2007至2014年广东高考文科数学试题分类汇编

广东高考文科数学历年试题分类汇编
1.集合与简易逻辑 2007 5分 2008 5分 2009 5分 2010 10 分 2011 5分 2012 5分 2013 5分 2014 5分

(2007 年高考广东卷第 1 小题)已知集合 M ? {x 1 ? x ? 0,N ? {x A. {x ?1≤ x ? 1} B. {x x ? 1}

1 ? 0} ,则 M 1? x

N ? (C



C. {x ?1 ? x ? 1} D. {x x ≥ ?1}

(2008 年高考广东卷第 1 小题)第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行, 若集 合 A={参加北京奥运会比赛的运动员}, 集合 B={参加北京奥运会比赛的男运动员}, 集合 C={参加北 京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是(D A. A ? B B. B ? C ) D. A∩B = C
2

C. B∪C = A

(2009 年高考广东卷第 1 小题).已知全集 U=R,则正确表示集合 M= {-1,0,1} 和 N= { x |x +x=0} 关 系的韦恩(Venn)图是

【答案】B
2 【解析】由 N= { x |x +x=0} {?1, 0} 得 N ? M ,选 B.

(2010 年高考广东卷第 1 小题)若集合 A={0,1,2,3} ,B={1,2,4} ,则集合 A A. {0,1,2,3,4} B. {1,2,3,4} C. {1,2} D. {0}

B=( A.)

(2010 年高考广东卷第 8 小题) “ x >0”是“ 3 x2 >0”成立的( A.) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.非充分非必要条件 D.充要条件

(2011 年高考广东卷第 2 小题)
2 2 已知集 A ? ( x, y ) x, y为实数,且x ? y ? 1 , B ? ( x, y ) x, y为实数,且x ? y ? 1 ,则 A

?

?

?

?

B的

元素个数为(C) A.4 B.3 C.2 D. 1

(2012 年高考广东卷第 2 小题)2.设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , M ? ?1,3,5? ,则 CU M ? (A) A. ?2,4,6? B. ?1,3,5? C. ?1,2,4? D. U

-1-

(2013 年高考广东卷第 1 小题) 设集合 S ? x | x 2 ? 2 x ? 0, x ? R , T ? x | x 2 ? 2 x ? 0, x ? R ,则

?

?

?

?

S ?T ? ( A )
A.

?0?

B.

?0, 2?

C.

??2,0?

D.

??2,0, 2?
N ?( B )
D. ?3,5?

(2014 年高考广东卷第 1 小题)已知集合 M ? ?2,3, 4? , N ? ?0, 2,3,5? ,则 M A. ?0, 2? 2.复数 2007 5 2008 5 2009 5 2010 2011 5 2012 5分 B. ?2,3? C. ?3, 4?

2013 5分

2014 10 分 D )

b 是实数) (2007 年高考广东卷第 2 小题)若复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数 ( i 是虚数单位, , 则b ? (
A. ?2 B. ?

1 2

C.

1 2

D.2

(2008 年高考广东卷第 2 小题)已知 0<a<2,复数 z = a + i(i 是虚数单位) ,则|z|的取值范围是( B ) A. (1,5) B. (1,3) C. (1, 5 )
n

D. (1, 3 )

(2009 年高考广东卷第 2 小题)下列 n 的取值中,使 i =1(i 是虚数单位)的是 A.n=2 B .n=3 C .n=4
4

D .n=5

【答案】C 【解析】因为 i ? 1 ,故选 C. (2011 年高考广东卷第 1 小题)设复数 z 满足 iz = 1,其中 i 为虚数单位,则 z = (A) A.- i B.i C.- 1 D.1

(2012 年高考广东卷第 1 小题)设 i 为虚数单位,则复数 A. ?4 ? 3i B. ?4 ? 3i C. 4 ? 3i

3 ? 4i ? (D) i
D. 4 ? 3i

(2013 年高考广东卷第 3 小题)若 i ? x ? yi ? ? 3 ? 4i , x, y ? R ,则复数 x ? yi 的模是( D ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 )

(2014 年高考广东卷第 2 小题)已知复数 z 满足 ? 3 ? 4i ? z ? 25 ,则 z ? ( D A. ?3 ? 4i B. ?3+ 4i C. 3 ? 4i

D. 3 ? 4i

(2014 年高考广东卷第 10 小题)对任意复数 w1 、 w2 ,定义 w1 ? w2 ? w1 w2 ,其中 w2 是 w2 的共轭复数. 对任意复数 z1 、 z2 、 z 3 ,有如下四个命题: ① ? z1 ? z2 ? ? z3 ? ? z1 ? z3 ? ? ? z2 ? z3 ? ; ② z1 ? ? z2 ? z3 ? ? ? z1 ? z2 ? ? ? z1 ? z3 ? ;

-2-

③ ? z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ? ? z2 ? z3 ? ; ④ z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 则真命题的个数是( C ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3.向量 2007 5分 2008 5分 2009 5分 2010 5分 2011 5分 2012 5分 2013 5分 2014 5分 B )

(2007 年高考广东卷第 4 小题)若向量 a, 则 aa ( b 满足 a ? b ? 1 , · ab ?· ? a 与 b 的夹角为 60 ° ,

A.

1 2

B.

3 2

C. 1 ?

3 2

D.2

(2008 年高考广东卷第 3 小题)已知平面向量 a =(1,2) , b =(-2,m) ,且 a ∥ b ,则 2 a + 3 b = (B ) B. (-4,-8) C. (-3,-6) D. (-2,-4) )

A. (-5,-10)

(x,1 ) ,b= (2009 年高考广东卷第 3 小题)已知平面向量 a= , 则向量 a ? b ( (-x, x 2)
A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线
2

【解析】 a ? b ? (0,1 ? x2 ) ,由 1 ? x ? 0 及向量的性质可知,C 正确. (2010 年高考广东卷第 5 小题)若向量 a =(1,1) , b =(2,5) , c =(3,x)满足条件 (8 a - b )〃 c =30, 则 x = (C) A.6 B.5 C.4 D.3

?

?

?

?

?

?

(2011 年高考广东卷第 3 小题)已知向量 a ? (1, 2), b ? (1,0), c ? (3, 4) .若 ? 为实 数, (a ? ?b) / / c, 则? ? (B) A.

1 4

B.

1 2

C.1

D. 2

(2012 年高考广东卷第 3 小题)若向量 AB ? (1, 2), BC ? (3, 4) ,则 AC ? (A) A. (4, 6) B. (?4, ?6) C. (?2, ?2) D. (2, 2)

(2012 年高考广东卷第 10 小题) 对任意两个非零的平面向量 ? , ? ,定义 ? ? ?

? ?? .若平面向量 ? ??

? ?? ?n ? a, b 满 足 a ? b ? 0 , a 与 b 的 夹 角 ? ? ? 0, ? , 且 ? ? 和 ? ? 都 在 集 合 ? | n ? Z ? 中 , 则 ? 4? ?2 ?
-3-

a b ? (D)
1 2 r r r r (2013 年高考广东卷第 10 小题)设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 , 关于向量 a 的分解, 有如下四个命题:
A. B. C. 1 D. ① 给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ② 给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ③ 给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ④ 给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ? b ? ? c . 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是(C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5 2

3 2

r
r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r



(2014 年高考广东卷第 3 小题)已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? 3,1? ,则 b ? a ? ( B ) A. ? ?2,1? B. ? 2, ?1? C. ? 2, 0 ? D. ? 4,3?

4.框图 2007 5分 2008 5分 2009 5分 2010 5分 2011 2012 5分 2013 5分 2014

(2007 年高考广东卷第 7 小题)图 1 是某县参加 2007 年高考的学生身高条形统计图, 从左到右的各条形 表示的学生人数依次记为 A . ,A2, ,A10 (如 A2 表示身高(单位:cm)在 ?150155 , ? 内的学生人数) 1 图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在 160~180cm(含 160cm,不含 180cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( B ) A. i ? 9 开始 输入 A ,A2, ,A10 1
600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50
145150155160165170175 180185190195

B. i ? 8

C. i ? 7

D. i ? 6
人数/人

s?0 i?4
i ? i ?1


s ? s ? Ai

身高/cm

输出s
否 结束
-4-

图1

图2

(2008 年高考广东卷第 13 小题)阅读下面的程序框图。若输入

m = 4,n = 3,则输出 a = _12___,i =__3___ 。 (注:框图
中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=” )

(2009 年高考广东卷第 11 小题)某篮球队 6 名主力队员在最近 三场比赛中投进的三分球个数如下表所示: 队员 i 三分球个数 1 2 3 4 5 6

a1

a2

a3

a4

a5

a6

图 1 是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,则图中判断框应填

i?6
s= a1 ? a2 ?

,输出的

? a6

( 注:框图中的赋值符号“ = ” 也可图 1 以写成“←”或“:=”), 【 答 案 】

i ? 6 , a1 ? a2 ?

? a6

【解析】顺为是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,所图中判断框应填

i ? 6 ,输出的 s= a1 ? a2 ?

? a6 .

(2010 年高考广东卷第 11 小题)某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年 的月均用水量进行了抽样调查,其中 4 位居民的月均用水量分别为 x1 ,…, x4 (单位:吨).根据图 2 所示的程序框图,若 x1 , x2 ,x3 ,x4 ,分别为 1,1.5 ,1.5 ,2 ,则输出的结果 s 为
-5-

3 2

.

(2012 年高考广东卷第 9 小题)执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为 (C) A. 105 B. 16 C. 15 D. 1

(2013 年高考广东卷第 5 小题)执行如图 1 所示的程序框图, 若输入 n 的值 为 3 ,则输出 s 的值是(C ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 7

5.函数 2007 24 分 2008 5分 2009 5分 2010 24 分 2011 15 分 2012 10 分 2013 5分 2014 5分

(2007 年高考广东卷第 3 小题)若函数 f ( x) ? x3 ( x ? R) ,则函数 y ? f (? x) 在其定义域上是( B ) A.单调递减的偶函数 C.单调递增的偶函数 B.单调递减的奇函数 D.单调递增的奇函数

(2007 年高考广东卷第 5 小题)客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地, 在乙地停留了半 小时,然后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 上时到达内地.下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到 达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中,正确的是( C ) s(km
16 ) 14 12 0 10 080 0 060

s(km
16 ) 14 12 0 10 080 0 060

s(km
16 ) 14 12 0 10 080 0 060

s(km
16 ) 14 12 0 10 080 0 060

2 (2007 年高考广东卷第 21 小题)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在

0 1 2 3 t(h 0 1 2 3 , 上有零点,求 区间 [ ?11] A. a 的取值范围. B . )

t(h 0 )

1

2

3

C.

t(h 0 )

1

2

3

D.

t(h )

21解: 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? 2 x ? 3 ,令 f ( x) ? 0 ? x ?

3 ? [?1,1] ,不符合题意, 故 a ? 0 2

?? ? 4 ? 8a(3 ? a) ? 0 ? 当 f ( x ) 在 [-1,1]上有一个零点时,此时 ? 或 f (?1) ? f (1) ? 0 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ?
-6-

解得 a ?

?3 ? 7 或1 ? a ? 5 2



?? ? 4 ? 8a(3 ? a) ? 0 ? 1 ? 解 得 f ( x) 在 [-1 , 1] 上 有 两 个 零 点 时 , 则 ??1 ? ? ?1 2 a ? ? ? f (?1) ? f (1) ? 0
7

? ?3 ? 7 ? ?3 或a ? ?a ? 2 2 ? 1 1 ? ?a ? ? 或a ? 2 2 ? ?a ? 1或a ? 5 ? ?
即a ?

?3 ? 7 或a ? 5 2 ?3 ? 7 ] [1, ??) 2
3 ? 2x 的值域, 2 x2 ?1

综上,实数 a 的取值范围为 (??,

(别解: 2ax2 ? 2x ? 3 ? a ? 0 ? (2 x2 ?1)a ? 3 ? 2 x ,题意转化为 x ?[?1,1] 求 a ? 令 t ? 3 ? 2 x ? [1,5] 得 a ?

2 转化为勾函数问题) 7 t ? ?6 t

(2008 年高考广东卷第 8 小题)命题“若函数 f ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数,则

loga 2 ? 0 ”的逆否命题是(



A. 若 loga 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数 B. 若 loga 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数 C. 若 loga 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数 D. 若 loga 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数
x (2009 年高考广东卷第 4 小题)若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a 的反函数,且 f (2) ? 1 , ( a>0,且a ? 1 )

则 f ( x) ?

A. log2 x

B.

1 2x

C. log1 x
2

D.2

x?2

x 【答案】 A 【解析】 函数 y ? a 的反函数是 f ( x) ? loga x ,又 f (2) ? 1 ,即 loga 2 ? 1 , ( a>0,且a ? 1 )

-7-

所以, a ? 2 ,故 f ( x) ? log2 x ,选 A. (2010 年高考广东卷第 2 小题)函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是 B A.(2, ?? ) B.(1, ?? ) C.[1, ?? ) D.[2, ?? )

(2010 年高考广东卷第 3 小题)若函数 f ( x) ? 3x ? 3? x 与 g ( x) ? 3x ? 3? x 的定义域均为 R ,则 D A. f ( x ) 与 g ( x) 均为偶函数 C. f ( x ) 与 g ( x) 均为奇函数 B. f ( x ) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x ) 为偶函数, g ( x) 为奇函数

(2010 年高考广东卷第 20 小题)已知函数 f ( x ) 对任意实数 x 均有 f ( x) ? kf ( x ? 2) ,其中常数 k 为负 数,且 f ( x ) 在区间 ?0, 2? 上有表达式 f ( x) ? x( x ? 2) . (1)求 f (?1) , f (2.5) 的值; (2)写出 f ( x ) 在 ? ?3,3? 上的表达式,并讨论函数 f ( x ) 在 ? ?3,3? 上的单调性; (3)求出 f ( x ) 在 ? ?3,3? 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. 20.解: (1)∵ f ( x) ? kf ( x ? 2) ,且 f ( x) 在区间[0,2]时 f ( x) ? x( x ? 2) ∴ f (?1) ? kf (?1 ? 2) ? kf (1) ? k ? 1 ? (1 ? 2) ? ?k

1 f ( x) k 1 1 3 ∴ f (2.5) ? f (0.5 ? 2) ? f (0.5) ? ? 0.5 ? (0.5 ? 2) ? ? k k 4k 1 1 1 (2)若 x ? [0,2] ,则 x ? 2 ? [2,4] f ( x ? 2) ? f ( x) ? x( x ? 2) ? [( x ? 2) ? 2][( x ? 2) ? 4] k k k 1 ∴当 x ? [2,4] 时, f ( x ) ? ( x ? 2)( x ? 4) k
由 f ( x) ? kf ( x ? 2) 得 f ( x ? 2) ? 若 x ? [?2,0) ,则 x ? 2 ? [0,2) ∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? kx( x ? 2) 若 x ? [?4,?2) ,则 x ? 2 ? [?2,0)
2

∴ f ( x ? 2) ? ( x ? 2)[(x ? 2) ? 2] ? x( x ? 2)

∴ f ( x ? 2) ? k ( x ? 2)[(x ? 2) ? 2] ? k ( x ? 2)(x ? 4)

∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? k ( x ? 2)(x ? 4) ∵ (2,3] ? [2,4],[?3,?2) ? [?4,?2)

-8-

?k 2 ( x ? 2)(x ? 4), x ? [?3,?2) ? kx( x ? 2), x ? [?2,0) ? ∴当 x ? [?3,3] 时, f ( x) ? ? x( x ? 2), x ? [0,2] ? 1 ? ( x ? 2)(x ? 4), x ? (2,3] ? k
∵ k ? 0 ,∴当 x ? [?3,?2) 时, f ( x) ? k 2 ( x ? 2)(x ? 4) ,由二次函数的图象可知, f ( x) 为增函数; 当 x ? [?2,0) 时, f ( x) ? kx( x ? 2) ,由二次函数的图象可知, 当 x ? [?2,?1) 时, f ( x) 为增函数, 当 x ? [?1,0) 时, f ( x) 为减函数; 当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? x( x ? 2) ,由二次函数的图象可知,当 x ? [0,1) 时, f ( x) 为减函数; 当 x ? [1,2] 时, f ( x) 为增函数; 当 x ? (2,3] 时, f ( x ) ?

1 ( x ? 2)( x ? 4) ,由二次函数的图象可知, f ( x) 为增函数。 k

(3)由(2)可知,当 x ? [?3,3] 时,最大值和最小值必在 x ? ?3 或 ? 1,1,3 处取得。 (可画图分析)
2 ∵ f (?3) ? ?k , f (?1) ? ?k , f (1) ? ?1 , f (3) ? ?

1 k

∴当 ? 1 ? k ? 0 时, y max ? f (3) ? ?

1 , y min ? f (1) ? ?1; k

当 k ? ?1 时, ymax ? f (?1) ? f (3) ? 1, ymin ? f (?3) ? f (1) ? ?1; 当 k ? ?1 时, ymax ? f (?1) ? ?k , ymin ? f (?3) ? ?k 2 . (2011 年高考广东卷第 4 小题)函数 f ( x) ? A. (??, ?1) B. (1, ??)

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是 C 1? x
C. (?1,1)

(1, ??)

D. (??, ??)

(2011 年高考广东卷第 10 小题)设 f ( x), g ( x), h( x) 是 R 上的任意实值函数,如下定义两个函数

( f g )( x)和( f ? g )( x) : 对任意 x ? R,( f g )( x) ? f ( g ( x));( f ? g )( x) ? f ( x) g ( x), 则下列等式
恒成立的是 B A. (( f C. (( f

g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ( g ? h))( x) g ) h)( x) ? (( f h) ( g h))( x)
3

B. (( f ? g ) h)( x) ? (( f

h) ? ( g h))( x)

D. (( f ? g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ? ( g ? h))( x) -9 .

(2011 年高考广东卷第 12 小题)设函数 f ( x) ? x cos x ? 1.若f (a) ? 11, 则f (?a) ? (2012 年高考广东卷第 4 小题)下列函数为偶函数的是(D)
-9-

A. y ? sin x

B. y ? x3

C. y ? e x

D. y ? ln

x2 ? 1
x ?1 x
的 定 义 域 为

(2012

年 高 考 广 东 卷 第

11

小 题 ) 函 数

y?

________________________. [?1,0) ? (0,??) (2013 年高考广东卷第 2 小题)函数 y ? A.

lg ? x ? 1? 的定义域是(C x ?1
C.



? ?1, ???
1 2x

B.

??1, ???

? ?1,1? ?1, ???


D.

??1,1? ?1, ???

(2014 年高考广东卷第 5 小题)下列函数为奇函数的是( A
x A. 2 ?
3 B. x sin x

C. 2 cos x ? 1

2 x D. x ? 2

6.导数 2007 5分 2008 17 分 2009 19 分 2010 14 分 2011 14 分 2012 14 分 2013 19 分 2014 19 分

(2007 年高考广东卷第 12 小题)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是 .

?1 ? , ?? ? ? ?e ?

(2008 年高考广东卷第 9 小题)设 a∈R,若函数 y ? e x ? ax ,x∈R 有大于零的极值点,则(
x



【解析】 题意即 e ? a ? 0 有大于 0 的实根,数形结合令 y1 ? ex , y2 ? ?a ,则两曲线交点在第一象限,结 合图像易得 ? a ? 1 ? a ? ?1,选 A. A. a < -1 B. a > -1 C. a < -1/e D. a > -1/e (2008 年高考广东卷第 17 小题)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560 + 48x(单位:元) 。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平 均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用,平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积) 。 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

f ? x ? ? ? 560 ? 48 x ? ? f ? ? x ? ? 48 ?

2160 ?10000 10800 x ? 10, x ? Z ? ? ? 560 ? 48 x ? ? 2000 x x

10800 x ? 15 , 令 f ? ? x? ? 0 得 x2 当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0
因此 当 x ? 15 时,f(x)取最小值 f ?15? ? 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 (2009 年高考广东卷第 8 小题)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是
x

- 10 -

A. (??,2)

B.(0,3)

C.(1,4)

D. (2,??)

【答案】D 【解析】 f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) e x (2009 年高考广东卷第 21 小题)

? ?? ? ( x ? 2)e

x

,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D

已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x =-1 处取得最小值 m- 1(m ? 0 ).设函数 f ( x ) ?

g ( x) x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 【解析】 (1)设 g ? x ? ? ax ? bx ? c ,则 g? ? x ? ? 2ax ? b ;
2

又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,

? 2a ? 2


a ?1

?

b ? ?1 2

b?2

? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1? 2 ? c ? m ?1,
f ? x? ?
2

c ? m;

g ? x? m ? x? ?2, x x
2 0 2 2 0

设 P xo , yo
2

?

?

则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m 2 ? 2 x0 ? x0 ?

?2 2m2 ? 2 ? 4

m??

2 ; 2

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ?

m ?2?0, 得 ?1? k ? x2 ? 2x ? m ? 0 x m m 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m
函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

?*?

;若 m ? 0 ,

k ? 1?

1 ?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; ? m 2 ?1 ? k ? k ?1

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ?

k ? 1?

1 , m

1 k ?1
- 11 -

(2010 年高考广东卷第 21 小题) 已知曲线 Cn:y ? nx2 ,点 P n ( xn , yn )( xn ? 0, yn ? 0) 是曲线 Cn 上的点(n=1,2,…). (1)试写出曲线 Cn 在点 P n 处的切线 l n 的方程,并求出 l n 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; (2)若原点 O (0, 0) 到 ln 的距离与线段 P (3) nQn 的长度之比取得最大值,试求试点 P n 的坐标 ( xn , yn ); 设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, xn 与 yn 是满足(2)中条件的点 P n 的坐标, 证明:

?
n ?1

s

(m ? 1) xn ? (k ? 1) yn ? 2

ms ? ks (s ? 1, 2,?)

21.解: (1) y ? ? 2nx ,设切线 l n 的斜率为 k ,则 k ? y ? | x ? xn ? 2nxn ∴曲线 C n 在点 Pn 处的切线 l n 的方程为: y ? yn ? 2nxn ( x ? xn ) 又∵点 Pn 在曲线 C n 上, ∴ yn ? nxn
2

∴曲线 C n 在点 Pn 处的切线 l n 的方程为: y ? nxn ? 2nxn ( x ? xn ) 即 2nxn x ? y ? nxn ? 0 令 x ? 0 得 y ? ?nxn ,∴曲线 C n 在 y 轴上的交点 Qn 的坐标为 (0,?nxn ) (2)原点 O(0,0) 到直线 l n 的距离与线段 Pn Qn 的长度之比为:
2 2

2

2

| ?nxn | 4n 2 x n ? 1 x n ? (nxn ? nxn ) 2
2 2 2 2

2

?

nxn 1 ? 4n x n
2 2

?

1 1 ? 4nxn nxn

?

1 4
1 1 , ) 2n 4n

当且仅当

1 1 1 2 时, 取等号。 此时,y n ? nx n ? ? 4nxn 即 x n ? 2n 4n nxn

故点 Pn 的坐标为 (

(3)证法一:要证

?|
n ?1

s

(m ? 1)x n ? (k ? 1) y n | ?| ms ? ks | (s ? 1,2,?) 2
s

只要证

m ?1 ? k ?1 ?
n ?1

1 2 n

? s | m ? k | (s ? 1,2,?)

只要证

?2
n ?1

s

1 n
1

? s?

m ?1 ? k ?1 m? k
1 n ? n ?1

(s ? 1,2,?) m ?1 ? k ?1 m? k

?

1 2 n
s

?

n? n

?

? n ? n ? 1 ,又?

?1

所以: ?
n ?1

1 2 n

? 1 ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( s ? s ? 1) ? s (s ? 1,2,?) ? s ? m ? 1 ? k ? 1 (s ? 1,2,?)
m? k
- 12 -

(2011 年高考广东卷第 19 小题) 设 a ? 0, 讨论函数 f ( x) ? Inx ? a(1 ? a) x2 ? 2(1 ? a) x的单调性。 解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??).

f ?( x) ?

2a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 , x

当a ?1 时,方程2a(1-a)x2 ? 2(1 ? a) x ? 1 ? 0 的判别式 ①当 0 ? a ?

1? ? ? ? 12(a ? 1) ? a ? ? . 3? ?

1 时, ? ? 0, f ?( x) 有两个零点, 3

x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? ? 0, x2 ? ? 2a 2a(1 ? a) 2a 2a(1 ? a)

且当 0 ? x ? x1或x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, x1 )与( x2 , ??) 内为增函数; 当 x1 ? x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在( x1 , x2 ) 内为减函数;

1 ? a ? 1时, ? ? 0, f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(0, ??) 内为增函数; 3 1 ③当 a ? 1时, f ?( x) ? ? 0( x ? 0), f ( x)在(0, ??) 内为增函数; x
②当 ④当 a ? 1 时, ? ? 0, x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) 1 ? ? 0, 2a 2a(1 ? a)

x2 ?

(a ? 1)(3a ? 1) 1 ? ? 0, 所以f ?( x) 在定义域内有唯一零点 x1 , 2a 2a(1 ? a)

且当 0 ? x ? x1时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, x1 ) 内为增函数; 当 x ? x1 时, f ?( x) ? 0, f ( x)在( x1 , ??) 内为减函数。

f ( x) 的单调区间如下表:
1 ? a ?1 3
a ?1

0?a?

1 3

(0, x1 )

( x1 , x2 )

( x2 , ??)

(0, ??)

(0, x1 )

( x1 , ??)

(其中 x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ) ? , x2 ? ? 2a 2a(1 ? a) 2a 2a(1 ? a)

(2012 年高考广东卷第 21 小题)(本小题满分 14 分)
2 设 0 ? a ? 1 ,集合 A ? x ? R x ? 0 , A ? x ? R 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 , D ? A

?

?

?

?

B.

(1) 求集合 D (用区间表示) ; (2) 求函数 f ( x) ? 2x ? 3(1 ? a) x ? 6ax 在 D 内的极值点.
3 2

- 13 -

解: (1)集合 B 解集:令 2x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 (1):当

? ? [?3(1 ? a)]2 ? 4 ? 2 ? 6a ? 3(3a ? 1)(a ? 3)

1 ? ? 0 时,即: ? a ? 1时 ,B 的解集为: {x | x ? R} 3

此时 D ? A ? B ? A ? {x ? R | x ? 0) (2)当 ? ? 0时,解得 a ?

1 , (a ? 3舍去) 3

此时,集合 B 的二次不等式为: 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,
2

( x ? 1)2 ? 0 ,此时,B 的解集为: {x ? R, 且x ? 1}
(3)当 ? ? 0时, 即0 ? a ? 此时方程的两个根分别为:

故: D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??)

1 ( a ? 3舍去) 3

x1 ?

( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 4
1 0 ? a ? 时, x2 ? x1 ? 0 3

x2 ?

( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 4

很明显, 故此时的

D ? A? B ? (0, x1 ) ? ( x2 ,??) ( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) )?( ,??) 4 4 1 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 综上所述:当 0 ? a ? 时, D ? (0, ( )?( ,??) 3 4 4 1 1 当 a ? 时, D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??) 当 ? a ? 1时 , D ? {x ? R | x ? 0) 3 3 ? (0,
(2) 极值点,即导函数的值为 0 的点。 f ?( x) ? 0

f ?( x) ? 6x2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 0 即 x2 ? (1 ? a) x ? a ? 0
此时方程的两个根为: (ⅰ)当 0 ? a ?

( x ? a)(x ? 1) ? 0

x1 ? a x2 ? 1

1 时, D ? (0, x1 ) ? ( x2 ,??) 3

( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 即:D ? (0, ) ?( ,??) 4 4

3 ? a ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 4 将分子做差比较: (3 ? a) 2 ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ? 8a(3 ? a) x1 ? a ? 1 Q 0 ? a ? ? 8a(3 ? a) ? 0 ? x1 ? a 3
- 14 -

故当 x ? a,是一个极值点

x1 ? 1 ?

( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) (3a ? 1) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ?1 ? 4 4
分子做差比较:
2

(3a ?1) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) ? 8(3a ?1) ? 0

所以 x1 ? 1

又 x2

?1 ?

( 3 1 ? a) ? 3(1 ? 3a)(3 ? a) 3(1 ? 3a)(3 ? a) ? (1 ? 3a) ?1 ? 4 4

分子做差比较法:

3(1 ? 3a)(3 ? a) ? (1 ? 3a)2 ? 8(1 ? 3a) ? 0 ,
(ⅱ) 当a

故 x2

? 1 ,故此时 x ? 1 时的根取不到,

?

1 1 16 ) 时, D ? A ? B ? (0,1) ? (1,??) ,此时,极值点取不到 x=1 极值点为( , ? 3 27 3
和a

(ⅲ) 当

1 ? a ? 1时 , D ? {x ? R | x ? 0) ,极值点为: 1 3 1 ? a ? 时, f ( x) 有 1 个 极值点a, 3
和a

总上所述: 当0 当

1 ? a ? 1时 , f ( x) 有 2 个极值点分别为 1 3

(2013 年 高 考 广 东 卷 第 12 小 题 ) 若 曲 线 y ? ax ? ln x 在 点 ?1, a ? 处 的 切 线 平 行 于 x 轴 , 则
2

a =___

1 2

__________;

(2013 年高考广东卷第 21 小题)设函数 f ? x ? ? x ? kx ? x ? k ? R ? .
3 2

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数在 [k , ?k ] 上的最小值 m 和最大值 M . 21. 解: f
'

? x? ? 3x2 ? 2kx ?1
'

(1)当 k ? 1 时 f

? x? ? 3x2 ? 2x ?1, ? ? 4 ?12 ? ?8 ? 0
k
k 3

? f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增.
(2) 当 k ? 0 时,f
'

其开口向上, 对称轴 x ? ? x? ? 3x2 ? 2kx ?1,

k , 3

-k

1? 且过 ? 0,
- 15 -

x?

k

(i)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3
2

?

??k ? 3 ?? 0 ,即 ?

' 3 ? k ? 0 时, f ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上

单调递增, 从而当 x ? k 时, f ? x ? 取得最小值 m ? f ? k ? ? k , 当 x ? ? k 时, f ? x ? 取得最大值 M ? f ? ?k ? ? ?k ? k ? k ? ?2k ? k .
3 3 3

(ii)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3
2

?

??k ? 3 ? ? 0 ,即 k ? ?

' 2 3 时,令 f ? x ? ? 3x ? 2kx ?1 ? 0

解得: x1 ?

k ? k2 ?3 k ? k 2 ? 3 ,注意到 k ? x ? x ? 0 , , x2 ? 2 1 3 3
1 2k ? k ,从而 k ? x2 ? x1 ? 0 ;或者由对称结合图像判 , x1 ? x2 ? 3 3

(注:可用韦达定理判断 x1 ? x2 ? 断)

?m ? min ? f ? k ? , f ? x1 ??, M ? max ? f ? ?k ? , f ? x2 ??
f ? x1 ? ? f ? k ? ? x13 ? kx12 ? x1 ? k ? ? x1 ? k ? ? x12 ? 1? ? 0

? f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,
3 2 f ? x2 ? ? f ? ?k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? ? ?k 3 ? k ? k 2 ? k ? = ? x2 ? k ? [? x2 ? k ? ? k 2 ? 1] ? 0 2

? f ? x ? 的最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k
综上所述,当 k ? 0 时, f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k
3

解法 2(2)当 k ? 0 时,对 ?x ?? k , ?k ? ,都有

f ( x) ? f (k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x2 ? 1)( x ? k ) ? 0 ,故 f ? x ? ? f ? k ? f ( x) ? f (?k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x ? k )( x2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1) ? ( x ? k )[( x ? k )2 ? k 2 ? 1] ? 0
故 f ? x ? ? f ? ?k ? ,而 f (k ) ? k ? 0 , f (?k ) ? ?2k 3 ? k ? 0 所以 f ( x)max ? f (?k ) ? ?2k 3 ? k , f ( x)min ? f (k ) ? k

(2014 年高考广东卷第 11 小题)曲线 y ? ?5e ? 3 在点 ? 0, ?2? 处的切线方程为________.
x

【答案】 y ? ?5x ? 2 或 5 x ? y ? 2 ? 0 .

(2014 年高考广东卷第 21 小题)已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1 ? a ? R ? . 3

- 16 -

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,试讨论是否存在 x0 ? ? 0, 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
2 【解析】(1) f ? ? x ? ? x2 ? 2x ? a ,方程 x ? 2 x ? a ? 0 的判别式为 ? ? 4 ? 4a ,

? ?

1? ?1 ? ?1? ? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? f ? ? . 2? ?2 ? ?2?

①当 a ? 1 时, ? ? 0 ,则 f ? ? x ? ? 0 ,此时 f ? x ? 在 R 上是增函数; ②当 a ? 1 时,方程 x ? 2 x ? a ? 0 的两根分别为 x1 ? ?1 ? 1 ? a , x2 ? ?1 ? 1 ? a ,
2

解不等式 x ? 2 x ? a ? 0 ,解得 x ? ?1 ? 1 ? a 或 x ? ?1 ? 1 ? a ,
2

解不等式 x ? 2 x ? a ? 0 ,解得 ?1 ? 1 ? a ? x ? ?1 ? 1 ? a ,
2

此时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ??, ?1 ? 1 ? a 和 ?1 ? 1 ? a , ?? , 单调递减区间为 ?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a ; 综上所述,当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? ??, ??? , 当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ??, ?1 ? 1 ? a 和 ?1 ? 1 ? a , ?? , 单调递减区间为 ?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a ;
3 2 1 ?? 1 ? ? 1 ? 1 ? ?1? 1 3 2 (2) f ? x0 ? ? f ? ? ? x0 ? x0 ? ax0 ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? a ? ? 1? 3 ? 2 ? ?2? 3 ?? 2 ? ? 2 ? ?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

1? 3 ?1? ? ? x0 ?? ? 3? ?2? ?

3

? ? 2 ? 1 ?2 ? 1? ? ? ? ? x0 ? ? ? ? ? a ? x0 ? ? 2? ?2? ? ? ? ? ? ? ?

1? 1 ? ? 2 x0 1 ? ? 1 ?? 1? 1? ? ? ? x0 ? ? ? x0 ? ? ? ? ? x0 ? ?? x0 ? ? ? a ? x0 ? ? 3? 2 ?? 2 4? ? 2 ?? 2? 2? ?

? 1 ? ? x2 x 1 1 ? ? ? x0 ? ? ? 0 ? 0 ? ? x0 ? ? a ? 2 ? ? 3 6 12 2 ? ?
?
若存在 x0 ? ? 0,

1? 1? 2 ? x0 ? ? ? 4 x0 ? 14 x0 ? 7 ? 12a ? , 12 ? 2?

? ?

1? ?1 ? ?1? ? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? f ? ? , 2? ?2 ? ?2?

2 必须 4x0 ?14x0 ? 7 ?12a ? 0 在 ? 0, ?

? ?

1? ?1 ? ? ,1? 上有解, 2? ?2 ?

a ? 0 ,?? ? 142 ?16 ? 7 ?12a ? ? 4 ? 42 ? 48a ? ? 0 ,
- 17 -

?? 方程的两根为 x1

?14 ? 2 21 ? 48a ?7 ? 21 ? 48a , ? 8 4 ?14 ? 2 21 ? 48a ?7 ? 21 ? 48a ?? , x2 ? 8 4

?? x0 ? 0 ,? x0 ? x2
依题意, 0 ?

?7 ? 21 ? 48a , 4

?7 ? 21 ? 48a ? 1 ,即 7 ? 21 ? 48a ? 11 , 4
25 7 ?a?? , 12 12

? 49 ? 21 ? 48a ? 121 ,即 ?
又由

5 ?7 ? 21 ? 48a 1 ? 得a ? ? , 4 4 2
5 , 4

故欲使满足题意的 x0 存在,则 a ? ? 所以,当 a ? ? ?

? 25 5 ? ? 5 7 ? ? 1? ?1 ? , ? ? ? ? , ? ? 时,存在唯一 x0 ? ? 0, ? ? ,1? 学科网满足 ? 12 4 ? ? 4 12 ? ? 2? ?2 ? ?1? f ? x0 ? ? f ? ? , ?2? ? ? 25 ? ? 5 ? ? 7 ? ? 1? ?1 ? ?1? ?? ? ?? , 0 ? 时,不存在 x0 ? ? 0, ? ? ,1? 满足 f ? x0 ? ? f ? ? . ? 12 ? ? 4 ? ? 12 ? ? 2? ?2 ? ?2?

当 a ? ? ??, ?

【考点定位】本题以三次函数为考查形式,考查利用导数求函数的单调区间,从中渗透了利用分类讨 论的思想处理含参函数的单调区间问题,并考查了利用作差法求解不等式的问题,综合性强,属于

难题.

7.三角函数与解三角形 2007 17 分 2008 17 分 2009 22 分 2010 19 分 2011 12 分 2012 17 分 2013 17 分 2014 17 分

(2007 年高考广东卷第 9 小题)已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ? 该简谐运动的最小正周期 T 和初相 ? 分别为( A ) A. T ? 6 , ? ?

π? ?π ?? 1) ,则 x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 (0, 2? ?3 ??

π 6

B. T ? 6 , ? ?

π 3

C. T ? 6 π , ? ?

π 6

D. T ? 6 π , ? ?

π 3

4) , B(0, 0) , C (c, 0) . (2007 年高考广东卷第 16 小题)已知 △ ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3,
(1) 若 AB ? AC ? 0 ,求 c 的值; (2)若 c ? 5 ,求 sin ?A 的值.

- 18 -

16.解: (1)

AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4)
25 3

?

AB ? AC ? ?3(c ? 3) ? 16 ? 25 ? 3c ? 0 得 c ?
(2)

AB ? (?3, ?4)

AC ? (2, ?4)
2 5 5

? cos ?A ?

AB ? AC AB ? AC

?

?6 ? 16 1 ? 5 20 5

?sin ?A ?

1 ? cos 2 ?A ?

(2008 年高考广东卷第 5 小题)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x , x ? R ,则 f ( x ) 是( D ) A. 最小正周期为π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 B. 最小正周期为π/2 的奇函数 D. 最小正周期为π/2 的偶函数

x ? R 的最大值是 1, (2008 年高考广东卷第 16 小题)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) ,

3/5 其图像经过点 M (π/3, 1/2) 。 (1) 求 f ( x ) 的解析式; (2) 已知 ? 、? ? (0, ? / 2) , 且 f (?) ? f ( ? ) ? 12 /13 ,求 f (? ? ? ) 的值。
16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )(a ? 0,0 ? ? ? ? ), x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ( (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? (0,



? 1

3 12 ) ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? , 求 f (? ? ? ) 的值。 2 5 13 ? 1 ? 1 【解析】 ( 1 )依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin(x ? ? ) ,将点 M ( , ) 代入得 sin( ? ? )? ,而 3 2 3 2 ? 5 ? ? 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2 3 1 2 ? c ?o? s ? ? , c ( 0,, ( 2 ) 依 题 意 有 , o而 s ? , ? ? 5 1 3 2 3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13 3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65
(2009 年高考广东卷第 7 小题)已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a,b,c 若 a=c= 6 ? 2 且

?

, )。 3 2

)

?A ? 75o ,则 b=
A.2 B.4+ 2 3 C.4— 2 3
0 0

D. 6 ? 2
0 0 0 0 0

【答案】A 【解析】 sin A ? sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? sin 45 cos30 ?

2? 6 4

- 19 -

由 a=c= 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ?
0 0

1 2

由正弦定理得 b ?

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4
2

(2009 年高考广东卷第 8 小题)函数 y ? 2 cos ( x ? A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

?
4

) ? 1是

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

【答案】A 【解析】因为 y ? 2cos 2 ( x ? 选 A. (2009 年高考广东卷第 16 小题)

?

2? ?? ? ? ? ,所以 ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? 2 4 2? ?

已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

?
2

)

? ,求 cos ? 的值 2

【解析】 (1) Q a ? b ,? a g b ? sin ? ? 2cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

v

v

v v

1 4 2 ,∴ sin ? ? 5 5



? 2 5 5 ? ? (0, ) ? sin ? ? , cos ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

?cos ? ? sin ?

, ?cos

2

? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? , 即 cos 2 ? ?

1 2



0 ?? ?

? 2

, ∴

cos ? ?

2 2

(2010 年高考广东卷第 13 小题) .已知 a, b, c 分别是△ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边, 若 a=1, b= 3 , A+C=2B, 则 sinA= (2010 年高考广东卷第 16 小题) 设函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ?

1 2

.

? ?

??

? ? , ?>0 , x ? ? ??, ??? ,且以 2 为最小正周期. 6?
?? ? ? 9 ? ? ? ,求 sin ? 的值. ? 4 12 ? 5

(1) 求 f ? 0 ? ; (2)求 f ? x ? 的解析式; (3)已知 f ?
- 20 -

16.解: (1)由已知可得: f (0) ? 3 sin (2)∵ f ( x) 的周期为

?
6

?

? 2? ? ? ? ,即 ∴? ? 4 故 f ( x) ? 3 sin( 4 x ? ) ? 2 6 2 a ? a ? ? ? (3)∵ f ( ? ) ? 3 sin[ 4 ? ( ? ) ? ] ? 3 sin( a ? ) ? 3 cos a 4 12 4 12 6 2
∴由已知得: 3 cos a ? 故 sin a 的值为

3 2

9 3 即 cos a ? 5 5

∴ sin a ? ? 1 ? cos a ? ? 1 ? ( ) ? ?
2 2

3 5

4 5

4 4 或? 5 5
已知函数 f ( x) ? 2sin( x ?

(2011 年高考广东卷第 16 小题) (1) 求 f (0) 的值; (2) 设 ? , ? ? [0,

1 3

?
6

), x ? R

?

? 10 6 ], f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 求 sin(? ? ? )的值. 2 2 13 5
? ? ?? ? ? ?2sin 6 ? ?1 ; ? 6?

16. (本小题满分 12 分) 解: (1) f (0) ? 2sin ? ?

(2)

10 ?? ?1 ? ?? ?? ? ? f ? 3? ? ? ? 2sin ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2sin ? , 13 2? 2? 6? ? ?3 ?

6 ?? ?? ?1 ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin ? ? (3? ? 2? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? , 5 6? 2? ?3 ?
? sin ? ? 5 3 , cos ? ? , 13 5
2

12 ?5? ? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ? ? ? , 13 ? 13 ?
故 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? (2012 年高考广东卷第 6 小题)

4 ?3? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
5 3 12 4 63 ? ? ? ? . 13 5 13 5 65
° °

2

在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC =(B)

A. 4 3

B. 2 3

C.

3

D.

3 2

(2012 年高考广东卷第 6 小题)(本小题满分 12 分)

已知函数

f ( x) ? A cos(

. x ? x ? R ,且 ? ? ), f( )? 2 4 6 3

(1) 求 A 的值;
- 21 -

(2) 设 ? , ? ? [0,

?
2

], f (4? ?

4? 30 2? 8 ) ? ? , f (4? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 17 3 5

word 版 2011 年高考数学广东卷首发于数学驿站:析 解:

? 1 ? ? ? 2 f ( ) ? A cos( ? ? ) ? A cos ? A ? ? 2 ? A?2 3 4 3 6 4 2
4 1 4 ? ? 30 15 f (4? ? ? ) ? 2 cos[ (4? ? ? ) ? ] ? 2 cos(? ? ) ? ?2sin ? ? ? ? sin ? ? 3 4 3 6 2 17 17 2 1 2 ? 8 4 f (4 ? ? ? ) ? 2 cos[ (4 ? ? ? ) ? ] ? 2 cos ? ? ? cos ? ? 3 4 3 6 5 5 由于?,? ? [0, ], 2 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ( 15 2 8 ) ? 17 17

?

(2) :

4 3 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? 5 5 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?
(2013 年高考广东卷第 4 小题)已知 sin ? A. ?

8 4 15 3 13 ? ? ? ?? 17 5 17 5 85

? 5? ? 1 ? ? ? ? ,那么 cos? ? ( C ) ? 2 ? 5
C.

2 5

B. ?

1 5

1 5

D.

2 5

(2013 年高考广东卷第 16 小题)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3?
3 ?? ? 3? ? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 f ? ? ? ? . 5 6? ? 2 ? ?

(2) 若 cos ? ?

16. 解:(1) f ?

?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 1 ?3? ? 3 12 ? ?4?

(2)

4 3 ? 3? ? cos ? ? , ? ? ? , 2? ? , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? f ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?

- 22 -

“a ? b” (2014 年高考广东卷第 7 小题)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的变分别为 a 、 b 、 c ,则 “sin A ? sin B” 是 的(
A.充分必要条件 C.必要非充分条件 【解析】由正弦定理得 ) B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

a b ? ? 2 R (其中 R 为 ?ABC 外接圆的半径) ,则 a ? 2 R sin A , sin A sin B

b ? 2 R sin B , a ? b ? 2 R sin A ? 2 R sin B ? sin A ? sin B ,因此 “a ? b” “sin A ? sin B” 是 的充
分必要必要条件,故选 A. (2014 年高考广东卷第 16 小题)(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? A sin ? x ?

? ?

??

? , x ? R ,且 3?

? 5? ? 3 2 . f ? ?? 2 ? 12 ?
(1)求 A 的值; (2)若 f

?? ? ? f ? ?? ? ?

? ?? ?? ? 3 , ? ? ? 0, ? ,求 f ? ? ? ? . ? 2? ?6 ?

【解析】 (1)

?? ? ? 5? ? 3 2 , f ? x ? ? A sin ? x ? ? ,且 f ? ? ? 3? 2 ? ? 12 ?

3? 2 3 2 ? 5? ? ? 5? ? ? ,? A ? 3 ; ? f ? ? ? A sin ? ? ? ? A sin ? A? ? 4 2 2 ? 12 ? ? 12 3 ?
(2)

?? ? f ? x ? ? 3sin ? x ? ? ,且 f ?? ? ? f ? ?? ? ? 3 , 3? ?

?? ?? ? ? ? f ?? ? ? f ? ?? ? ? 3sin ?? ? ? ? 3sin ? ?? ? ? 3? 3? ? ?
?? ? ?? ? ? ? ?? ? 3 ?? sin ? cos ? cos ? sin ? ? ? sin cos ? ? cos sin ? ? ? 3 3? ? 3 3 ?? ??
? 3 ? 2sin ? cos

?
3

? 3sin ? ? 3 ,

?sin ? ?

3 ? ?? ,且 ? ? ? 0, ? , 3 ? 2?

- 23 -

? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?

6 , 3

?? ?? ? ?? ?? ? ? f ? ? ? ? ? 3sin ? ? ? ? ? ? 3sin ? ? ? ? ? 3cos ? ? 6 . 3? ?6 ? ?6 ?2 ?

8.不等式 2007 2008 22 分 (2008 年高考广东卷第 10 小题) 设 a、b∈R,若 a - |b| > 0,则下列不等式中正确的是(D A. b - a > 0 B. a + b
3 3

2009

2010 12 分

2011 10 分

2012 5分

2013 5分

2014 5分

) D. b + a > 0

< 0

C. a - b

2

2

< 0

(2008 年高考广东卷第 12 小题)

?2 x ? y ? 40 ? x ? 2 y ? 50 ? 若变量 x、y 满足 ? ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是__70_____。 x ? 0 ? ? ?y ? 0
(2008 年高考广东卷第 17 小题)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费 用为 560 + 48x (单位: 元) 。 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少, 该楼房应建为多少层? (注: 平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用,平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积) 。 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

f ? x ? ? ? 560 ? 48 x ? ?
f ? ? x ? ? 48 ?

2160 ?10000 10800 x ? 10, x ? Z ? ? ? 560 ? 48 x ? ? 2000 x x

10800 x ? 15 , 令 f ? ? x? ? 0 得 x2 当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0
因此 当 x ? 15 时,f(x)取最小值 f ?15? ? 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 (2010 年高考广东卷第 19 小题) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物, 6 个单位 的蛋白质和 6 个单位的维生素 C ;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C .另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋 白质和 54 个单位的维生素 C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上
- 24 -

述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 19.解:设应当为该儿童分别预订 x 个单位的午餐, y 个单位的晚餐,所花的费用为 z ,则依题意得:

?12 x ? 8 y ? 64 ? 3 x ? 2 y ? 16 ? 0 ? 6 x ? 6 y ? 42 ? x ? y ? 7 ? 0 ? ? ? ? x, y 满足条件 ?6 x ? 10 y ? 54 即 ?3 x ? 5 y ? 27 ? 0 , ? ? x? N x? N ? ? y?N y?N ? ? ? ?
目标函数为 z ? 2.5 x ? 4 y , 作出二元一次不等式组所表示的平面区域(图略) ,把 z ? 2.5 x ? 4 y 变形为 y ? ? 到斜率为 ?

5 z x ? ,得 8 4

5 z ,在 y 轴上的截距为 ,随 z 变化的一族平行直线. 8 4 5 z 由图可知,当直线 y ? ? x ? 经过可行域上的点 M (即直线x ? y ? 7 ? 0与直线3x+5y-27=0的交点)时截距 8 4 最小,即 z 最小.
解方程组: ?

? x? y ?7 ? 0 , 得点 M 的坐标为 x ? 4, y ? 3 ?3x ? 5 y ? 27 ? 0

所以, z min ? 22

答:要满足营养要求,并花费最少,应当为该儿童分别预订 4 个单位的午餐,3 个单位的晚餐,此花的 费用最少为 22 元. (2011 年高考广东卷第 5 小题)不等式 2 x ? x ? 1 ? 0 的解积是 D
2

A. ( ?

1 ,1) 2

B. (1, ??)

C. (??,1)

(2, ??)

D. (??, ? )

1 2

(1, ??)

?0 ? x ? 2 ? (2011 年高考广东卷第 6 小题)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定,若 ? ?x ? 2 y
M ( x, y) 为 D 上的动点,点 A 的坐标为 ( 2,1), 则z ? OM OA 的最大值为 B
A.3 B.4 C. 3 2 D. 4 2

?x ? y ? 1 ? (2012 年高考广东卷第 5 小题)已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为(C) ?x ?1 ? 0 ?

A. 3

B. 1

C. ?5

D ?6

(2013 年高考广东卷第 13 小题)

?x ? y ? 3 ? 0 ? 已知变量 x , y 满足约束条件 ? ?1 ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值是____5_________; ? y ?1 ?
- 25 -

(2014 年高考广东卷第 4 小题)

?x ? 2 y ? 8 ? 若变量 x 、 y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值等于( C ) ?0 ? y ? 3 ?
A. 7 B. 8 C. 10 D. 11

9.概率统计 2007 17 分 2008 18 分 2009 18 分 2010 22 分 2011 18 分 2012 18 分 2013 12 分 2014 23 分

(2007 年高考广东卷第 9 小题)在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球 除标注的数字外完全相同.现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率 是( A ) A.

3 10

B.

1 5

C.

1 10

D.

1 12

(2007 年高考广东卷第 18 小题) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨 标准煤)的几组对照数据.

x
y

3 2.5

4

5
4

6
4.5

3

(1)请画出上表数据的散点图;

? ?a ?; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预 测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 ) 18 解: (1) 散点图略 (2)

? X Y ? 66.5
i ?1 i i

4

?X
i ?1

4

2 i

? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 86

X ? 4.5

Y ? 3.5

?? ?b

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 66.5 ? 63 ? ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 ? ? Y ? bX ? ? 0.7 ; a 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81

所求的回归方程为 (3)

y ? 0.7 x ? 0.35

当 x ? 100 时 y ? 0.7 ?100 ? 0.35 ? 70.35 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低
- 26 -

90 ? 70.35 ? 19.65 (吨)
(2008 年高考广东卷第 11 小题) 为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量。产品数量的分 组区间为[45,55) ,[55,65) ,[65,75) ,[75,85) ,[85,95) ,由此得到频率分布直方图如图 3, 则这 20 名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是__13_____。 (2008 年高考广东卷第 19 小题) 某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19。 (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率。 一年级 女生 男生 373 377 二年级 三年级

x
370

y z

19.解: (1)因为

x ? 0.19 ,所以 x ? 380 2000

(2)初三年级人数为 y ? z ? 2000 ? (373 ? 377 ? 380 ?370) ?500

48 ? 500 ? 12 名 2000 (3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为 ? y, z ? ,由(2)知 y ? z ? 500 ,
现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人数为

? 255,245? 共 11 个, 的基本事件有 ? 251,249? , ? 252,248? , ? 253,247 ? , ? 254,246? , ? 255, 245? 共 5 个,
且 y, z ? Z
?

基本事件共有 ? 245,255? , ? 246,254? , ? 247,253? ,

事件 A 包含

所以 P ( A) ?

5 11

(2009 年高考广东卷第 12 小题) 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职 工随机按 1-200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1-5 号,6-10 号…,196-200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 人. 【答案】37, 20 。若用分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取

【解析】由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号 码为 22,所以第 6 组抽出的号码为 27,第 7 组抽出的号码为 32,第 8 组抽出的号码为 37.
- 27 -

40 岁以下年龄段的职工数为 200 ? 0.5 ? 100 ,则应抽取的人数为 (2009 年高考广东卷第 18 小题)

40 ?100 ? 20 人. 200

随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得 身高数据的茎叶图如图 (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身 高为 176cm 的同学被抽中的概率. 【解析】 (1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160 : 179 之间,而乙班身高集中于 170 : 180 之间。 因此乙班平均身高高于甲班; (2) x ?

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10 1 2 2 2 2 2 甲班的样本方差为 [(158 ? 170) ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? 10
? ?170 ? 170 ? ? ?171 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?182 ? 170 ? ] =57
2 2 2 2 2

(3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181, 173) (181, 176) (181, 178)(181, 179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173)(178, 176)(176,173)共 10 个基本事 件, 而事件 A 含有 4 个基本事件; ? P ? A ? ?

4 2 ? 10 5



(2010 年高考广东卷第 12 小题)某市居民 2005~2009 年家庭年平均收入 x(单位:万元)与年平均支 出 Y(单位:万元)的统计资料如下表所示: 年份 收入 x 支出 Y 2005 11.5 6.8 2006 12.1 8.8 2007 13 9.8 2008 13.3 10 2009 15 12 13 ,家庭年平均收入与年平均支出有 Y=X-3

根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是 线性相关关系. (2010 年高考广东卷第 17 小题)

某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相 关的数据如下表所示:

- 28 -

(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关? (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众应该抽取几名? (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.w_w*w 17.解: (1)画出二维条形图,通过分析数据的图形,或者联列表的对角线的乘积的差的绝对值来分 析,得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关; (2)在 100 名电视观众中,收看新闻的观众共有 45 人,其中 20 至 40 岁的观众有 18 人,大于 40 岁的观众共有 27 人。故按分层抽样方法,在应在大于 40 岁的观众中中抽取

5 ? 27 ? 3 人. 45

(3)法一:由(2)可知,抽取的 5 人中,年龄大于 40 岁的有 3 人,分别记作 1,2,3;20 岁至 40 岁的观众有 2 人,分别高为 a , b ,若从 5 人中任取 2 名观众记作 ( x, y ) ,则包含的总的基本事件有:

(1,2), (1,3), (1, a), (1, b), (2,3), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (a, b) 共 10 个。其中恰有 1 名观众的年龄为 20
岁至 40 岁包含的基本事件有: (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) 共 6 个. 故 P (“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)= (2011 年高考广东卷第 13 小题) 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天 打篮球时间 x (单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 0.5 . 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

6 3 ? ; 10 5

小李这 5 天的平均投篮命中率为 小时篮球的投篮命中率为 (2011 年高考广东卷第 17 小题) 0.53

;用线形回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 6

在某次测验中, 有 6 位同学的平均成绩为 75 分, 用 xn 表示编号为 n(n ? 1, 2,...,6) 的同学所得成绩, 且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72

(1) 求第 6 位同学的成绩 x6 ,及这 6 位同学成绩的标准差 s ; (2) 从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率.
- 29 -

17. 解: (1)

x?

1 6 ? xn ? 75 6 n?1

? x6 ? 6 x ? ? xn ? 6 ? 75 ? 70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? 90,
n ?1

5

s2 ?

1 6 1 ( xn ? x)2 ? (52 ? 12 ? 32 ? 52 ? 32 ? 152 ) ? 49 , ? 6 n?1 6

? s ? 7.

(2)从 5 位同学中随机选取 2 位同学,共有如下 10 种不同的取法: {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}, 选出的 2 位同学中,恰有 1 位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下 4 种取法: {1,2},{2,3},{2,4},{2,5},故所求概率为 . (2012 年高考广东卷第 13 小题)由整数组成的一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , 其平均数和中位数都是 2, 且标准 差等于 1,则这组数据位_______________________.(从小到大排列) (2012 年高考广东卷第 17 小题)(本小题满分 13 分) 某学校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是:

2 5

1 1 3 3

?50,60? , ?60,70? , ?70,80?, ?80,90? , ?90,100? .
(1) 求图中 a 的值 (2) 根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3) 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 ? x ? 与数学成绩相应分数段的人数 ? y ? 之比如下表所示,求数学成绩在 ?50,90? 之外的人数. 分数段 x :y

?50,60? ?60,70? ?70,80? ?80,90?
1:1 2:1 3:4 4:5

解 (1):

10 ? (a ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? a) ? 1 a ? 0.005

(2):50-60 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.005 ?100% ?100 ? 5人 60-70 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.04 ?100% ?100 ? 40人 70-80 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.03? 100% ? 100 ? 30人 80-90 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.02 ?100% ?100 ? 20人 90-100 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.005 ?100% ?100 ? 5人
- 30 -

55 ? 5 ? 65 ? 40 ? 75 ? 30 ? 85 ? 20 ? 95 ? 5 100 ? 73 x?
(3):依题意: 50-60 段数学成绩的人数=50-60 段语文成绩的人数为=5 人 60-70 段数学成绩的的人数为= 50-60 段语文成绩的人数的一半=

1 ? 40 ? 20人 2

4 ? 30 ? 40人 3 5 ? 20 ? 25人 80-90 段数学成绩的的人数为= 4
70-80 段数学成绩的的人数为= 90-100 段数学成绩的的人数为= 100? 5 ? 20 ? 40 ? 25 ? 10人 (2013 年高考广东卷第 17 小题) (本小题满分 12 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

?80,85?
5

?85,90?
10

?90,95?
20

?95,100?
15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 ?90,95? 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在

?80,85? 的有几个?
(3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各有一个的概 率; 17. 解:1)苹果的重量在 [90,95) 的频率为 (2)重量在 [80,85) 的有 4 ?

20 =0.4 ; 50

5 =1 个; 5+15

(3)设这 4 个苹果中 [80,85) 分段的为 1, ?95,100? 分段的为 2、3、4,从中任取两个,可能的情况 有: (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4)共 6 种;设任取 2 个,重量在 [80,85) 和 ?95,100? 中 各有 1 个的事件为 A,则事件 A 包含有(1,2) (1,3) (1,4)共 3 种,所以 P (A) ?

3 1 ? . 6 2

(2014 年高考广东卷第 6 小题)为了了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量 为 40 的样本,则分段的间隔为( C )
- 31 -

A. 50

B. 40

C. 25

D. 20

(2014 年高考广东卷第 12 小题)从字母 a 、 b 、 c 、 d 、 e 中任取两个不同的字母,则取到字母 a 的概 率为

2 5

.

(2014 年高考广东卷第 17 小题)(本小题满分 13 分)某车间 20 名工人年龄数据如下表: 年龄(岁) 工人数(人)

19 28 29 30 31 32 40
合计

1 3 3 5

4

3 1

20

(1)求这 20 名工人年龄的众数与极差; (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; (3)求这 20 名工人年龄的方差. 【解析】(1)这 20 名工人年龄的众数为 30 ,极差为 40 ? 19 ? 21 ; (2)茎叶图如下:

1 9 2 8 8 8 9 9 9 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4 0
(3)年龄的平均数为

19 ? 28 ? 3 ? 29 ? 3 ? 30 ? 5 ? 31? 4 ? 32 ? 3 ? 40 ? 30 , 20 1 ? 2 2 2 ?11? ? 3 ? ? ?2 ? ? 3 ? ? ?1? ? 5 ? 02 ? 4 ?12 ? 3 ? 2 2 ? 10 2 ? ? ? 20 ? ? 1 1 ?121 ? 12 ? 3 ? 4 ? 12 ? 100 ? ? ? 252 ? 12.6 . 20 20

故这 20 名工人年龄的方差为

10.立体几何 2007 2008 2009 2010 2011
- 32 -

2012

2013

2014

17 分

17 分

18 分

19 分

24 分

19 分

24 分

18 分

(2007 年高考广东卷第 6 小题) 若 l , m, n 是互不相同的空间直线, ? ,? 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( D ) A.若 ? ∥ ?,l ? ?,n ? ? ,则 l ∥ n C.若 l ? n,m ? n ,则 l ∥ m (2007 年高考广东卷第 17 小题) 已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个 底边长为 8,高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V ; (2)求该几何体的侧面积 S . 17 解: 由已知可得该几何体是一个底面边长为 8 和 6 的矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形中心 的四棱锥 V-ABCD ; (1) 8 图5 6 B.若 ? ? ?,l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ?,l ∥ ? ,则 ? ? ?

1 V ? ? ? 8 ? 6 ? ? 4 ? 64 3

(2) 该四棱锥有两个侧面 VAD、VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为

?8? h1 ? 42 ? ? ? ? 4 2 , 另两个侧面 VAB、VCD 也是全等的等腰三角形, ?2? ?6? AB 边上的高为 h2 ? 4 ? ? ? ? 5 ?2?
2 2

2

因此

1 1 S ? 2( ? 6 ? 4 2 ? ? 8 ? 5) ? 40 ? 24 2 2 2

(2008 年高考广东卷第 7 小题) 将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A、B、 C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如 图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图 (或称左视图)为(A. )

(2008 年高考广东卷第 18 小题) 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接 四边形,其中 BD 是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP∽△BAD。
- 33 -

(1)求线段 PD 的长; (2)若 PC = 【解析】 (1)

11 R,求三棱锥 P-ABC 的体积。
BD 是圆的直径 ?

?BAD ? 90



ADP ~ BAD ,

3 4 ? 3R ; ? 1 2R ? 2 (2 ) 在 Rt BCD 中, CD ? BD cos 45 ? 2R PD2 ? CD2 ? 9R2 ? 2R2 ? 11R2 ? PC 2 ? PD ? CD 又 ?PDA ? 90 ? PD ? 底面 ABCD ? 3 2 1 2? 1 1 3 ?1 2 S ABC ? AB BC sin ? 60 ? 45 ? ? R 2 R ? ? ? R ? ? 2 2 2 2 ? 2 2 4 ? ? BD sin 60 AD DP AD 2 ? , DP ? ? ? BA AD BA BD sin 30

? ?

? ?

2

4R2 ?

三棱锥 P ? ABC 的体积为 VP ? ABC ?

1 S 3

ABC

PD ?

1 3

3 ?1 2 3 ?1 3 R 3R ? R . 4 4

(2009 年高考广东卷第 6 小题)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 ( A.①和② 【答案】D 【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选 D (2009 年高考广东卷第 17 小题) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH,下半部分 是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG ) C.③和④ D.②和④

B.②和③

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.
- 34 -

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3
(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , 又 EG ? HF

? cm ?
2

? PO ? HF
? BD ? 平面 PEG;

? HF ? 平面 PEG

又 BD P HF

(2010 年高考广东卷第 9 小题)
' ' ' ' ' 如图 1, ?ABC 为正三角形, AA / / BB / /CC , CC ? 平面ABC且3AA ?

3 ' BB ? CC ' ? AB ,则多面 2

体 ABC ? A B C 的正视图(也称主视图)是 wDDddD
' ' '

(2010 年高考广东卷第 18 小题) 如图 4,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点, 点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面

BED , FB = 5a .
(1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离. 18.法一: (1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ? EB 即 BD ? EB ∵ FC ? 平面 BDE , EB ? 平面 BDE , ∴ FC ? EB 又 BD ? 平 面 FBD , FC ? 平面 FBD 且 BD ? FC ? C ∴ EB ? 平面 FBD 又∵ FD ? 平面 FBD , ∴

EB ? FD
(2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? FED 的高)为 h . ∵ FC ? 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高,且三角形 FBC 为直角三 角形 由已知可得 BC ? a ,又 FB ?

5a

∴ FC ?

( 5a) 2 ? a 2 ? 2a
- 35 -

在 Rt ?BDE 中, BD ? 2a, BE ? a ,故 S ?BDE ? ∴ VF ? BDE ?

1 ? 2a ? a ? a 2 , 2

1 1 2 S ?BDE ? FC ? ? a 2 ? 2a ? a 3 , 3 3 3 又∵ EB ? 平面 FBD ,故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形,
∴ EF ? 6a, DE ? 5a ,在 Rt ?FCD 中, FD ? ∴ S ?FED ?

5a ,

1 21 2 2 21 2 a ? h ? a3 , a , ∵ VF ? BDE ? VB? FED 即 ? 3 2 3 2

故h ?

4 21 4 21 a , 即点 B 到平面 FED 的距离为 h ? a. 21 21

(2011 年高考广东卷第 7 小题)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它 的对角线,那么一个正五棱柱的对角线条数共有 D A.20 B.15 C.12 D. 10

(2011 年高考广东卷第 9 小题)

如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形, 则 该几何体体积为 C A. 4 3 B.4 C. 2 3 D. 2

2

2 3

2
正视图 侧视图 俯视图

(2011 年高考广东卷第 18 小题) 下图所示的几何体是将高为 2, 底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后, 将其中一般沿切面向

? 分别为 CD, C?D?, 右水平平移得到的。 A, A?, B, B?分别为 O1, O1?, O2 , O2 CD, C?D?, DE, D?E?的中点,
A?

DE, D?E? 的中点。

C?
H?

? O1

D?

? O2
B?

E?

G

?, A?, O2 , B 四点共面; (1)证明: O1
C

A

O1

D
B

O2

E

?到H ?,使得O1 ?H ? ? A?O1 ?,证明:BO2 ? ? 平面H ?B?G。 (2)设 G 为 AA? 的中点,延长 A?O1
证明: (1)

A, A?分别为CD, C?D? 中点,
- 36 -

? O1? A? / / O1 A
连接 BO2 直线 BO2 是由直线 AO1 平移得到

? AO1 / / BO2 ? O1? A? / / BO2
? O1? , A?, O2 , B 共面。
(2)将 AO1 延长至 H 使得 O1H=O1A,连接 HO1? , HB, H ?H // ? 由平移性质得 O1?O2? =HB

? BO2? / / HO1?

? A?G ? H ?O1? , H ?H ? A?H ?, ?O1? H ?H ? ?GA?H ? ? 2
? ?GA?H ? ? ?O1? H ?H
? O1? H ? H ?G

? ?H ?O1? H ? GH ?A ?

?

2

? BO2? ? H ?G

O1?O2? ? B ?O2? , O1?O2? ? O2?O2 , B ?O2? ? O2?O2 ? O2? ? O1?O2? ? 平面B ?BO2 O2?
H ?B ? ? H ?G ? H ?

? O1?O2? ? BO2?

? BO2? ? H ?B ?

? BO2? ? 平面H ?B ?G.

(2012 年高考广东卷第 7 小题)某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为(C) A. 72? B. 48? C. 30? D. 24?

(2012 年高考广东卷第 7 小题)(本小题满分 13 分)如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB ? 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF= (1) 证明:PH ? 平面 ABCD; (2) 若 PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3) 证明:EF ? 平面 PAB. 解:
H (1) :Q P 为?P A D 中的高 ? P H ? A D ?P H ?A B 又A B ?面 P A D A B ? A D A? , P H ? P A 平面 D

1 AB,PH 为 ? PAD 中 AD 边上的高. 2

所以P H ? 平面 A B C D

(2):过 B 点做 BG BG ? CD,垂足为G ; 连接 HB,取 HB 中点 M,连接 EM,则 EM 是 ?BPH 的中位线
?由(1)知:PH ? 平面ABCD
1 1 EM= PH ? 2 2

? EM ? 平面ABCD

?EM ? 平面BCF

即 EM 为三棱锥 E - BCF 底面上的高

S ?BCF ?

1 FC ? BG = 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 2 2
- 37 -

1 1 2 1 2 VE ? BCF ? ? S BCF ? EM ? ? ? ? 3 3 2 2 12

(3) :取 AB 中点 N,PA 中点 Q,连接 EN,FN,EQ,DQ
Q AB / / CD, CD ? 平面PAD PA ? 平面PAD ? AB ? PA ? AB ? 平面PAD,

又 Q EN是?PAB的中位线 ? EN / / PA ? AB ? EN 又 1 Q DF ? AB 2 ?四边形NADF是距形 ? AB ? FN EN ? FN ? N

? AB ? 平面NEF ? AB ? 平面NEF

又EF ? 平面NEF ? EF ? AB ? AB ? NF NF ? NE ? N

?四边形NADF是距形

(2013 年高考广东卷第 6 小题)某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是( B ) A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1

(2013 年高考广东卷第 8 小题)设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( B ) A. 若 l / /? , l / / ? ,则 ? / / ? C. 若 l ? ? , l / / ? ,则 ? //? B. 若 l ? ? , l ? ? ,则 ? / / ? D. 若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

(2013 年高考广东卷第 18 小题)(本小题满分 14 分) 如图 4 ,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 上的点, AD ? AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G . 将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中

BC ?

2 . 2

(1) 证明: DE//平面BCF ; (2) 证明: CF ? 平面ABF ;

(3) 当 AD ?

2 时, 3

求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG 18. 解: (1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE
- 38 -

?

AD AE ? ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中也成立, ? DE / / BC , DE ? 平面 BCF , DB EC

BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;
(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①, BF ? CF ? 在三棱锥 A ? BCF 中, BC ?

1 . 2

2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ② 2

BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由(1)可知 GE / / CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ? 3 2 ? 3 324

(2014 年高考广东卷第 9 小题) 若空间中四条直线两两不同的直线 l1 、l2 、l3 、l4 ,满足 l1 ? l2 ,l2 //l3 ,

l3 ? l4 ,则下列结论一定正确的是( D )
A. l1 ? l4 B. l1 //l4 C. l1 、 l4 既不平行也不垂直 D. l1 、 l4 的位置关系不确定

PD ? 平面 ABCD , (2014 年高考广东卷第 18 小题(本小题满分 ) 13 分) 如图 2, 四边形 ABCD 为矩形, AB ? 1 , BC ? PC ? 2 ,作如图 3 折叠,折痕 EF //DC .其中点 E 、 F 分别在线段 PD 、 PC 上,沿 EF 折叠后点 P 在线段 AD 上的点记为 M ,并且 MF ? CF .
(1)证明: CF ? 平面 MDF ; (2)求三棱锥 M ? CDE 的体积.

A

B

A M

B

D

C E

D F
图3

C

P

图2

P

- 39 -

【答案】(1)详见解析;(2) 【解析】(1)证明: 而平面 PCD

2 . 16

PD ? 平面 ABCD , PD ? 平面 PCD ,? 平面 PCD ? 平面 ABCD ,

平面 ABCD ? CD , MD ? 平面 ABCD , MD ? CD ,

? MD ? 平面 PCD ,

CF ? 平面 PCD ,? CF ? MD ,
又 CF ? MF , MD 、学科网 MF ? 平面 MDF ,且 MD

MF ? M ,

? CF ? 平面 MDF ;
(2)

CF ? 平面 MDF ,? CF ? DF ,

又易知 ?PCD ? 60 ,??CDF ? 30 ,从而 CF ?

1 1 CD ? , 2 2

1 DE DE CE 3 3 3 ? 2 ,? DE ? EF //DC ,? ? ,即 ,? PE ? , DP CP 4 4 3 2

1 3 , ? S?CDE ? CD ? DE ? 2 8
2 2 2

[来源:Zxxk.Com]

?3 3? ? 3? 6 , MD ? ME ? DE ? PE ? DE ? ? ? 4 ? ? ?? ? 4 ? ? ? 2 ? ? ? ?
2

2

2

1 1 3 6 2 . ?VM ?CDE ? S?CDE ? MD ? ? ? ? 3 3 8 2 16

11.平面几何与圆锥曲线 2007 19 分 2008 19 分 2009 19 分 2010 19 分 2011 19 分 2012 19 分 2013 24 分 2014 19 分

(2007 年高考广东卷第 11 小题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线关于 x 轴对称,顶点在原点 O ,

4) ,则该抛物线的方程是 且过点 P(2,

y 2 ? 8x



(2007 年高考广东卷第 19 小题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原点 O ,椭圆 (1)求圆 C 的方程;
- 40 -

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 . a2 9

(2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q ,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.若存 在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 19 解:(1) 设圆 C 的圆心为 (m, n)(m<0,n>0)

n ? ? ?1 ? m 依题意可得 ? ? m2 ? n2 ? 2 2 ?

解得 ?

?m ? ?2 ? n?2

?所求的圆的方程为
(2) 由已知可得 F( 4, 0);

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8

2a ? 10

?

a?5

?

椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 , 右焦点为 25 9

?( x0 ? 2) 2 ? ( y0 ? 2) 2 ? 8 ? 设 Q( x0 , y0 ) ,依题意 ? ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 16 ? 0 0 ?
解得 x0 ?

4 12 , y0 ? 或 x0 ? 0, y0 ? 0 (舍去) 5 5

?存在点 Q( 4 , 12 )
5 5

(2008 年高考广东卷第 6 小题)经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C,且与直线

x ? y ? 0 垂直的直线方程是( C
A. x + y + 1 = 0 1 = 0

) C. x - y + 1 = 0 D. x - y -

B. x + y - 1 = 0

(2008 年高考广东卷第 20 小题)设 b>0,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) 。如图 2 2 2b b

所示,过点 F(0,b + 2)作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G。已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1。 (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A、B 分别是椭圆长轴的左、右端点, 试探究在抛物线上是否存在点 P,使得△ABP 为直角三角形? 若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求 出这些点的坐标) 。 【解析】 (1)由 x ? 8( y ? b) 得 y ?
2

1 2 x ?b, 8 1 x , y ' |x ? 4 ? 1 , 4

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 ,? G 点的坐标为 (4, b ? 2) , y ' ?

过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 ,
- 41 -

令 y ? 0 得 x ? 2 ? b ,? F 1 点的坐标为 (2 ? b, 0) ,由椭圆方程得 F 1 点的坐标为 (b, 0) ,

x2 ? y 2 ? 1和 x2 ? 8( y ? 1) ; 2 (2) 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,? 以 ?PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有一个, 同理? 以 ?PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个。 1 2 若以 ?APB 为直角,设 P 点坐标为 ( x, x ? 1) , A 、 B 两点的坐标分别为 (? 2,0) 和 ( 2,0) , 8 1 1 4 5 2 PA PB ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? x ? x ?1 ? 0 。 8 64 4 2 关于 x 的二次方程有一大于零的解,? x 有两解,即以 ?APB 为直角的 Rt ?ABP 有两个, 因此抛物线上存在四个点使得 ?ABP 为直角三角形。
? 2 ? b ? b 即 b ? 1 ,即椭圆和抛物线的方程分别为
(2009 年高考广东卷第 13 小题)以点 (2,?1 ) 为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 【答案】 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

.

25 2

【解析】将直线 x? y ? 6 化为 x? y ?6 ? 0 ,圆的半径 r ?

| 2? 1? 6 | ? 1? 1

5 ,所以圆的方程为 2

( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

25 2

(2009 年高考广东卷第 19 小题)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,两个焦点 2

分别为 F1 和 F2 ,椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck : x 2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由.

x2 y 2 【解析】 (1)设椭圆 G 的方程为: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )半焦距为 c; a b

? 2a ? 12 ? ? a?6 ? 2 2 2 则?c , 解得 , ?b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 ? 3 ?c ? 3 3 ? ? ? 2 ?a
所求椭圆 G 的方程为: (2 )点 AK 的坐标为 ? ?K , 2?

x2 y 2 ? ?1. 36 9
1 1 SV AK F1F2 ? ? F1 F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2

2 2 (3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,

2 2 若 k ? 0 ,由 (?6) ? 0 ?12k ? 0 ? 21 ? 5 ?12k f 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;

? 不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.

- 42 -

(2010 年高考广东卷第 6 小题)若圆心在 x 轴上、 半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧, 且与直线 x ? 2 y ? 0 相切,则圆 O 的方程是 D A. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5 B. ( x ? 5)2 ? y2 ? 5 C. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5 D. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5

(2010 年高考广东卷第 7 小题)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离 心率是 B A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

(2011 年高考广东卷第 8 小题)设圆

C与圆x2 ? ( y ? 3)2 ? 1外切,与直线y ? 0相切,则圆C的圆心轨迹为 A
B.双曲线 C.椭圆 D. 圆

A.抛物线

(2011 年高考广东卷第 21 小题) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2交x 轴于点 A ,设 P 是 l 上 一点, M 是线段 OP 的垂直平分线上的一点,且满足 ?MPO ? ?AOP. (1) 当点 P 在 l 上与动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2) 已知 T (1, ?1), 设 H 是 E 上动点,求 HO ? HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标;

(3) 过点 T (1, ?1) 且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点,求直线 l1 的斜 率 k 的取值范围。 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)如图 1,设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线,交 OP 于点 Q,

?MPQ ? ?AOP,? MP ? l , 且 | MO |?| MP | .
2 2 2 因此 x ? y ?| x ? 2 |, 即 y ? 4( x ? 1)( x ? ?1).



另一种情况,见图 2(即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧) 。

MQ 为线段 OP 的垂直平分线, 又

??MPQ ? ?MOQ.

?MPQ ? ?AOP,??MOQ ? ?AOP.

因此 M 在 x 轴上,此时,记 M 的坐标为 ( x,0).
- 43 -

为分析 M ( x,0)中x 的变化范围,设 P(?2, a) 为 l 上任意点 (a ? R). 由 | MO |?| MP | (即 | x |?

( x ? 2) 2 ? a 2 )得, x ? ?1 ?

1 2 a ? ?1. 4


故 M ( x,0) 的轨迹方程为

y ? 0, x ? ?1

综合①和②得,点 M 轨迹 E 的方程为

?4( x ? 1), x ? ?1, y2 ? ? x ? ?1. ?0,

(2)由(1)知,轨迹 E 的方程由下面 E1 和 E2 两部分组成(见图 3) :

E1 : y2 ? 4( x ? 1)( x ? ?1) ; E2 : y ? 0, x ? ?1.
当 H ? E1 时 , 过 T 作 垂 直 于 l 的 直 线 , 垂 足 为 T ? , 交 E1 于

? 3 ? D ? ? , ?1? 。 ? 4 ?
再过 H 作垂直于 l 的直线,交 l于H ?. 因此, | HO |?| HH ? | (抛物

| HO | ? | HT |?| HH ? | ? | HT |?| TT ? |? 3 (该等号 线的性质) 。?
仅当 H ?与T ? 重合(或 H 与 D 重合)时取得) 。 当 H ? E2 时,则 | HO | ? | HT |?| BO | ? | BT |? 1 ? 5 ? 3. 综合可得,|HO|+|HT|的最小值为 3,且此时点 H 的坐标为 ? ?

? 3 ? , ?1? . ? 4 ?

(3)由图 3 知,直线 l1 的斜率 k 不可能为零。 设 l1 : y ? 1 ? k ( x ? 1)(k ? 0). 故x ?

1 4 ?4 ? ( y ? 1) ? 1, 代入E1 的方程得: y 2 ? y ? ? ? 8 ? ? 0. k k ?k ?
2

16 ?4 ? ?4 ? 因判别式 ? ? 2 ? 4 ? ? 8 ? ? ? ? 2 ? ? 28 ? 0. 所以 l1 与 E 中的 E1 有且仅有两个不同的交点。 k ?k ? ?k ?
又由 E2 和 l1 的方程可知,若 l1 与 E2 有交点, 则此交点的坐标为

k ?1 1 ? k ?1 ? ? k ?1 ? 从而 l1 表三个不同的 ,0 ? , 且 ? ?1.即当 ? ? k ? 0时, l1与E2 有唯一交点 ? ,0? , ? k 2 ? k ? ? k ?
交点。 因此,直线 l1斜率k 的取值范围是 (??, ? ] ? (0, ??). (2012 年高考广东卷第 8 小题) 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交
2 2

1 2

- 44 -

于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长等于 (B) A. 3 3 B. 2 3 C.

3

D. 1

(2012 年 高考广东 卷 第 20 小题 ) (本 小题满 分 14 分) 在平面直 角坐标系 xOy 中 ,已知椭 圆

x2 y 2 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1,0) ,且点 P(0,1) 在 C1 上. a b
(1) 求椭圆 C1 的方程;(2)设直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方程. 解:(1):依题意:c=1,则: a ? b ? 1,
2 2

设椭圆方程为:

x2 y2 ? 2 ?1 b ?1 b
2
2

将 P(0,1) 点坐标代入,解得: b 2 ? 1

所以

a 2 ? b2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2

故椭圆方程为: x ? y2 ? 1 2

(2)设所求切线的方程为: y ? kx ? m

? y ? kx ? m ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? ? 2

消除 y
(2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx? (2m2 ? 2) ? 0

?1 ? (4km)2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m2 ? 2)
化简得: m ? 2k
2 2

? 1①
? y ? kx ? m
2 ? y ? 4x

同理:联立直线方程和抛物线的方程得: ? 消除 y 得:

k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0
化简得: km ? 1 ② 解得: k ?
2

?2 ? (2km ? 4)2 ? 4k 2m2 ? 0
4 2

将②代入①解得: 2k ? k ? 1 ? 0

1 2 2 2 , (k ? ?1舍去),故k ? , 或者k ? ? 2 2 2

当k ? 1时,m ? 2,当k ? ?1时,m ? ? 2

故切线方程为: y ?

2 2 x ? 2或者y ? ? x? 2 2 2
1 ,则 C 的 2

(2013 年高考广东卷第 9 小题)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F ?1,0 ? ,离心率等于 方程是( D )

x2 y 2 ? ?1 A. 3 4

x2 y 2 ? ?1 B. 4 3

x2 y 2 ? ?1 C. 4 2
- 45 -

x2 y 2 ? ?1 D. 4 3

(2013 年高考广东卷第 7 小题)垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切于第Ⅰ象限的直线方程是 ( A ) A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

(2013 年高考广东卷第 20 小题)(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点, 其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 20. 解: (1)依题意 d ?

3 2 . 设P 2

0?c?2 2

?

3 2 ,解得 c ? 1 (负根舍去) 2

? 抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ;
(2)设点 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2 x1 ( x ? x1 ) , 2

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2


∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上,

∴ y0 ?

x1 x0 ? y1 . 2

同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2
x x0 ? y . 2

综合①、②得,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的, ∴直线 AB 的方程为 y 0 ?

x x 0 ? y ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ; 2

(3)由抛物线的定义可知 AF ? y1 ?1, BF ? y2 ?1 ,
- 46 -

所以 AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ? 1

? x2 ? 4 y 2 y ? y0 2 ? 0 , 联立 ? ,消去 x 得 y 2 ? ? 2 y0 ? x0 ? ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0
2 2 ? y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0

x0 ? y0 ? 2 ? 0
2

2 2 2 ? AF ? BF ? y0 ? 2 y0 ? x0 ? 1=y0 ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1

1? 9 ? 2 =2 y0 ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ?
9 1 ? 当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值为 2 2

2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1的 (2014 年高考广东卷第 8 小题)若实数 k 满足 0 ? k ? 5 , 则曲线 16 5 ? k 16 ? k 5
( D ) A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

(2014 年高考广东卷第 20 小题)(本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的一个焦点 a 2 b2



?

5, 0 ,离心率为

?

5 . 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; ( 2)若动点 P ? x0 , y0 ? 为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程. 【答案】 (1)

x2 y 2 ? ? 1; (2) x2 ? y 2 ? 13 . 9 4

【解析】 (1)由题意知

5 5 ? ? a ? 3 ,且有 a2 ? b2 ? 5 ,即 32 ? b2 ? 5 ,解得 b ? 2 , a 3
x2 y 2 ? ? 1; 9 4

因此椭圆 C 的标准方程为

(2)①设从点 P 所引的直线的方程为 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ,即 y ? kx ? ? y0 ? kx0 ? , 当从点 P 所引的椭圆 C 的两条切线的斜率都存在时,学科网分别设为 k1 、 k2 ,则 k1k2 ? ?1, 将直线 y ? kx ? ? y0 ? kx0 ? 的方程代入椭圆 C 的方程并化简得
- 47 -

? 9k

2

? 4 ? x 2 ? 18k ? y0 ? kx0 ? x ? 9 ? y0 ? kx0 ? ? 36 ? 0 ,
2

2 2 2 ? ? ??? ?18k ? y0 ? kx0 ?? ? ? 4 ? ? 9k ? 4 ? ?9 ? y0 ? kx0 ? ? 36? ? 0 ,
2 2 2 2 化简得 ? y0 ? kx0 ? ? 9k ? 4 ? 0 ,即 x0 ? 9 k ? 2kx0 y0 ? y0 ? 4 ? 0 , 2

?

?

?

?

2 2 2 则 k1 、k2 是关于 k 的一元二次方程 x0 ? 9 k ? 2kx0 y0 ? y0 ? 4 ? 0 的两根, 则 k1k2 ?

?

?

?

?

2 y0 ?4 ? ?1 , 2 x0 ? 9

2 2 化简得 x0 ? y0 ? 13 ;

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

②当从点 P 所引的两条切线均与坐标轴垂直,则 P 的坐标为 ? ?3, ?2? ,此时点 P 也在圆 x2 ? y 2 ? 13 上. 综上所述,点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 13 .

12.数列 2007 19 分 2008 19 分 2009 19 分 2010 5分 2011 19 分 2012 19 分 2013 19 分 2014 19 分

(2007 年高考广东卷第 13 小题) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,则其通项 an ? ; 若它的第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? .2n-10 ; 8

(2007 年高考广东卷第 20 小题) 已 知 函 数 f ( x) ? x2 ? x ?1 , ?,? 是 方 程 f ( x) ? 0 的 两 个 根

(? ? ? ) , f ?( x ) 是 f ( x) 的导数.设 a1 ? 1 , an?1 ? an ?
(1)求 ?,? 的值; (2)已知对任意的正整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln

f (an ) (n ? 1, 2, ) . f ?(an )

an ? ? (n ? 1, 2, ) .求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an ? ?

20 解:(1)

由 x ? x ?1 ? 0
2

得x?

?1 ? 5 2
2

?? ?

?1 ? 5 2
2 an ?1 2an ? 1

??

?1 ? 5 2

(2)

f ? ? x ? ? 2x ? 1

? an?1 ? an ? an ? an ?1 ?
2an ? 1

- 48 -

an 2 ? 1 1 ? 5 3? 5 ? 1? 5 ? 2 ? 2 a ? 1 ? 5 a ? a ? ? ? n n n 2 ?? 2 ? ? ? an ? ? ? ? an?1 ? ? ? 2a2n ? 1 2 ? ? ? an ?1 ? ? an ? 1 1 ? 5 3? 5 ? 1 ? 5 ? ? an ? ? ? 2 ? an ? 1 ? 5 an ? ? an ? ? 2an ? 1 2 2 ? 2 ?

? ?

? ?

2

?

bn?1 ? 2bn



b1 ? ln

a1 ? ? 3? 5 1? 5 ? ln ? 4ln a1 ? ? 2 3? 5

?数列 ?bn ? 是一个首项为
4 ln

4 ln

1? 5 ,公比为 2 的等比数列; 2

?

Sn ?

1? 5 1 ? 2n ? ? 1? 5 2 ? 4 ? 2n ? 1? ln 1? 2 2

(2008 年高考广东卷第 4 小题) 记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,S4=20,则该数列的公差 d = ( B ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 7

(2008 年高考广东卷第 21 小题)设数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,a2 ? 2 ,an ?

1 (an ?1 ? 2an ? 2 )(n = 3, 4, …) 。 3

数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , bn (n = 2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数 m 和自然数 k,都有-1 ≤ bm ? bm?1 ? … ? bm?k ≤1。 (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)记 cn ? nan bn (n = 1,2,…) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn 。 【解析】 (1)由 an ?

1 (an ?1 ? an ? 2 ) 得 3

2 an ? an ?1 ? ? (an ?1 ? an ? 2 ) 3

(n ? 3)
n ?1

2 ? 2? 又 a2 ? a1 ? 1 ? 0 , ? 数列 ?an?1 ? an ? 是首项为 1 公比为 ? 的等比数列, an?1 ? an ? ? ? ? 3 ? 3? an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? (an ? an?1 )

? 2? 1? ? ? ? n ?1 2 n?2 8 3? 2? 3? ? 2? ? 2? ? 2? ? ? ? ?? ? , ? 1?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 5 5? 3? ? 3? ? 3? ? 3? 1? 3 ? ?1 ? b1 ? b2 ? 1 ? ?1 ? b2 ? b3 ? 1 ? ? 由 ? ?1 ? b2 ? 1 得 b2 ? ?1 ,由 ? ?1 ? b3 ? 1 得 b3 ? 1 ,… ? b ? Z,b ? 0 ? b ? Z,b ? 0 2 3 ? 2 ? 3
同理可得当 n 为偶数时, bn ? ?1;当 n 为奇数时, bn ? 1;因此 bn ? ?

n ?1

? 1 当 n 为奇数时 ?-1 当 n 为偶数时

- 49 -

n ?1 ? 8 3 ?2? n ? n ? ? ? 当 n 为奇数时 5 ?3? (2) c ? na b ? ? 5 Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? cn ? n n n n ?1 3 ?2? ? 8 ? 当 n 为偶数时 ?? 5 n ? 5 n ? ?3? ? 当 n 为奇数时, 0 1 2 3 n ?1 8 8 8 8 8 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ? Sn ? ( ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? n) ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5 5 5 5 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?3? ?

?

0 1 2 3 4 ? n ? 1? 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ? 2? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ? 3? ? ?3?

? 2? ? n? ? ? 3?

n ?1

? ? ? ?
?2? ? n? ? ?3?
n ?1

当 n 为偶数时
8 8 8 8 Sn ? ( ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 5 5 5
0 1 2 3 8 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ? n) ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ? ?3?

? ? ? ?

??

0 1 2 3 4n 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ?2? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ? ?3?

?2? ? n? ? ?3?
n ?1

n ?1

? ? ? ?

?2? ?2? ?2? ?2? ?2? 令 Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? n ? ? ……① ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? 1 2 3 4 n 2 2 ? 2? ?2? ?2? ? 2? ?2? ①× 得: ……② Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? n ? ? 3 3 ? 3? ?3? ?3? ? 3? ?3?
①-②得:

0

1

2

3

1 ?2? ? 2? ? 2? ? 2? Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
?2? 1? ? ? n n 3 ?2? ?2? ? ? ? ? n ? ? ? 3 ? ?3 ? n? ? ? 2 ?3? ?3? 1? 3
n

1

2

3

4

? 2? ?? ? ? 3?

n ?1

? 2? ? n? ? ? 3?

n

?2? ? Tn ? 9 ? ? 9 ? 3n ? ? ? ?3?

n

? 4n ? 23 9 ? n ? 3? ? 2 ?n ? ? ? ? 当 n 为奇数时 5 5 ? ?3? 因此 S n ? ? n ? 4n ? 27 9 ? n ? 3? ? 2 ? ? ? 当 n 为偶数时 ?? 5 ? 5 ?3? ?
(2009 年高考广东卷第 5 小题)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 〃 a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.
2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

【答案】B

2 8 4 【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q ,即 q 2 ? 2 ,因为等比数列 {an } 的公

?

?

比为正数,所以 q ?

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2
1 x )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点, 3

(2009 年高考广东卷第 20 小题) 已知点(1,

等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c , 数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn -

S n?1 = S n + S n?1 (n ? 2).
- 50 -

(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1
x

1 ?1? 【解析】 (1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?

1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . 4 2 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? 2 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; 2 a3 ? 3 3 27
又公比 q ?

a2 1 2?1? ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3? 3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n? N*



Q Sn ? Sn?1 ?

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? 1? 1 ? n ; ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009

(2010 年高考广东卷第 4 小题) 已知数列{ an }为等比数列,Sn 是它的前 n 项和, 若 a2· 且 a4 a3 =2a 1, 与 2a7 的等差中项为

5 ,则 S5= 4

C

A.35

B.33

C.31

D.29

(2011 年高考广东卷第 11 小题) 已知 ?an ? 是递增等比数列, a2 ? 2, a4 ? a3 ? 4, 则此数列的公比q ? (2011 年高考广东卷第 20 小题) 设 b ? 0, 数列 ?an ? 满足a1 ? b, an ?
- 51 -

2

.

nban ?1 (n ? 2). an ?1 ? n ? 1

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式;证明:对于一切正整数 n, 2an ? bn?1 ? 1. 20.解: (1)由 a1 ? b ? 0, 知an ? 当 n ? 2时, An ?

nban?1 ?0 an?1 ? n ? 1
? 1 b
n ?1

n 1 1 n ?1 ? ? an b b an?1
1
n ?1

令 An ?

n 1 , A1 ? , an b

1 1 1 ? An ?1 ? ? b b b

?

b

A1 ?

1 ? b

?

1 b
n ?1

?

1 . bn

1? 1 ? ?1 ? n ? bn ? 1 b? b ? ? n ①当 b ? 1时, An ? 1 b (b ? 1) 1? b

? nb n (b ? 1) ,b ? 1 ? ②当 b ? 1 时, An ? n. ? an ? ? b n ? 1 ?1, b ? 1 ?
2nbn (b ? 1) ? bn ?1 ? 1, (2)当 b ? 1时, (欲证2an ? n b ?1
只需 2nb ? (b
n n ?1

? 1)

bn ? 1 ) b ?1 ? bn?1 ? bn?1 ? bn?2 ? ?1

(bn?1 ? 1)

bn ? 1 ? b2 n ? b2 n?1 ? b ?1

1 1 ? ? bn ? bn ? n ? bn?1 ? n?1 ? b b ?
? 2an ? 2nb n (b ? 1) ? 1 ? b n ?1 . n b ?1

1? ? b ? ? ? bn (2 ? 2 ? b?

? 2) ? 2nbn ,

综上所述 2an ? bn?1 ? 1.

(2012 年高考广东卷第 12 小题)若等比数列 {an } 满足 a 2 a 4 ?

1 1 2 ,则 a1a3 a5 ? _______________. 4 2

(2012 年高考广东卷第 19 小题)(本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和 s n ,数列 ?sn ? 的前 n 项和 为 ?Tn ? ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N * . (1) 求 a1 的值; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式. 解:(1):

a1 ? 2a1 ?12 a1 ? 1
(2)

Tn ? 2Sn ? n2 ①
Tn?1 ? 2Sn?1 ? (n ?1) 2 ??? ②
- 52 -

①-②得:

Sn ? 2an ? 2n ? 1 ……………… ③
在向后类推一次

Sn?1 ? 2an?1 ? 2(n ?1) ? 1……… ④
③-④得: an ? 2an ? 2an?1 ? 2

an ? 2an?1 ? 2

an ? 2 ? 2(an?1 ? 2)

?an ? 2 ? 3? 2n?1

?an ? 3 ? 2n?1 ? 2

(2013 年高考广东卷第 11 小题) 设数列 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ____15________; (2013 年高考广东卷第 19 小题)(本小题满分 14 分)
2 * 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an 5 ,a 1 4 构成 ?1 ? 4n ? 1, n ? N ,且 a2 , a

等比数列; (1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 ? . an an ?1 2

2 2 19. 解: (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,

an ? 0 ? a2 ? 4a1 ? 5

2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4

2

2 2 an an ? 0 ? an?1 ? an ? 2 ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? , 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1

a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(3)

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 1 1 ? ? ? ? an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

?

? 2n ? 1?? 2n ? 1?

1

- 53 -

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2
(2014 年高考广东卷第 13 小题) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1a5 ? 4 ,则 log 2 a log 1 ? (2014 年高考广东卷第 19 小题)
2 2 (本小题满分 14 分)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn 满足 S n ? n ? n ? 3 S n ?

2 2

a ? log

2 3

a log ?

2 4

alog ?

2 5

a ?

5 .

?

?

3 ? n2 ? n ? ? 0 , n ? N ? .
(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;

(3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 ? a1 ? 1? a2 ? a2 ? 1?

?

1 1 ? . an ? an ? 1? 3

【答案】(1) a1 ? 2 ;(2) an ? 2n ;(3)详见解析. 【解析】(1)令 n ? 1 得: S1 ? ? ?1? S1 ? 3? 2 ? 0 ,即 S12 ? S1 ? 6 ? 0 ,?? S1 ? 3?? S1 ? 2? ? 0 ,
2

S1 ? 0 ,? S1 ? 2 ,即 a1 ? 2 ;
2 2 2 2 (2)由 S n ? n ? n ? 3 S n ? 3 n ? n ,得 ? Sn ? 3? ? Sn ? n ? n ? ? 0 ,

?

?

?

?

?

?

??

an ? 0 ? n ? N ? ? ,? Sn ? 0 ,从而 Sn ? 3 ? 0 ,? Sn ? n2 ? n ,
所以当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? ?? n ? 1? ? ? n ? 1?? ? 2n ,
2

?

?

?

?

? 又 a1 ? 2 ? 2 ?1,? an ? 2n n ? N ;

?

?

(3)当 k ? N ? 时, k 2 ?

k k 3 ? 1 ?? 3? ? k 2 ? ? ? ? k ? ?? k ? ? , 2 2 16 ? 4 ?? 4?
1 1 ? ? 1? 4 ? 1 ?? 3? ? k ?? k ? ? ? k ? ?? k ? ? 2? 4 ?? 4? ? ? 1

?

1 1 1 ? ? ? ak ? ak ? 1? 2k ? 2k ? 1? 4

- 54 -

? ? 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 1? 1? ? 1? 4 ? 4 ? ? k ? k ? 1 ? ? ? ? ? k ? ? ? ?? k ? 1? ? ? ? 4 4? 4? ? 4? ?

?

1 1 ? ? a1 ? a1 ? 1? a2 ? a2 ? 1?

?

1 an ? an ? 1?
? ? 1 1 ? ? 1 1? n? ? n ? 1? ? ? 4 4? ?

?? ? ? ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ?? ? ? ??? ?? 4 ?? 1 ? 1 2 ? 1 ? ? 2 ? 1 3 ? 1 ? ? 4? ? 4 4? ?? 4

? ? ? 1 1? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? . ? 4 ?1 ? 1 n ? 1 ? 1 ? 3 4 n ? 3 3 ? ? ? 4 4?
证法二:当 n ? 1 时,学科网

1 1 1 1 ? ? ? 成立, a1 ? a1 ? 1? 2 ? 3 6 3

当 n ? 2 时,

1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ?, an ? an ? 1? 2n ? 2n ? 1? ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ?
? 1 an ? an ? 1?
[来源:Z。xx。k.Com]



1 1 1 ? ? ? a1 ? a1 ? 1? a2 ? a2 ? 1? a3 ? a3 ? 1?
1 1?1 1? 1?1 1? ? ? ? ?? ? ? ?? 6 2?3 5? 2?5 7?

?

1? 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

?

1 1?1 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? . ?? ? 6 2 ? 3 2n ? 1 ? 3 6 n ? 3 3

[来源:Zxxk.C

13.新题型 2007 5分 (2007 年高考广东卷第 10 小题) 图 3 是某汽车维修公司的维修点环形分布图. 公司在年初分配给 A,B,C,D 四个维修点某种配件各 50 件.在使用前发现需将 A,B,C,D 四个维修点的 这批配件分别调整为 40 , 45 , 54 , 61 件,但调整只能在相邻维修点之间进 行,那么要完成上述调整,最少的调动件次( n 件配件从一个维修点调整到相 邻维修点的调动件次为 n )为( C ) A. 18 B. 17 C. 16 D. 15
- 55 -

2008

2009 5分

2010 5分

2011

2012

A

D

B
图 3

C

(2009 年高考广东卷第 10 小题) 广州 2010 年亚运会火炬传递在 A、B、C、D、E 五个城市之间进行, 各城市之间的路线距离(单位:百公里)见下表.若以 A 为起点,E 为终点,每个城市经过且只经过一 次,那么火炬传递的最短路线距离是 A. 20.6 B.21 C.22 D.23

【答案】B 【解析】由题意知,所有可能路线有 6 种: ① A ? B ? C ? D ? E ,② A ? B ? D ? C ? E , ③ A ? C ? B ? D ? E ,④ A ? C ? D ? B ? E , ⑤ A ? D ? B ? C ? E ,⑥ A ? D ? C ? B ? E , 其中, 路线③ A ? C ? B ? D ? E 的距离最短, 最短路线距离等于 4 ? 9 ? 6 ? 2 ? 21 ,故选 B. (2010 年高考广东卷第 10 小题) 在 集 合 {a , b , c , d} 上 定 义 两 种 运 算 ? 和 ? 如 下 : w_w w. k#s5_u.c

o*m 那么 d ? (a ? c) ? A A.a B.b C.c D.d

14.极坐标系与参数方程 2007 5分 2008 5分 2009 5分 2010 5分 2011 5分 2012 5分 2013 5分 2014 5分

(2007 年高考广东卷第 14 小题)在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin ? ? 3 ,则点 ? 2, ? 到直线 l 的 距离为 2 .

? ?

π? 6?

? ? 4cos?( ? ? 0 , (2008 年高考广东卷第 14 小题) 已知曲线 C1、 C2 的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3 ,
0 ?? ?

?
2

) ,则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为___ (2 3,

?
6

) _____

(2009 年高考广东卷第 14 小题)若直线 ?

? x ? 1 ? 2t ( t 为参数)与直线 4 x ? ky ? 1 垂直,则常数 ? y ? 2 ? 3t

k=

. 【解析】将 ?

【答案】 ?6

? x ? 1 ? 2t 3 7 3 化为普通方程为 y ? ? x ? ,斜率 k1 ? ? , 2 2 2 ? y ? 2 ? 3t

- 56 -

当 k ? 0 时,直线 4 x ? ky ? 1 的斜率 k 2 ? ? 当 k ? 0 时,直线 y ? ?

4 ? 3? ? 4? ,由 k1k2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 得 k ? ?6 ; k ? 2? ? k ?

3 7 x ? 与直线 4 x ? 1 不垂直. 综上可知, k ? ?6 . 2 2

(2010 年高考广东卷第 14 小题)在极坐标系(ρ,? ) ( 0 ? ? <2? )中,曲线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 1 与

? ?sin ? ? cos? ? ? 1的交点的极坐标为

(1, ) 2

?

.

(2011 年高考广东卷第 14 小题)已知两曲线参数方程分别为 ?

? x ? 5 cos ? ? (0 ? ? ? ? ) 和 ? ? y ? sin ?

5 2 ? ?x ? t 4 (t ? R ) ,它们的交点坐标为 ? ? ?y ? t

? 2 5? ? ? 1, 5 ? ? ? ?



(2011年高考广东卷第14小题) (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中 xoy 中,曲线 C1 和 曲线 C2 的

? 2t x ? 1? ? ? x ? 5 cos ? ? ? ? 2 ( 为参数) 参数方程分别为 ? ( ? 为参数, 0 ? ? ? )和 ? ,则曲线 C1 和曲 t 2 ? ? y ? ? 2t ? y ? 5 sin ? ? 2 ?
线 C2 的交点坐标为 . (2,1)

(2013 年高考广东卷第 14 小题) (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? , 以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为______ ? ( ? 为参数)_____________; (2014 年高考广东卷第 14 小题) (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别 为 2? cos2 ? ? sin ? 和 ? cos ? ? 1 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平 面 直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为_________.【答案】 ?1, 2 ? .

? x ? 1 ? cos ? ? y ? sin ?

15.几何证明选讲 2007 5分 2008 5分 2009 5分 2010 5分 2011 5分 2012 5分 2013 5分 2014 5分

- 57 -

(2007 年高考广东卷第 15 小题) 如图 4 所示, 圆 O 的直径 AB ? 6 ,C 为 圆周上一点, BC ? 3 ,过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l 的垂线 AD ,垂足 为 D ,则 ?DAC ?

D

30?

C
A



O
图4

B

l

(2008 年高考广东卷第 15 小题) 已知 PA 是圆 O 的切线, 切点为 A, PA=2。 AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于点 B,PB=1,则圆 O 的半径 R =

3 ________

?ACB ? 30 , (2009 年高考广东卷第 15 小题) , 点 A、 B、 C 是圆 O 上的点, 且 AB=4,
o

则圆 O 的面积等于 【答案】 16?

.

【解析】连结 AO,OB,因为 ?ACB ? 30 ,所以 ?AOB ? 60 , ?AOB 为等边三
o o 2 角形,故圆 O 的半径 r ? OA ? AB ? 4 ,圆 O 的面积 S ? ? r ? 16? .

(2010 年高考广东卷第 15 小题)如图 3,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,

AB=AD=a,CD=

a ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF= 2

a 2

.

(2011 年高考广东卷第 15 小题)如图,在梯形 ABCD 中, AB / / CD,

D E

C F

AB ? 4, CD ? 2, E, F分别为AD,BC上的点,且EF ? 3,EF / / AB,
则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为

7 5


A B

A
(2012 年高考广东卷第 15 小题) (几何证明选讲选做题) 如 图 3 , 直 线 PB 与 圆 O 相 切 与 点 B , D 是 弦 AC 上 的 点 ,

P

D · O
B 图3

?PBA ? ?DBA ,若 AD ? m, AC ? n ,则 AB=

. mn

(2013 年高考广东卷第 15 小题) (几何证明选讲选做题)如图 3 ,在 矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 3 , BE ? AC ,垂足为 E ,则

C

ED =______

21 _____; 2
D C F A E B
图1

(2014 年高考广东卷第 15 小题) (几何证明选讲选做题)如 图 1, 在平行四边形 ABCD 中, 点 E 在 AB 上且 EB ? 2 AE ,
- 58 -

AC 与 DE 交于点 F ,则
【答案】 3

?CDF的周长 ? ?AEF的周长

.

【解析】由于四边形 ABCD 为平行四边形,则 AB//CD ,因此 ?CDF 由于 EB ? 2 AE ,所以 AE ?

?AEF ,

?CDF的周长 CD 1 1 CD AB ? CD ,因此 ? 3 ,故 ? ? 3。 3 3 AE ?AEF的周长 AE

- 59 -


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