教学设计任意角的三角函数

教学设计

任意角的三角函数(2)

甘南县第一中学

高世平

任意角的三角函数(2)
——甘南一中 高世平

一、教学内容分析
直角三角形简单朴素的边角关系, 以直角坐标系为工具进行自然地推广而得 到简明的任意角的三角函数定义,紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉,自然 地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图 象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键,如果学生掌握不好,将直 接影响到后续内容的学习。

二、学生学习情况分析
在初中学生学习过锐角三角函数。因此新课的引入会比较容易和顺畅。学生 要面对的新的学习问题是,角的概念推广了,原先学生所熟悉的锐角三角函数的 定义是否也可以推广到任意角呢?通过这个问题,引领学生去探究新的知识。

三、设计思想
教学中注意用新课程理念处理教材,采用学生自主探索、动手实践、师生互 动,教师发挥组织者、引导者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点,本节课采用“启发探索、讲练结合” 的方法组织教学.

四、教学目标
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和 函数值在各象限的符号) ; 2、理解任意角的三角函数不同的定义方法;掌握并能初步运用公式一;树立 映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3、 通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三 角函数的定义.根据角终边所在位置不同 ,分别探讨各三角函数的定义域以及这 三种函数的值在各象限的符号. 4、通过任意三角函数的定义,认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例, 加深特殊与一般关系的理解。

五、教学重点和难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和
函数值在各象限的符号) ;终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一). 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和 函数值在各象限的符号) ;

六、教学过程设计 教学过程
一、复习引入、回想再认 (情景 1)我们在初中通过锐角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余 弦、正切等三个三角函数. 请回想:这三个三角函数分别是怎样规定的? 学生口述后再投影展示:

对 边 α 邻边

sinα=

对边 斜边

,conα=

邻边 斜边

,tanα=

对边 邻边

(图 1)

设计意图: 学生在初中学习了锐角的三角函数概念,现在学习任意角的三角函数,又是 一种推广和拓展的过程. 要让学生体会知识的产生、发展过程,就要从源头上开 始。. 二、引伸铺垫、创设情景 (情景 2)我们已经把锐角推广到了任意角,锐角的三角函数概念也能推广 到任意角吗? 设计意图: 从学生现有知识水平和认知能力出发,创设问题情景,让学生产生认知冲 突,进行必要的启发。 把锐角α 安装(如何安装?角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴非负半轴 重合)在直角坐标系中,在角α 终边上任取一点 P,作 PM⊥x 轴于 M,构造一个 RtΔ OMP,则∠ MOP=α (锐角) ,设 P(x,y) (x>0、y>0) ,α 的临边 OM =x、 对边 MP=y,斜边长|OP∣=r. 根据锐角三角函数定义用 x、y、r 列出锐角α 的正弦、余弦、正切三个比 值,并补充对应列出三个倒数比值:
y · P(x,y) O M (图 2) x
sinα=

y 斜边 r
对边
=

,conα=

x 斜边 r
邻边
=

,tanα=

对边 邻边

=

y x

设计意图: 此处做法简单,思想重要. 为了顺利实现推广,可以构建中间桥梁, 由于

前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了, 学生自然能想到仍然以直角坐 标系为工具来研究任意角的三角函数. 初中以直角三角形边角关系来定义锐角 三角函数,现在要用坐标系来研究,探索的结论既要满足任意角的情形,又要包 容初中锐角三角函数定义. 这是理解任意角三角函数概念的关键之一, 也是数学 发现的重要思想和方法, 为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基 础. (情景 3)思考:对于确定的角 ? ,这三个比值是否会随点 P 在 ? 的终边上 的位置的改变而改变呢? 显然, 我们可以将点取在使线段 OP 的长 r ? 1 的特殊 位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表 示锐角三角函数:
sin ? ? MP ?b OP cos ? ? OM ?a OP

a的终边
P(x,y )

y

;

;

O

x

tan ? ?

MP b ? . OM a 思考:上述锐角 ? 的三角函数值可以用终边上一点

的坐标表示.那么,角的概念推广以后, 我们应该如何对初中的三角函数的定义进 行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.

先让学生想象思考,作出主观判断,再用几何画板动画演示,同时作好解释 说明:引导学生观察图 3,联系相似三角形知识, 探索发现:对于锐角α 的每一个确定值,三个比值都是 确定的,不会随 P 在终边上的移动而变化.
y P ·
α

P′

O

M M′x (图 3)

三、探究新知 1.探究:结合上述锐角 ? 的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三 角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后 就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在 直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆.

2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P( x, y ) ,那么: (1) y 叫做 ? 的正弦(sine),记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦(cossine),记做 cos? ,即 cos? ? x ;
y y (3) 叫做 ? 的正切(tangent),记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) . x x 注意:当α 是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在) ;

当α 不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边 就必然与单位圆有交点 P( x, y ) ,从而就必然能够最终算出三角函数值. 设计意图: 初中学生对函数理解较肤浅, 这里在学生进一步研究初中学过的锐角三角函 数基础上,在思维上更上了一个层次,扣准函数概念的内涵,突出变量之间的对 应关系,是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据,是准确理解三角函数概 念的关键, 也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键. 这样做能够 使学生有效地增强函数观念. 四、探索定义域 (情景 4)1、函数概念的三要素是什么? 函数三要素:定义域、对应法则、值域. 正弦函数 sinα 的对应法则是什么? 正弦函数 sinα 的对应法则,实质上就是 sinα 的定义:对α 的每一个 确定的值,有唯一确定的比值 y/r 与之对应,即α → y/r= sinα . 2、布置任务情景:什么是三角函数的定义域?请求出三个三角函数的定义 域,填写下表: 三角函数 定义域 引导学生自主探索: 如果没有特别说明, 那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定 义域,三角函数的定义域自然是指:使比值有意义的角α 的取值范围. 关于 sinα =y/r、cosα =x/r,对于任意角α (弧度数) ,r>0,y/r、x/r 恒 有意义,定义域都是实数集 R. 对于 tanα =y/x, α = kπ +π /2 时 x=0, y/x 无意义, tanα 的定义域是: {α |α ∈R,且α ≠kπ +π /2 }. ? ? ? sinα cosα tanα

教师指出: sinα 、cosα 、tanα 的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的 基础上记熟。 设计意图: 定义域是函数三要素之一, 研究函数必须明确定义域. 指导学生根据定义自 主探索确定三角函数定义域,有利于在理解的基础上记住它、应用它,也增进对 三角函数概念的掌握. 五、符号判断、形象识记 (情景 5)能判断三角函数值的正、负吗?试试看! 引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析,r>0,三角函数值的符号决定于 x、 y 值的正负,根据终边所在位置总结出形象的识记口诀:
y + - + - x - - y + + x - + y + - x

sinα = y/r:上正下负横为 0 tanα =y/x:交叉正负 设计意图:

cosα =x/r:左负右正纵为 0

判断三角函数值的正负符号,是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要 引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号,并总结出形象 的识记口诀,这也是理解和记忆的关键. 六、练习巩固、理解记忆
5? 的正弦、余弦和正切值。 3 2、角α 的终边经过点 P(-3,-4) ,求α 的正弦,余弦及正切值.

1、

自学 例 1:求

课堂练习:
p17 题 1、2、3 强调:终边在坐标轴上的角叫轴线角,如 0、π /2 、π 、3π /2 等,今后 经常用到轴线角的三角函数值,要结合三角函数定义记熟这些值. 七、回顾小结、建构网络 1.你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的?或者说任意角三角函数 具体是怎样定义的?(建立直角坐标系,使角的顶点与坐标原点重合,---,在

终边上任意取定一点 P,---) 2. 你如何判断和记忆正弦、 余弦、 正切函数的定义域? (根据定义, ------) 3.你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号?(根据定义,想象坐标位 置, -----) 设计意图: 遗忘的规律是先快后慢,回顾再现是记忆的重要途径,在课堂内及时总结识 记主要内容是上策. 此处以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容, 抓 住要害,人人参与,培养认知能力. 八、布置课外作业 1.书面作业:习题 1.2 第 1、2 题.

七、教学反思
新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程,这节《任意角三 角函数》的教案,主要围绕这一点来设计。 到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢?让学生提出自己的想法, 同 时让学生去辨证这个想法是否是科学的?这样也有助于学生对任意角三角函数 概念的理解。 再次,让学生充分体会在任意角三角函数定义的推广中,是如何将直角三角 形这个“形”的问题,转换到直角坐标系下点的坐标这个“数”的过程的。培养 数形结合的思想。


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