03导数与导函数的概念_图文

复习回顾:

1.瞬时变化率的意义:

(1) 曲线上某一点处切线的斜率;

(2) 瞬时速度、瞬时加速度.

2.解题步骤:

?y ? f (a ? ?x) ? f (a)

(1)求函数的增量;

?y

(2)求平均变化率; (3)逼近,求瞬时变化率;

?x

?x ? 0

?y ? ?x

A

(4)得到导数值.

f'(a) ? A

平均变化率?瞬时变化率

从函数角度看,瞬时变化率就是当自变量的

增量无限趋近于0时,函数的增量与自变量的增量

比的逼近值,就是函数图象在一点处切线的斜

率.

1.求函数f(x)=x2的图象在点(2,4)处的切 线的斜率.
2.直线运动的汽车速度v(单位:m/s)与时 间t(单位:s)的关系是v(t)=t2-1,求t =t0时汽车的瞬时加速度.

导数的概念

导数的概念 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0?(a,b),

若? x无限趋近于0 时,比值

△ △

xy=f

(x0+△ x)-f △x

(x0)

无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,称该 常数A为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0). 注意:
(1)其中Δx表示一个变化量; (2)f(x)在点x=x0处的导数就可看成是曲线y=f(x)
在x=x0处的切线的斜率.(导数的几何意义)

例1 求f(x)=x2+2分别在x=0,1,-2处的导数. 解题步骤:

(1)求函数值的增量; ?y ? f (a ? ?x) ? f (a)

?y

(2)求平均变化率;

?x

(3)逼近,求瞬时变化率; ?x ? 0 ? ?y ? A

?x

(4)得到导数值.

f'( x0 ) ? A

思考 你能求f(x)=x2+2在x=a处的导数吗?

导函数的概念
若f(x)对于区间(a,b)上任一点处都可导,则f(x)在 各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自 变量x的函数,该函数被称为f(x)的导函数,记作f'(x).
在不致发生混淆时,函数f(x)的导函数f'(x)也简称 为f(x)的导数.
当x0?(a,b)时,f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是导 函数f'(x)在x=x0处的函数值.

例2 已知函数f(x)=x2-x,求f'(x).
一般步骤: (1)求函数的增量; (2)求平均变化率; (3)逼近,得到导函数.

练习1 分别求下列函数在x=2处的导数: (1)f(x)=x2+1; (2)f(x)=2x-1; (3)f(x)=3.
练习2 分别求下列函数的导数: (1)f(x)=x2+1; (2)f(x)=2x-1; (3)f(x)=3.

课堂反馈: 教材《选修2-2》
P14:练习1-1,2,3.

回顾反思: 1.函数y=f(x)在x=x0处可导的含义是什么? 2.如何求函数y=f(x)在x=x0处的导数? 3.如何求函数y=f(x)在区间(a,b)内的导数? 4.函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是什么?

思考1 已知函数y=x2-2x在x=x0处的导数 为2,求x0的值.
思考2 曲线y=2x2-1上哪点处的切线与直线 4x-y=0平行?
思考3 函数y=|x|在x=0处可导吗?

对于函数f(x)=|x|,当x=0时,

y

—ΔΔyx—=—f(0—+—ΔΔx—x)-—f(—0)—

Q

P

?y

?y

?xO ?x

x

=|—Δ—x|— Δx



1, Δx>0, -1,Δx<0.

所以,函数f(x)在点x=0处不可导.

课后作业: 教材《选修2-2》
P16:习题1.1:4,5,6,7,8,9.


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