圆锥曲线必掌握的题型和方法

圆锥曲线必掌握的题型和方法
一、定义 1.椭 圆:⑴ 2.双曲线:⑴ 3.抛物线:⑴ 4.圆锥曲线统一定义:⑴ ⑵ 题型一:轨迹问题

⑵ ⑵ ⑵

1. 一动圆与两圆: x 2 ? y 2 ? 1和x 2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则动圆的圆心 的轨迹方程是什么?(2000 全国高考试题) 2.一动圆与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0 内切,求动 圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。 3.双曲线
x2 ? y 2 ? 1有动点 P , F1 , F2 是曲线的两个焦点,求 ?PF1F2 的重心 M 的 9

轨迹方程。 4.已知动点 P (x,y) 满足条件 5

?x ? 1?2 ? ( y ? 2) 2

? 3x ? 4 y ? 12 , 求点 P 的轨迹。

5.已知在三角形△ABC 中,A(3,0) ,B(-3,0)且三边 AC,AB,BC 的长成等 差数列,求顶点 C 的轨迹。 题型二:焦点三角形问题 1、已知椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点为 F1、F2,P 为椭圆上一点, 9 4

(1)若∠F1PF2=900,求△F1PF2 的面积(2)若∠F1PF2=600,求△F1PF2 的面积
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点为 F1、F2,P 为双曲线上一点, 2、已知双曲线 5 4

(1)若∠F1PF2=900,求△F1PF2 的面积(2)若∠F1PF2=600,求△F1PF2 的面积 3、 F1 , F2 是椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,以 F1 为圆心且过椭圆中心的 a2 b2

圆与椭圆的一个交点为 M 。若直线 F2 M与圆F1 相切,求该椭圆的离心率。
x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2 。点 P 为其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角时。 4、椭圆 9 4

点 P 横坐标的取值范围为多少? (2000 年全国高考试题) 5、椭圆
x2 y2 x2 y2 ? ( a ? b ? 0 ) ? (m, n ? 0) 有公共的焦点 F1 (?c,0) 、 和双曲线 a2 b2 m2 n2

F2 (c,0) , P 为这两曲线的交点,求 PF 1 ? PF 2 的值.
题型三:两线段和(差)的最值问题 1.已知点 A(3,2) ,F(2,0) , 试在双曲线 x 2 ? 最小,并求最小值。
x2 y2 ? ? 1 内,焦点 F 的坐标为(2,0) 2.已知点 A(2,1)在椭圆 ,在椭圆上 16 12
y2 ? 1 上求一点 P,使 PA ? PF 3

求一点 P,使 PA ? 2 PF 最小. 3.已知 P 为抛物线上 y 2 ? 4 x 的一点,记点 P 到 Y 轴的距离为 d,对于定点 A (4,5) ,求 PA ? d 的最小值。 4.已知抛物线 y 2 ? x 上一点 P 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d1 ,到 Y 轴的距离为

d 2 ,求 d1 ? d 2 的最小值
二.标准方程 1.椭 圆:⑴焦点在 X 轴上 2.双曲线:⑴焦点在 X 轴上 3.抛物线:⑴焦点在 X 轴正半轴上 ⑵焦点在 Y 轴正半轴上 题型一:标准方程求解问题 (1)与椭圆
y2 x 2 y2 x2 2 ? ? 1 ? ? 1 (λ>c ) 共焦点的椭圆系方程: 2 2 2 ? ??c a b x 2 y2 x 2 y2 ? ? 1 ? ? ? (λ>0) 具有相同离心率的椭圆系方程为 a 2 b2 a 2 b2 y2 x 2 y2 x2 ? ? 1 ? 共焦点的双曲线系方程: =1(0<λ<c2) 2 2 2 ? c ?? a b x 2 y2 x 2 y2 ? ? 1 ? ? ? (λ≠0) 共渐近线的双曲线系方程为 a 2 b2 a 2 b2

⑵焦点在 Y 轴上 ⑵焦点在 Y 轴上 焦点在 X 轴负半轴上 焦点在 Y 轴负半轴上

(2)与椭圆

(3)与双曲线

(4)与双曲线

(5)等轴双曲线系方程为:x2-y2=λ(λ≠0)

(6)过任意两点的椭圆或双曲线的标准方程的一般形式

x2 y2 ? ?1 m n

1.求经过点(2,-3) ,且与椭圆 9x2+4y2=36 有共同焦点的椭圆方程。 2.求与椭圆
x 2 y2 ? ? 1 有相同离心率且经过点(2,- 3 )的椭圆的标准方程。 4 3 x 2 y2 ? ? 1 共渐近线且过点 A( 2 3 ,?3 )的双曲线方程。 16 9

3.求与双曲线

4.求适合条件的椭圆的标准方程.

? 6? ; (1)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 ?2,
(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为 6. 5. 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
? 15 ? ? 16 ? (1)过点 P? 3, ? , Q? ? , 5? 且焦点在坐标轴上. ? 4? ? 3 ?

(2) c ? 6 ,经过点(-5,2) ,焦点在 x 轴上. (3)与双曲线
x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 3 2, 2 16 4
2

?

?

6.求与双曲线 x

16

?

y2 ? 1 共渐近线且过 A 2 9
2

?

3, ? 3 点的双曲线方程及离心率.

?

2 2 7. 求以曲线 2x ? y ? 4x ?10 ? 0 和 y ? 2x ? 2 的交点与原点的连线为渐近线,

且实轴长为 12 的双曲线的标准方程.

, ? 3 且离心率为 2 的双曲线 8. 求中心在原点,对称轴为坐标轴经过点 P 1
标准方程.

?

?

0? , 9. 椭圆的一个顶点为 A?2, 其长轴长是短轴长的 2 倍, 求椭圆的标准方程.
10.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x ?

y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两
2

点, M 为 AB 中点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.
2 2 11.已知 ?ABC 的三个顶点是圆 x ? y ? 9x ? 0 与抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的

交点,且 ?ABC 的垂心恰好是抛物线的焦点,求抛物线的方程 12. 已知抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 与直线 y ? ? x ? 1 相交于 为直径的圆恰好过原点,求此抛物线的方程.

王新敞
奎屯

新疆

A 、B 两点, 以弦长 AB

B 两点, 13. 已知直线 y ? x ? b 与抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 相交于 A 、 若 OA

? OB ,

( O 为坐标原点)且 S?AOB

? 2 5 ,求抛物线的方程

王新敞
奎屯

新疆

题型二:标准方程判断问题 1.①若方程
x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 K 的范围是 3? k 2?k

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 K 的范围是 ②若方程 3? k 2?k

2.若方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 三.离心率 1.①已知 a=2b,求 e ; ②已知 b=2c,求 e ; ③已知椭圆的短轴是长轴和焦距的等差中项,求 e 2、已知 a<2b,求离心率的范围
x2 y2 3、 (2009 江西)过椭圆 2 ? 2 ? 1 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 a b

2

2

为右焦点,若∠F1PF2=600,求离心率 4、过椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,Q,F2 为右焦点, a2 b2

(1)若∠F1 F2P=450,求离心率(2)若∠F1 F2P<450,求离心率的范围 (3)∠P F2Q<900,求离心率的范围 5、过双曲线
x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交双曲线于点 P,Q,F2 为右焦 a2 b2

点, (1)若∠F1 F2P=450,求离心率(2)若∠F1 F2P<450,求离心率的范围 (3)∠P F2Q<900,求离心率的范围 (4)若△P F2Q 为等边三角形,求离心率的值 (5)若△P F2Q 为锐角三角形,求离心率的范围 3 6、已知双曲线的渐近线为 y ? ? x ,则双曲线的离心率 e 4 7、已知 F1,F2 是椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,P 是椭圆上的一点, a2 b2

(1)∠F1PF2=600,求椭圆离心率的范围。 (2)∠F1PF2=900,求椭圆离心率的范围。 (3)∠F1PF2 为锐角,求椭圆离心率的范围。 8、椭圆
x2 y2 ? 2 ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? c 2 , ( a2 ? b2 ? c2 ) 2 a b

(1)没有交点求椭圆离心率的范围(2)两个交点求椭圆离心率的值 (3)四个交点求椭圆离心率的范围 9、椭圆
x2 y2 a2 x ? ? ? 1 的右焦点 F 直线 ,若过 F2 且垂直于 x 轴的弦长等于点 2 c a2 b2

F2 到 l1 的距离,求椭圆的离心率。 10、 (2009 浙江文)已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A , a 2 b2

点 B 在椭圆上,且 BF ? x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2PB ,则椭圆的 离心率是 1

11、 (2008 全国)设△ABC 是等腰三角形,∠ABC=1200,则以 A、B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为 12、已知双曲线的两条渐近线的夹角为 602,则离心率为 13、 (2007 福建)已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的 离心率为 14、 (2007 湖南)已知 F1,F2 是椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,P 是右准线上纵坐 a2 b2

标为 3c (c 为半焦距)的点,且|F1F2|=|F2P|,则离心率为
x2 y2 15、 (2007 北京)已知 F1,F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的左右焦点,两准线与 x 轴的交 a b

点分别为 M、N,若 MN ? 2 F1 F2 ,则离心率为 16、 (2007 湖南理) (较难)已知 F1,F2 是椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,若右准 a2 b2

线存在点 P,使线段 PF1 的中出现中垂线过点 F2,则离心率的取值范围
x2 y2 17、 (2007 全国理)已知 F1,F2 双曲线 2 ? 2 ? 1 的左右焦点,若双曲线上存在 a b

点 A,使∠F1AF2=90 ,且|AF1|=3 |AF2|,则双曲线离心率为
x 18、 .F1、F2 为椭圆 a 2 ?
2

0

y2 b2

? 1 的两焦点,若椭圆上存在一点 P,使∠F1PF2=90°,

则椭圆的离心率的取值范围 19、双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2, 若 P 为其上一点,且 a 2 b2

|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为

四.直线与曲线的位置关系 题型一:位置关系的判定问题 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,可将直线 l 代入曲线 C 的方程,消去一 个字母(如 y)得到一个关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0,则(1)当 a≠0 时, 则有Δ>0,l 与 C 相交;Δ=0,l 与 C 相切;Δ<0,l 与 C 相离. (2)当 a=0 时,得到一个一元一次方程,则 l 与 C 相交,且只有一个交点,此 时,若 C 为双曲线,则 l 平行于双曲线的渐近线;若 C 为抛物线,则 l 平行于抛 物线的对称轴.需要注意的是,当直线与双曲线或抛物线只有一个交点时,直 线与双曲线或抛物线可能相切也可能相交. 1.讨论直线 y=kx+1 与双曲线 C: x 2 ? y 2 ? 1 公共点的个数 2.讨论过(1,1)点的直线与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 公共点的个数 3.已知双曲线
x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F,过点 F 倾斜角为 600 的直线与双曲线的 a2 b2

右支只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是 4.过抛物线 y 2 ? 4 x 外一点 A(1,0)作直线 l,则与抛物线交于一点的直线 l 有 条 题型二:弦长问题 ①、直线与圆锥曲线有两个交点 A(x1,y1)、B(x2,y2) ,一般将直线方程 L: y=kx+m 代入曲线方程整理后得到关于 x 的一元二次方程?则应用弦长公式: |AB|= (1 ? k 2 ) [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ;或将直线方程 L:x= 后得到关于 y 的一元二次方程?则应用弦长公式: |AB|= (1 ? 1 y +t 代入曲线方程整理 k

1 ) [( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ; 2 k

②、过焦点的弦长的求解一般不用弦长公式去处理,而用焦半径公式会更简捷; 注: ① 、垂直于圆锥曲线的对称轴的焦点弦长称为圆锥曲线的通径,其中椭圆、双 2b2 曲线的通径长都为 ,而抛物线的通径长为 2p; a ② 、对于抛物线 y2=2px(p>0)而言,还有如下的焦点弦长公式,有时用起来 很方便:|AB|=x1+x2+p;|AB|= 2p (其中?为过焦点的直线 AB 的倾斜角) sin2?

1、已知椭圆

? x2 ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F1 倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点。 6 9

求:弦 AB 的长,左焦点 F1 到 AB 中点 M 的长。 2、椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、B 两点,C 是线段 AB 的中点.若 |AB|=2 2 ,直线 OC 的斜率为
2 ,求实数 a、b 的值. 2

3. 已知椭圆: 求弦 AB 的长.

? x2 ? y2 ? 1, 过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、 B 两点, 6 9

y2 ? 1截得的弦长; 4.求直线 y ? x ? 1 被双曲线 x ? 4
2

题型三:中点弦问题 ①、设直线方程为 y=kx+m,代入到圆锥曲线方程之中,消元后得到一元二次方 程,再利用根与系数的关系去处理(由于直线方程与圆锥曲线方程均未定,因而 通常计算量较大) ; ②、利用点差法:例如在椭圆
x2 y 2 ? ? 1 内有一定点 P(x0,y0),求以 P 为中点的 a 2 b2

弦的直线方程时,可设弦的两端点为 A(x1,y1)、B(x2,y2) ,则 A、B 满足椭圆方

? x12 y12 ? ?1 ? (x1+x2) (x1-x2) (y1+y2) (y1-y2) ? a 2 b2 程, 即有 ? 2 两式相减再整理可得: =; 2 2 a b2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? a 2 b2
y1-y2 (x1+x2) -b2 x0 -b2 从而可化出 k= = 〃 = 〃 2; x1-x2 (y1+y2) a2 y0 a y1-y2 (x1+x2) b2 x0 b2 对于双曲线也可求得:k= = 〃 = 〃- 2;抛物线也可用此法去 x1-x2 (y1+y2) a2 y0 a 求解,值得注意的是,求出直线方程之后,要根据图形加以检验。 x2 y2 ? ? 1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被点 M 平分,求这条弦 1、过椭圆 16 4 所在的直线方程。 2、过椭圆 迹方程。 3、求直线 y ? x ? 1 被抛物线 y 2 ? 4 x 截得线段的中点坐标。
x2 y2 ? ? 1 上一点 P(-8,0)作直线交椭圆于 Q 点,求 PQ 中点的轨 64 36

五.综合应用 题型一:定点、定值问题: 这类问题通常有两种处理方法:①、第一种方法:是从特殊入手,先求出 定点(或定值) ,再证明这个点(值)与变量无关;②、第二种方法:是直接推 理、计算;并在计算的过程中消去变量,从而得到定点(定值) 。 ★【例题 1】 (2007 年高考〃湖南文科〃19 题〃13 分)已知双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的 右焦点为 F ,过点 F 的动直线与双曲线相交于 A、B 两点,又已知点 C 的坐标是 (I)证明 CA 〃 CB 为常数; (II)若动点 M 满足 CM ? CA ? CB ? CO (其 (1, 0) . 中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程. ★【例题 2】已知 A,B 为椭圆
x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1的 (a>b>0) 和双曲线 a 2 b2 a 2 b2

→ → 公共顶点,P,Q 分别为双曲线和椭圆上不同于 A,B 的动点,且有AP+BP → → =?(AQ+BQ)(?∈R,|?|>1),设 AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为 k1,k2,k3,k4,求 证:k1+k2+k3+k4 为一个定值 题型二:最值问题: 常见解法有两种:几何法与代数法。①若题目中的条件或结论能明显体现 某种几何特征及意义, 或反映出了某种圆锥曲线的定义, 则直接利用图形的性 质或圆锥曲线的定义来求解,这就是几何法;②将圆锥曲线中的最值问 题通过建立目标函数,转化为二次函数或三角函数的最值问题,再充分 利用均值不等式、 函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解。 ★【例题 3】 、抛物线 x2=4y 的焦点 F 和点 A(-1,8),P 为抛物线上一点,则 |PA|+|PF| 最小值是( ) A 6 B 9 C 12 D 16 ▲若将上题中点 A 的条件改为 A(3,1),其它不变,则 应为_ _ __ ★【例题 4 】 ( 2007 年安徽高考题)设 F 是抛物线 设 A、 B 为抛物线 G 上异于原点的两点, G : x2 ? 4 y 的焦点. 且满足 FA FB ? 0 , 延长 AF ,BF 分别交抛物线 G 于点 C、 D,求四边形 ABCD 面 积的最小值. ★【例题 5】 、 (2007 年全国高考题〃12 分)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心 的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. ( 1 )求圆 O 的方程; ( 2 )圆 O 与 x 轴相交于 A 、 B 两点,圆内的动点 P 使

PA , PO , PB 成等比数列,求 PA PB 的取值范围.

题型三:求参数的取值范围问题: 求参数的取值范围问题, 常用的解决方法有两种: ①、 第一种是不等式 (组) 求解法?根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组) ,通过解不等 式(组)再得出参数的变化范围;②、第二种?是函数的值域求解法:把所讨 论的参数表示为某个变量的函数,通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。 ★【例题 6】 、若圆 x2+(y-1)2= 1 上的任一点 P(x,y),有不等式 x+y+c≥0 恒成立, 则 c 的取值范围是_____
0) , ★ 【例题 7】 (2007 年福建高考题〃 14 分) 如图, 已知 F (1, 直线 l : x ? ?1 ,
P 为平面上的动点,过点 P 作 l 的垂线,垂足为点 Q ,且
l y

QP QF ?

.Q FP F

F

?1 O

1

x

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点,交直线 l 于点 M . (1)已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值; (2)求 MA MB 的最小值.

题型四:对称问题: 包括两种情形:①、中心对称问题:常利用中点坐标公式求解;②、轴对 称问题:主要抓住以下两个条件去处理-----?垂直,即已知点与对称点的连 线与对称轴垂直;?中点,即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上。 1 ★【例题 7】 、(2004 年上海高考〃文科 20 题〃14 分)如图, 直线 y= x 与抛物 2 1 线 y= x2-4 交于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与直线 y=-5 交于 Q 点. 8 (1) 求点 Q 的坐标;(2) 当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含点 A、B) 的动 点时, 求△OPQ 面积的最大值. ★【例题 8】 、 (2007 年湖北高考题〃14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,过定点
C (0,p) 作直线与抛物线 x2 ? 2 py ( p ? 0 )相交于 A,B 两点.

(I)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ ANB 面积的最小值; (II)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为 定值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由.

题型五:实际应用问题: 此类问题要建立好平面直角坐标系,建立好数学模型,实现应用问题向数学 问题的转化。 ★ 【例题 9】如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的 北偏东 30°方向 2 km 处,河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点 到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km。现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座 码头,向 B、C 两地转运货物。经测算,从 M 到 B、M 到 C 修建公路的费用 分别是 a 万元/km、2a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A.(2 7 -2)a 万元 C.(2 7 +1) a 万元 B.5a 万元 D.(2 3 +3) a 万元


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