高中数学第二章函数2.2.1一次函数的性质与图象学案新人教B版必修145

学习资料专题
2.2.1 一次函数的性质与图象
1.理解一次函数的概念,掌握一次函数的性质.(重点) 2.会用一次函数的图象和性质解题.(难点)

[基础·初探]

教材整理 一次函数的图象与性质

阅读教材 P55~P56“练习”以上部分,完成下列问题.

一次函数

定义

函数 y=kx+b(k≠0)叫做一次函数

k>0

k<0

图象

定义域 单调性 奇偶性

R

增函数

减函数

若 b=0,奇函数,若 b≠0,非奇非偶函数

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)函数 y=7x是一次函数.(

)

(2)函数 y=2x+3 是单调递增函数.( )

(3)一次函数 y=x-1 的图象过第一、二、三象限.( )

【答案】 (1)× (2)√ (3)×

2.设函数 f(x)=(2a-1)x+b 在 R 上是增函数,则有( )

A.a≥12

B.a≤12

唐玲

C.a>-12

D.a>12

【解析】 ∵y=f(x)为 R 上的增函数,∴2a-1>0,∴a>12.

【答案】 D

[小组合作型]

一次函数的概念 (1)已知 y=(α +1) xα -1+2 是一次函数,则 α =______. (2)已知函数 y=3mx+2m+1,试求 m 为何值时, ①这个函数为正比例函数; ②这个函数为一次函数; ③函数值 y 随 x 的增大而减小.

【解析】 (1)由题意得???α +1≠0, ??α -1=1,
【答案】 2

解得???α ≠-1, ??α =2,

即 α =2.

(2)①若 y=3mx+2m+1 是正比例函数,则 m 应满足?????m2≠m+0,1=0.

解得 m=-12.

∴当 m=-12时,这个函数是正比例函数.

②当 m≠0 时,这个函数为一次函数. ③根据一次函数性质可知,当 m<0 时,y 随 x 的增大而减小.

对于函数 y=kxa+b,当 a=1,k≠0 时,为一次函数;当 a=1,k≠0,b=0 时,为正 比例函数.
[再练一题] 1.下列函数:①y=-2x,②y=15-6x,③c=7t-35,④y=1x+2,⑤y=13x,⑥y=xx2, 其中正比例函数是________,一次函数是________.(填序号)
唐玲

【答案】 ①⑤ ①②③⑤ 一次函数的图象
画出函数 y=3x+12 的图象,利用图象求: (1)方程 3x+12=0 的解; (2)不等式 3x+12>0 的解集; (3)当 y≤12 时,x 的取值范围. 【精彩点拨】 求出函数图象与 x,y 轴的交点坐标,画出函数图象,然后根据函数图 象,数形结合,就可以解决上述问题. 【解】 由函数 y=3x+12 可知.当 x=0 时,y=12,当 y=0 时,x=-4,所以直线 y=3x+12 与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为(-4,0),(0,12). 函数图象如图所示:
(1)图象与 x 轴交点的横坐标是方程 3x+12=0 的解,即 x=-4. (2)当 x>-4 时,函数图象位于 x 轴的上方,所以不等式 3x+12>0 的解集为{x|x>-4}. (3)由图象可知,直线与 y 轴交点的坐标是(0,12),所以 y≤12 时 x 的取值范围为 {x|x≤0}.
1.一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,因此 k 的取值确定了直线的方向,b 的取值确定了直线在 y 轴上的截距,同时,直线的特征也确定了 k,b 的取值,总之要达到 “数”与“形”的统一,做到“数中含形,形中蕴数”.
2.(1)作一次函数图象时,常取直线与坐标轴的交点连线. (2)若图象在 x 轴的上方,则对应的函数值大于 0;反之,则函数值小于 0.
[再练一题] 2.本题中解析式不变分别求“图象与坐标轴的两交点的距离”及“与坐标轴围成的三 角形的面积”. 【解】 令 x=0,得|OB|=12,令 y=0,得|OA|=4. 由勾股定理得|AB|= 122+42=4 10, 由三角形面积公式得 S=12×|OA|×|OB|=12×4×12=24.
唐玲

[探究共研型] 一次函数的性质
已知函数 y=x+1,y=2x,y=-x+1,
图 2?2?1 探究 1 上述函数的图象有何特点? 【提示】 图象都为直线. 探究 2 观察以上图象,试说明函数的单调性. 【提示】 函数 y=x+1,y=2x 为增函数,函数 y=-x+1 为减函数.
已知函数 y=(2m-1)x+1-3m,当 m 为何值时: (1)这个函数为一次函数; (2)函数值 y 随 x 的增大而减小; (3)此函数为奇函数; (4)此函数图象与直线 y=x+1 的交点在 y 轴上. 【精彩点拨】 本题主要考查一次函数的概念、奇偶性与单调性,第(1)(2)(3)问易求, 对于第(4)问要重视方程组的作用. 【解】 (1)当 2m-1≠0,即 m≠12时,此函数为一次函数. (2)根据一次函数的性质,可知当 2m-1<0,即 m<12时,函数值 y 随 x 的增大而减小. (3)当 2m-1≠0,且 1-3m=0,即 m=13时,此函数为奇函数. (4)在 y=x+1 中,令 x=0,y=1, ∴(0,1)是在 y=(2m-1)x+1-3m 的图象上, ∴m=0,∴当 m=0 时,两直线的交点在 y 轴上.
一次函数的值域或一次函数的最大值、最小值,常利用一次函数的单调性来求解.求一 次函数的解析式时,待定系数法是常用的方法.
[再练一题] 3.已知 f(x)为一次函数且满足 4f(1-x)-2f(x-1)=3x+18,求函数 f(x)在[-1,1] 上的最大值,并比较 f(2 015)和 f(2 016)的大小.
【导学号:60210046】
唐玲

【解】 设 f(x)=kx+b(k≠0). 由已知可得 4[k(1-x)+b]-2[k(x-1)+b]=3x+18. 整理,得-6kx+6k+2b=3x+18.

∴?????-6k6+k=2b3=,18,

??k=-12, 解得???b=221.

∴f(x)=-12x+221,易得 f(x)在[-1,1]上为减函数(在 R 上也是减函数). ∴函数 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(-1)=11 且 f(2 015)>f(2 016).

1.一次函数 y=kx+b(k>0,b<0)的图象不经过( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】 直线 y=kx+b(k>0,b<0)经过点(0,b),在 y 轴的负半轴上,且 y 是 x

的增函数.

【答案】 B

2.函数 y=kx+k2-k 过点(0,2)且是减函数,则 k 的值为( )

A.-2

B.-1

C.-1,2

D.1,-2

【解析】 将点的坐标代入函数关系式,得 k2-k=2,即 k2-k-2=0,所以 k=-1

或 k=2,由于一次函数为减函数,即 k<0,所以 k=-1,故选 B.

【答案】 B

3.关于 x 的一次函数 y=(3a-7)x+a-2 的图象与 y 轴的交点在 x 轴上方,且 y 随 x

的增大而减小,则 a 的取值范围是________.

【导学号:60210047】

【解析】 由题意得?????a3-a-2>7<0,0,

??a>2, ∴???a<73,

∴2<a<73.

唐玲

【答案】 ???2,73??? 4.若一次函数 y=(3a-8)x+a-2 的图象与两坐标轴都交于正半轴,则 a 的取值范围
是________. 【解析】 由题意,得?????3aa--28><00 , 解之,得 2<a<83.
【答案】 ???2,83??? 5.已知 y=(m-1)xm2-3m+3+2 是一次函数,且为增函数,求 m 的值.
【解】 ∵函数为一次函数且单调递增, ∴?????mm2--13>m0+,3=1, ∴?????mm= >11.或m=2, ∴m=2.
唐玲


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