高二第二学期期末考试数学复习试卷(理科)

高二第二学期期末考试数学复习试卷(理科)
一、选择题: 1.如果复数 m 2 ? i ?1 ? mi ? 是实数,则实数 m ? ( A .1 B.-1 C.

?

?

) 2 ) D.-32 ) D.6 ( ) D.- 2

2. 若 ( x ? 1)5 ? a0 ? a1( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ? ... ? a5 ( x ? 1)5 ,则 a 0 =( A.32 B.1 C.-1

3.由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( A. 10 3 B.4 C. 16 3

4.函数 y=2x3 -3x2 -12x+5 在[0,3]上的最大值、最小值分别是 A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15

D.5,-16 )

5.从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 3 个球, 则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是( A. 1 10 B. 3 10 C. 3 5 D. 9 10 )

6.已知随机变量 ξ +η =8,若 ξ ~B(10,0.6),则 Eη ,Dη 分别是( A.6 和 2.4 7.已知函数 f(x)= A. 0 ? a ? B.2 和 2.4 C.2 和 5.6

D.6 和 5.6 )

ln a ? ln x 在[1,+∞]上为减函数,则 a 的取值范围是( x
B. 0 ? a ? e C. a ? e

1 e

D. a ? e

8.有 8 张卡片分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列,要求 3 行中仅 有中间行的两张卡片上的数字之和为 5,则不同的排法共有( A.1 344 种 二、填空题: 9.从分别写有 0, 1, 2, 3, 4 的五张卡片中第一次取出一张卡片,记下数字后放回,再从中取出一张卡 片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于 4 的概率是 10.某射手射击所得环数 ? 的分布列如下: . B.1 248 种 C.1 056 种 ) D. 960 种

?
P

7 x

8 0.1 .

9 0.3

10 y

已知 ? 的期望 E ? =8.9,则 y 的值为

11. 如图 2,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC=4, AD⊥BC,垂足为 D,BE 与 AD 相交与点 F,则 AF 的长为______ 12. (1 ? x ? x 2 )( x ? ) 6 的展开式中的常数项为_________ 13.若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是
2

1 x

.

14.某班要从 A,B,C,D ,E 五人中选出三人担任班委中三种不同的职务,则上届任职的 A,B,C 三人都不连任原职务的方法有________种. 15.在边长分别为 a、b、c 的三角形 ABC 中,其内切圆的半径为 r,则该三角形的面积 S =

1 r(a+b+c) 。将这一结论类比到四面体 ABCD 中,有________________________ 2
。 。

16.如果今天是星期一,从明天开始, 250 天后的第一天是星期 17.如果复数 z 满足 z ? 1 ? i ? 2 ,那么 z ? 2 ? i 的最大值是 三、解答题:

18.旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一条.(1)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率(2)求恰有 2 条线路没有被选择的概率.(3)求选择甲线路旅游团数的期 望.

19.在一个选拔项目中,每个选手都需要进行 4 轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下 一轮考核,否则被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为

5 4 、 、 6 5

3 1 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.⑴求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;⑵求该选 4 3
手至多进入第三轮考核的概率;⑶该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 X ,求随机变量

X 的分布列和期望.

20.甲、乙两人进行某项对抗性游戏,采用“七局四胜”制,即先赢四局者为胜,若甲、乙两人水 平相当,且已知甲先赢了前两局,求: (1)乙取胜的概率; (2)比赛进行完七局的概率。 (3)记 比赛局数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? .

21.已知函数 f ( x) ? ln( 1 ? x 2 ) ? ax.(a ? 0) (1)若 f ( x) 在 x ? 0 处取得极值,求a的值;(2)讨论

1 1 1 f ( x) 的单调性;(3)证明: (1 ? )(1 ? )...(1 ? 2 n ) ? e (n ? N * , e 为自然对数的底数) 9 81 3

m 0 22.规定 Ax =1,这是排列数 A m (n,m 是 ? x( x ? 1)?( x ? m ? 1), 其中 x∈R,m 为正整数,且 Ax n

正整数,且 m≤n)的一种推广. (1)求 A 3 的值; ?15
?1 ?1 (2)排列数的两个性质:①A m =nA m ,②A m +mA m =A m (其中 m,n 是正整数).是否都能推广 n n ?1 n n n ?1

到 Am x (x∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能, 则说明理由; (3)确定函数 A 3 的单调区间. x

参考答案 一.选择题: 1.B 2. A 3.C 4. A 5. D 6. B 7. D 8.B

二.填空题: 1 9. 5

10. 0.4

11.

2 3 3

12. -5

13.

(??, 0) 14. 32 种

15、四面体 ABCD 的体积 V= 为四个面的面积 . 16、六 三.解答题: 17、 2 ? 13

1 R (S1 +S2 +S3 +S4 ) ,其中 R 为其内切球的半径, S1、 S2 、 S3、 S4 分别 3

18. 解: (1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为:P1 =

3 A4 3 ? 3 8 4

2 2 C4 ? C32 ? A2 9 ? (2)恰有两条线路没有被选择的概率为:P2 = 3 16 4

(3)设选择甲线路旅游团数为ξ ,则ξ =0,1,2,3 P(ξ =0)=
33 27 ? 4 3 64

P(ξ =1)=

1 C3 ? 32 27 ? 64 43

P(ξ =2)=
∴ξ 的分布列

1 C3 ?3 9 ? 3 64 4

P(ξ =3)=

3 C3 1 ? 3 64 4

ξ P

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

为:

∴期望 Eξ =0×

27 27 9 1 3 +1× +2× +3× = ? 64 64 64 64 4

19. 设事件 Ai (i ? 1, 2, 3, 4) 表示“该选手能正确回答第 i 轮问题”,

5 4 3 1 由已知 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? , P( A4 ) ? , 6 5 4 3
⑴设事件 B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”,
5 4 ? 3? 1 则 P(B) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? ? ? ?1 ? ? ? . 6 5 ? 4? 6

⑵设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核”,

则 P(C) ? P( A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 )

? P( A1 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 A3 ) ?

1 5 1 5 4 3 1 ? ? ? ? ? (1 ? ) ? ; 6 6 5 6 5 4 2

⑶ X 的可能取值为 1,2,3,4,

P( X ? 1) ? P( A1 ) ?

1 , 6

5 4 1 P( X ? 2) ? P( A1 A2 ) ? ? (1 ? ) ? , 6 5 6 5 4 3 1 P( X ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? (1 ? ) ? , 6 5 4 6 5 4 3 1 P( X ? 4) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? , 6 5 4 2
所以, X 的分布列为

X
P

1

2

3

4

1 6

1 6

1 6

1 2

1 1 1 1 E( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 3 . 6 6 6 2
20.解(1)乙取胜有两种情况 一是乙连胜四局,其概率 P 1 ?? ? ?

?1? ?2?

4

1 16

二是第三局到第六局中乙胜三局,第七局乙胜,

?1? ? 1? 1 1 其概率 P2 ? C ? ? ?1 ? ? ? ? , ? 2? ? 2? 2 8
3 4

3

所以乙胜概率为 P1 ? P2 ?

3 16

(2)比赛进行完 7 局有两种情况。 一是甲胜,第 3 局到第 6 局中甲胜一局,第 7 局甲胜

1 ? 1? 1 1 其概率 P3 ? C ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 2? 2 8
1 4

3

二是乙胜,同(1)中第二种情况, P4 ? P2 ? 所以比赛进行完 7 局的概率为 P3 ? P4 ?

1 8

1 4

(3)根据题意, ? 的可能取值为 4,5,6,7

1 1 1 ?1? 1 ?1? P?? ? 4 ? ? ? ? ? , P?? ? 5? ? C 2 ?? ? ? ? , 4 ?2? ?2? 2 4 1 1 1 ?1? 1 ?1? P?? ? 6 ? ? ? ? ? C 3 ? ? ? ? ? , P?? ? 7 ? ? , 4 ?2? ?2? 2 4
所以 ? 的分布列为
4 3

2

2

?
P

4

5

6

7

1 1 4 4 1 1 1 1 ? E? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 5.5 4 4 4 4 2x ? a,? x ? 0使f ? x ?的 一个极值点,则 21.解: (1)? f ?? x ? ? 1? x2

1 4

1 4

f ??0? ? 0,? a ? 0 ,验证知 a=0 符合条件????????
(2)? f ?? x ? ?

2x ax2 ? 2 x ? a ? a ? 1? x2 1? x2

1)若 a=0 时,

? f ( x)在?0,??? 单调递增,在 ?? ?,0? 单调递减;
2)若 ?

?a ? 0 得,当a ? ?1时,f ??x ? ? 0对x ? R恒成立, ?? ? 0

? f ( x)在R 上单调递减?????????????
3)若 ? 1 ? a ? 0时,由f ??x? ? 0得ax2 ? 2x ? a ? 0

?

?1? 1? a2 ?1? 1? a2 ?x? a a ?1? 1? a2 ?1? 1? a2 或x ? a a

再令 f ??x ? ? 0, 可得 x ?

? f ( x)在(

?1? 1? a2 ?1? 1? a2 , )上单调递增, a a ?1? 1? a2 ?1? 1? a2 )和( ,??)上单调递减 a a

在 (??,

综上所述,若 a ? ?1时,f ( x)在(??,??) 上单调递减,

若 ? 1 ? a ? 0时, f ( x)在(

?1 ? 1? a2 ?1? 1 ? a2 , )上单调递增, a a

(??,

?1? 1? a2 ?1? 1? a2 )和( ,??)上单调递减。 a a

若 a ? 0时,f ( x)在?0,???单调递增,在 ?? ?, 0?单调递减 .......... ........ (3)由(2)知,当 a ? ?1时,f ( x)在?? ?, ? ??单调递减 当 x ? ?0,???时,由f ( x) ? f (0) ? 0

? ln(1 ? x 2 ) ? x 1 1 1 1 1 1 ? ln[( 1 ? )(1 ? )...( 1 ? 2 n )] ? (1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ......? ln(1 ? 2 n ) 9 81 9 81 3 3 1? 1 ? ?1 ? n ? 1 1 1 1? 1 3 3 ? 1? ? ? 2 ? ...... n ? ? ? ?1 ? n ? ? 1 3 3 2? 3 ? 2 3 1? 3 1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? )...( 1 ? 2 n ) ? e 2 ? e ,......... .......... .......... ... 9 81 3


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