抛物线中过定点的一个推广

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 抛物线中过定点的一个推广 作者:容升军 来源:《中学教学参考· 理科版》2014 年第 08 期 我们知道抛物线中有一个过定点定理:过抛物线 y2=2px(p>0)的顶点 O(0,0)作两条 垂直的直线 OP、OQ 分别交抛物线于 P、Q 两点,则直线 PQ 必过定点 B(2p,0).如果把定 理中的“顶点”改为“抛物线上一特殊点 A(a,b)”,那么直线 PQ 又会过哪个定点呢? 【例题】(2013 年吉安市一模考试试题)已知抛物线 y2=4x 上的一个点 A(1,2),过 A 作两条垂直的直线 AP、AQ 分别交抛物线于 P、Q 两点,则原点 O 到直线 PQ 的最大距离为. 解析:设 P(y2114,y1),Q(y2214,y2),由 AP· AQ=0. 得(y2114-1,y1-2)· (y2214-1,y2-2)=0. ∴(y1-2)(y2-2)[(y1+2)(y2+2)+16]=0. 即 y1y2+2(y1+y2)+20=0. 直线 PQ 的方程:y-y11y2-y1=x-y21141y2214-y2114=4x-y211(y2+y1)(y2-y1). ∴y=4x1y2+y1+y1y21y2+y1=4x1y2+y1+-2(y1+y2)-201y2+y1=41y2+y1(x-5)-2. 故直线 PQ 必过定点 B(5,-2),所以原点 O 到直线 PQ 的最大距离为 52+(-2)2=29. 如果把定理中的“顶点”改为“抛物线上任意一点 A(m,n)”,那么直线 PQ 又会过哪个定 点呢? 解析:由 A(m,n)在抛物线上得 m=n212p,则 A(n212p,n),设 P(y2112p,y1),Q(y2212p,y2). 由 AP· AQ=0 得(y2112p-n212p,y1-n)· (y2212p-n212p,y2-n)=0. ∴(y1-n)(y2-n)[(y1+n)(y2+n)+4p2]=0,即 y1y2+n(y1+y2)+4p2+n2=0. 而直线 PQ 的方程:y-y11y2-y1=x-y2112p1y2212p-y2112p=2px-y211(y2+y1)(y2-y1). ∴y=2px1y2+y1+y1y21y2+y1=2px1y2+y1+-n(y1+y2)-4p2-n21y2+y1=2p1y2+y1[x(2p+n212p)]-n. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 显然 PQ 直线过定点 B(2p+n212p,-n), 即 B(2p+m,-n). 得出定理:过抛物线 y2=2px(p>0)上任意一点 A(m,n)作两条垂直的直线 AP、AQ 分别交抛物线于 P、Q 两点,则直线 PQ 必过定点 B(2p+m,-n). 对于抛物线的其他形式也有相似的结论. (责任编辑黄桂坚) 3.学生自学之后,开展小组合作学习.由于学生的个体差异,在自学过程中,学生对知识的 理解程度各不一样.因此学生自学完后,教师不要急于讲解,应留一定的时间,让学生针对自 学过程中所遇到的问题互相交流、互相探讨,培养学生的自主学习能力. 四、把握评价的有效性 1.评价要自然、真诚.教育需要赏识,发现孩子身上的闪光点,要肯定孩子的优点.只有发 自肺腑的表扬,才能触动学生的心灵,唤起他们积极向上的人生态度. 2.评价要创新、多变.单一重复的评价语会让学生感到厌倦乏味.所以教师最好能广泛收 集,加强积累,使评价用语不断更换,常用常新.课堂上使用起来信手拈来,机智善变,时时 给学生于不同时空、不同情境、不同对象、不同表现而迥异的评价语,让学生听而不厌. 3.评价要指明改进方向.课堂评价,应以学生为本,关注学生的发展,发挥评价的矫正功 能,促使学生在原有水平上提高和发展.要有所发展,就须明确改进的方向.对学生课堂表现优 劣的判定是需要的,但提出相应的改进或调整的方法更为重要. 4.评价要肯定、准确.有时,教师为了树立下等生的自信心,在教学过程中给他们一些表现 的机会,从而给予鼓励性的评价.教师在作出评价时,一定要实事求是,不能夸大其词,而且 要语言准确,忌模糊不清. 通过这几年的教学实践与合理的分组实验,学生的学习能力都有不同程度的提高,今后笔 者将继续关注如何提高小组合作学习的有效性,让课堂真正成为全体学生的课堂,让每个学生 都成为课堂的主人,全面提高学生的数学成绩. (责任编辑黄桂坚)

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