1+a2-…-a9=59, ;

将两式相加除以 2 可得:a0+a2+a4+a6+a8= (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…-a9,
1

,即为所有奇数项系数之和;

令 x=1,y=-1,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…-a9=59。 1、已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求 a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10 的值

310
1 10 ( 3 ? 1) 2

(2)求 a0+ a2+ a4+…… + a10 的值

2、若(2 x ? 3)4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 , 则 ( a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 ? ______ .
答案 :1 结论: 设f ( x ) ? (a ? bx)n

3.( 1﹣x ) 13 的展开式中系数最小的项是 (A)第六项 (B)第七项 (C)第八项

f (1) ? f ( ?1) 其奇次项系数的和是 2

f (1) ? f ( ?1) 其偶次项系数的和是 2
( (D)第九项 ) C

求n 的值。

2 n 2、如果:  2C n ? 22 C n ? ? 2n C n ? 2187 1+ 1 1 r n 求:C n ? ? ? C n ? ? ? C n  的值

高考题: 1. (安徽 7) ( x ? 2)(
2

1 ? 1)5 的展开式的常数项是( 2 x
( B) ?2 (C ) ?



( A) ?3
【解析】选 D

( D) ?

第一个因式取 x ,第二个因式取

2

1 1 4 得: 1? C5 (?1) ? 5 2 x
5 5

第一个因式取 2 ,第二个因式取 ( ?1) 得: 2 ? (?1) ? ?2
2

展开式的常数项是 5 ? (?2) ? 3

2.福建 11. ( a ? x ) 的展开式中 x 的系数等于 8,则实数 a ? _________。 【2】
4

3

分析:本题考查的知识点为二项式定理的展开式,直接应用即可。 解答: ( a ? x ) 中含 x 的一项为 Tr ?1 ? C4 a
4

3

r

4? r

3 x r ,令 r ? 3 ,则 C4 a 4?3 ? 8 ,即 a ? 2 。

3.广东 10. ( x 2 ? )6 的展开式中 x 的系数为______。 (用数字作答)
3

1 x

【解析】系数为______ 20

1 k k ( x 2 ? )6 的展开式中第 k ? 1 项为 Tk ?1 ? C6 x ? k x 2(6?k ) ? C6 x12?3k (k ? 0,1, 2,?, 6) x 3 3 令 12 ? 3k ? 3 ? k ? 3 得: x 的系数为 C6 ? 20

7.(2011 年高考福建卷理科 6)(1+2x) 的展开式中,x 的系数等于 A.80 C.20 【答案】B 二、填空题: 1. (2011 年高考山东卷理科 14)若 ( x ? 为 【答案】4 【解析】因为 Tr ?1 ? C6 ? x
r 6? r

3

2

B.40 D.10

a x
2

)6 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值

.

? (?

a x2

) r ,所以 r=2, 常数项为 a ? C62 ? 60,解得 a ? 4 .

2. (2011 年高考浙江卷理科 13)(13)设二项式 ( x ?

a 6 ) (a ? 0) 的展开式中 x 3 的系数为 x

3

A,常数项为 B,若 B=4A,则 a 的值是 【答案】2
k



【解析】由题意得 Tk ?1 ? C x
k 6

6?k

6? k ? a ? k ?? ? ? ?? a ? C 6k x 2 , ? ? x? ? 3

∴ A ? ?? a ? C 6 , B ? ?? a ? C 6 ,又∵ B ? 4 A ,
2 2 4 4

2 ∴ ?? a ? C 6 ? 4?? a ? C 6 ,解之得 a ? 4 ,又∵ a ? 0 ,∴ a ? 2 .
4 4 2 2

3. (2011 年 高 考 安 徽 卷 理 科 12) ( 12 ) 设 ( x ??)

??

? a? ? a? x ? a? x ? ?L a?? x ?? , 则

a?? ? a?? ?

.
r 21? r

【命题意图】本题考查二项展开式的通项、组合数公式及运算能力,是容易题目. 【解析】由二项展开式的通项知 Tr ?1 = C21 x
11 11 10 10

(?1)r ,

11 10 10 10 ∴ a10 ? a11 = C21 (?1) ? C21 (?1) = ?C21 ? C21 = ?C21 ? C21 =0.

4. (2011 年高考广东卷理科 10) x( x ? )7 的展开式中, 4 的系数是______ (用数字作答). x 【答案】84 5. (2011 年高考湖北卷理科 11) ( x ? 果用数值表示) 答案:17
r 解析:由 Tr ?1 ? C18 ? x18? r ? (? 3 18 ? r 1 r )r ? (? )r ? C18 ? x 2 3 3 x

2 x

1 18 ) 的展开式中含 x15 的项的系数为 3 x

(结

1

3 令 18 ? r ? 15 ,解得 r=2,故其系 2

1 2 数为 (? )2 ? C18 ? 17. 3

4


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