高中数学苏教版选修1-1课件:第1章 常用逻辑用语1.3_图文

阶 段 一

1.3

全称量词与存在量词 1.3.1 量词

阶 段 三

1.3.2
阶 段 二

含有一个量词的命题的否定

学 业 分 层 测 评

1.理解全称量词和存在量词的意义.(重点) 2.能判定全称命题与存在性命题的真假.(难点) 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点、易混点)

[基础· 初探]
教材整理 1 全称量词、存在量词与全称命题、 存在性命题 阅读教材 P13,完成下列问题. 1.全称量词与全称命题 (1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量 词,通常用符号“ ?x ”表示“对任意 x”. (2)含有 全称量词 的命题称为全称命题,一般形式为:?x∈M,p(x).

2.存在量词和存在性命题 (1)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存 在量词,通常用符号“?x”表示“存在 x”. (2)含有

存在量词 的命题称为存在性命题,一般形式为: ?x∈M,p(x)

.

判断正误: (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( ) ) )

(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.( (3)全称命题一定含有全称量词,存在性命题一定含有存在量词.( (4)?x∈M,p(x)与?x∈M,綈 p(x)的真假性相反.( )

【解析】 (1)×.“有些”“某个”“有的”都表示部分,是存在量词. (2)√.由全称量词与存在量词的定义可知(2)正确. (3)×.有些全称命题与存在性命题可能省略量词. (4)√.命题 p 与其否定綈 p 真假性相反.
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√

教材整理 2 全称命题与存在性命题的否定 阅读教材 P15 例 1 以上部分,完成下列问题. 1.全称命题的否定
全称命题 p ?x∈M,p(x) 綈p 结论 全称命题的否 定是存在性命题

?x∈M,綈p(x)

2.存在性命题的否定
存在性命题 p 綈p 结论 存在性命题的 否定是 全称 命题

?x∈M,p(x)

?x∈M,綈p(x)

(2014· 安徽高考改编)命题“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是________. 【导学号:24830013】

【解析】 原命题为全称命题其否定为“?x0∈R,|x0|+x2 0<0”. 【答案】 ?x0∈R,|x0|+x2 0<0

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 2:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 3:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________

[小组合作型]

用量词表示命题
判断下列命题是否为全称命题或存在性命题,若是,用符号表示 .并 判断其真假. (1)对任意实数 α,有 sin2α+cos2α=1; (2)存在一条直线,其斜率不存在; (3)对所有的实数 a,b,方程 ax+b=0 都有唯一解; 1 (4)存在实数 x0,使得 2 =2. x0-x0+1

【精彩点拨】 判断全称命题还是存在性命题→用符号“?”或“?”表示
【自主解答】 (1)是全称命题,用符号表示为“?α∈R,sin2x+cos2α=1”, 是真命题. (2)是存在性命题,用符号表示为“?直线 l,l 的斜率不存在”,是真命题. (3)是全称命题,用符号表示为“?a,b∈R,方程 ax+b=0 都有唯一解”, 是假命题. 1 (4)是存在性命题,用符号表示为“?x0∈R, 2 =2”,是假命题. x0-x0+1

1.有些命题不是典型的全称命题或存在性命题,却表达了相应的意义,这时可 适当引入量词,用量词表示命题,准确体会命题的含义. 2.用符号“?”“?”表示含有量词的命题时,将存在量词改为“?”,全称 量词改为“?”,注意必要时需引入字母来表达命题的含义.

[再练一题] 1.用符号“?”与“?”表示下列命题: (1)实数的绝对值大于等于 0; (2)存在实数对,使两数的平方和小于 1; (3)任意的实数 a,b,c 满足 a2+b2+c2≥ab+bc+ac.
【解】 (1)?x∈R,|x|≥0. (2)?(x,y)∈R,x2+y2<1. (3)?a,b,c∈R,a2+b2+c2≥ab+bc+ac.

含有量词的命题的真假判断
判断下列命题的真假: (1)若 a>0 且 a≠1,则?x0∈R,ax0>0; 1 (2)?x∈R,都有 x -x+1>2;
2

(3)?x0,y0∈N,使 2x0+y0=3.
【精彩点拨】 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断.

【自主解答】 (1)∵a>0,∴当 x=1 时,ax=a>0,成立,∴(1)为真命题. (2)∵x
2

? 1?2 3 3 1 1 2 ? ? -x+1= x-2 +4≥4>2,∴x -x+1>2恒成立,∴(2)是真命题. ? ?

(3)当 x0=0,y0=3 时, 2x0+y0=3 满足题意,∴(3)是真命题.

全称命题与存在性命题真假判断的方法: (1)对于全称命题“?x∈M,p(x)”: ①要证明它是真命题,需对集合 M 中每一个元素 x,证明 p(x)成立; ②要判断它是假命题,只要在集合 M 中找到一个元素 x0,使 p(x0)不成立即 可.(通常举反例) (2)存在性命题的真假判断要结合存在量词来进行,在限定的集合内,看能否 找到相应的元素使命题成立,能找到,命题为真,否则为假.

[再练一题] 2.判断下列命题中的真假: (1) ?x∈R,2x-1>0 ;(2)?x∈N*,(x-1)2>0; (3)?x0∈R,lg x0<1 ;(4)?x0∈R,tan x0=2.

【解】 命题;

(1)命题“?x∈R,2x-1>0”是全称命题,易知 2x-1>0 恒成立,故是真

(2)命题“?x∈N*,(x-1)2>0”是全称命题,当 x=1 时,(x-1)2=0,故是假 命题; (3)命题“?x0∈R, lg x0<1”是存在性命题, 当 x=1 时, lg x=0, 故是真命题; (4)命题“?x0∈R,tan x0=2”是存在性命题,依据正切函数定义,可知是真 命题.

含有一个量词的命题的否定

写出下列命题的否定,并判断真假: 1 (1)p:?x∈R,x -x+4≥0;
2

(2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0∈R,x2 0+2x0+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x0,使 x3 0+1=0.
【精彩点拨】 首先弄清楚所给命题是全称命题还是存在性命题,然后针对 量词和结论两个方面进行否定.

【自主解答】 (1)綈
2

p:?x0∈R,x2 0-x0+

1 4<0,假命题.

1 ? 1?2 ∵?x∈R,x -x+4 =?x-2? ≥0 恒成立,∴綈 p 是假命题. ? ? (2)綈 q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.

(3)綈 r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题. ∵?x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0 恒成立 ∴綈 r 是真命题. (4)綈 s:?x∈R,x3+1≠0,假命题. ∵x=-1 时,x3+1=0,∴綈 s 是假命题.

1.写一个命题的否定的步骤: 首先判定该命题是“全称命题”还是“存在性命 题”,并确定相应的量词,其次把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改 成全称量词同时否定结论. 2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形 式,再依据规则来写出命题的否定.

[再练一题] 3.写出下列命题的否定: (1)p:一切分数都是有理数; (2)q:有些三角形是锐角三角形; (3)r:?x0∈R,x2 0+x0=x0+2; (4)s:?x∈R,2x+4≥0. 【导学号:24830014】

【解】 (1)綈 p:有些分数不是有理数; (2)綈 q:所有的三角形都不是锐角三角形; (3)綈 r:?x∈R,x2+x≠x+2; (4)綈 s:?x0∈R,2x0+4<0.

[探究共研型]

全称命题与存在性命题的综合应用

探究 1 (1)“?x∈R ,a=x2”的含义是什么? (2)“?x∈[1,2] ,a=x2”的含义是什么? 若上述两个命题是真命题,试分别求出 a 的取值范围.

【提示】

(1)“?x∈R ,a=x2”的含义是方程 x2-a=0 有实数根,所以其

判别式 Δ=4a≥0,解得 a≥0; (2)“?x∈[1,2],a=x2”的含义是方程 x2-a=0 在[1,2]内有实数根,也就是 函数 y=x2,x∈[1,2]和函数 y=a 的图象有交点,因为 x∈[1,2],所以 x2∈[1,4],所 以 a 的取值范围是 1≤a≤4.

探究 2 (1)“?x∈[1,2],a<x2”的含义是什么? (2)“?x∈[1,2],a<x2”的含义是什么?若上述两个命题是真命题,试分别求 出 a 的取值范围.
【提示】 (1)“?x∈[1,2],a<x2”的含义是对于所有的,一切在[1,2]内的 x, 不等式 a<x2 都恒成立,所以 a 要小于 x2 的最小值.因为 x∈[1,2],所以 x2∈[1,4], 所以 a<1; (2)“?x∈[1,2],a<x2”的含义是在[1,2]内至少有一个 x ,使不等式 a<x2 成 立,此时只要 a 不大于 x2 的最大值即可.因为 x∈[1,2],所以 x2∈[1,4],所以 a≤4.

(1)若命题 p:?x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1 是真命题,则实数 a 的 取值范围是________. (2)若“?x0∈R, x2 则实数 m 的取值范围是________. 0+2x0+2=m”是真命题,
【精彩点拨】 题. (1)转化为不等式的恒成立问题;(2)转化为方程有实数根的问

【自主解答】 (1)ax2+4x+a≥-2x2+1 是真命题, 即不等式 ax2+4x+a≥- 2x2+1 对?x∈R 恒成立,即(a+2)x2+4x+(a-1)≥0 恒成立. 当 a+2=0
? ?a+2>0, 时,不符合题意.故有? ? ?Δ≤0,

? ?a+2>0, 即? ? ?16-4a+2a-1≤0,

解得 a≥2.

(2)方法一:由于“?x0∈R,x2 0+2x0+2=m”是真命题,则实数 m 的取值集 合就是二次函数 f(x)=x2+2x+2 的值域,即{m|m≥1}. 方法二:依题意,方程 x2+2x+2-m=0 有实数解, ∴Δ=4-4(2-m)≥0,解得 m≥1.

【答案】 (1)[2,+∞)

(2)[1,+∞)

应用全称命题与存在性命题求参数范围的常见题型 1.全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味着命题对应 的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以代入,也可以根据函数等数学 知识来解决. 2.存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是 否存在”等语句表达.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后 从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性 随之解决;若导致矛盾,则否定了假设.

[再练一题] 4.(2016· 徐州高二检测)若存在 x0∈R,使 ax2 0+2x0+a<0,则实数 a 的取值范围 是________. 【导学号:24830015】
【解析】 当 a≤0 时,显然存在 x0∈R,使 ax2 0+2x0+a<0; 当 a>0 时,必需 Δ=4-4a2>0,解得-1<a<1,故 0<a<1. 综上所述,实数 a 的取值范围是 a<1.
【答案】 a<1

1.下列命题是全称命题的是________. (1)有一个向量 a0,a0 的方向不能确定; (2)对任何实数 a,b,c,方程 ax2+bx+c=0 都有解.
【解析】 (1)中含有量词“有一个”, 是存在性命题, (2)中含有量词“任何”, 是全称命题.

【答案】 (2)

2.下列全称命题: ①实数都有倒数; ②自然数都是正整数; ③小数都是有理数; ④无理数都是无限不循环小数. 其中真命题的是________.
【解析】 由于 0 没有倒数,故①错误;由于 0 不是正整数,故②错误;由 于无限不循环小数是无理数,故③错误,④正确.

【答案】 ④

3.(2016· 湘潭高二检测)已知命题 p:?x∈R,cos x≤1,则綈 p 是________. 【解析】 p 为全称命题,綈 p 应为存在性命题.

【答案】 ?x0∈R,cos x0>1

4.对任意 x>3,x>a 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 对任意 x>3,x>a 恒成立,即大于 3 的数恒大于 a,∴a≤3. 【答案】 (-∞,3]

5.将下列命题用量词符号“?”或“?”表示. (1)整数中 1 最小; (2)方程 ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一个负根; (3)对于某些实数 x,有 2x+1>0; (4)若 l⊥α,则直线 l 垂直于平面 α 内任一直线.
【解】 (1)?x∈Z,x≥1. (2)?x0<0,ax2 0+2x0+1=0(a<1). (3)?x0∈R,2x0+1>0. (4)若 l⊥α,则?a?α,l⊥a.

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________


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