【附加6份试卷合集】高三理科数学一轮复习教学案:第2章第12节定积分与微积分基本定理

第十二节 定积分与微积分基本定理 [考纲传真] 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本 定理的含义. 1.定积分的有关概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间上任取一点 n n b-a ξ i(i=1,2,…,n),作和式∑f(ξ i)Δ x=∑ n f(ξ i),当 n→∞时,上述和式无限接近于某个常数, i=1 i=1 n 这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作??abf(x)dx,即??baf(x)dx=ln→i∞mi∑=1 b-a n f(ξ i). 在??abf(x)dx 中,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函 数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式. (2)定积分的几何意义 图形 阴影部分面积 S=??abf(x)dx S=-??abf(x)dx S=??acf(x)dx-??cbf(x)dx S=??abf(x)dx-??abg(x)dx=??ab[f(x)-g(x)]dx 2.定积分的性质 (1)??abkf(x)dx=k??abf(x)dx(k 为常数); (2)??ab[f1(x)±f2(x)]dx=??abf1(x)dx±??abf2(x)dx; (3)??abf(x)dx=??acf(x)dx+??bcf(x)dx(其中 a<c<b). 3.微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是在区间[a,b]上的连续函数,且 F′(x)=f(x),那么??abf(x)dx=F(b)-F(a),这个 结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式. 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数. 为了方便,常把 F(b)-F(a)记作 F(x)|ba, 即??abf(x)dx=F(x)|ba=F(b)-F(a). [常用结论] 函数 f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有 (1)若 f(x)为偶函数,则??a-af(x)dx=2??0af(x)dx. (2)若 f(x)为奇函数,则??a-af(x)dx=0. [基础自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)设函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,则??abf(x)dx=??abf(t)dt.( ) (2)定积分一定是曲边梯形的面积.( ) (3)若??abf(x)dx<0,那么由 y=f(x)的图象,直线 x=a,直线 x=b 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下 方.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× 2.??01exdx 的值等于( ) A.e B.1-e C.e-1 D.12(e-1) C [??01exdx=ex10=e-1.] 3.(教材改编)已知质点的速率 v=10t,则从 t=0 到 t=t0 质点所经过的路程是( ) A.10t20 B.5t20 C.130t20 D.53t02 B [S=∫t00vdt=∫t0010tdt=5t2|t00=5t20.] 4.(教材改编)曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积为________. 1 6 [如图,阴影部分的面积即为所求. 由???y=x2, ??y=x, 得 A(1,1). 故所求面积为 S=∫10(x-x2)dx | =???12x2-13x3??? 01=61.] 5.??1-1 1-x2dx=________. π 2 [??1-1 1-x2dx 表示曲线 y= 1-x2与直线 x=-1,x=1 及 x 轴围成的曲边梯形的面积,故??1- 1 1-x2dx=π2 .] 定积分的计算 1.(2019·玉溪模拟)计算??12???x+1x???dx 的值为( ) 3 3 A.4 B.2+ln 2 C.52+ln 2 D.3+ln 2 B [??12???x+1x???dx=???12x2+ln x???21=2+ln 2-12=32+ln 2.故选 B.] 2.(2018·吉林三模)??01|x-1|dx=( ) A.1 B.2 C.3 D.12 D [??01|x-1|dx=??01(1-x)dx=???x-12x2???10=1-12=12.] 3.设 f(x)=???x2,x∈[0,1], ??2-x, ,2], 则??02f(x)dx 等于( ) 3 4 A.4 B.5 C.56 D.不存在 C [如图, ??02f(x)dx=??01x2dx+??12(2-x)dx =13x310+???2x-12x2???21 =13+???4-2-2+12???=56.] 4.??0π (sin x-cos x)dx=________. 2 [??0π (sin x-cos x)dx=(-cos x-sin x)|π0 =1+1=2.] [规律方法] 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 (1)对被积函数要先化简,再求积分. (2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号,再求积分. (4)注意用“F′(x)=f(x)”检验积分的对错. 2.根据定积分的几何意义,可利用面积求定积分. 定积分的几何意义 【例 1】 (1)(2019·皖南八校联考)用 min{a,b}表示 a,b 两个数中的最小值,设 f(x)=min???1x, x??????x≥14???, 则由函数 f(x)的图象,x 轴与直线 x=14和直线 x=2 所围成的封闭图形的面积为________. (2)(2019

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