全等三角形综合复习_图文

全等三角形的性质与判定 (综合篇)

1

什么叫全等三角形?
A Aˊ

B

C





两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。

全等三角形的性质?
A



B

C





全等三角形:对应边相等,对应角相等。
AB=A’B’, AC=A’C’, BC=B’C’
△ABC

≌ △A’B’C’

∠A=∠A’ ,∠B=∠B’,∠C=∠C’

全等三角形共有6组元素(3组对应边、3组对应角)

三角形的6组元素(3组对应边、3组对应角) 中,要使两个三角形全等,到底需 要满足哪些条件?

6选1 or 6选2
① \\ \\ ② —— = // // (两条边对应相等) (两个角对应相等) (一个角对应相等) (一条边对应相等) (一个角、一条边对应相等)

=

6选1:一个角对应相等的两个三角形不一定全等;
一条边对应相等的两个三角形不一定全等;

6选2: 两个角对应相等的两个三角形不一定全等;
两条边对应相等的两个三角形不一定全等; 一角和一边对应相等的两个三角形不一定全等;

可见:要使两个三角形全等, 应至少有 3 组元素对应相等。
边边边 (SSS) 两边一角 6选 3
两边和它的夹角(SAS)

两角一边
角角角×

两边和它一边的对角 × 两角和夹边(ASA)

两角和一角的对边(AAS)

SSA
\ = =

两边和其中一边的对角对应相等
的两个三角形不一定全等。

AAA

三个角对应相等的两个三角形不一定全等
8

三角形全等的4个判定方法
SSS(边边边) SAS(边角边)



ASA(角边角)

AAS(角角边)

有两角和及其中 有三边对应相 有两边和它们的 有两角和它们的夹 一个角所对的边对 等的两个三角形 夹角对应相等的 边对应相等的两个 应相等的两个三角 全等. 两个三角形全等. 三角形全等. 形全等.
9

证明的书写步骤:
①准备条件:证全等时要用的间接 条件要先证好; ②三角形全等书写三步骤:
1、写出在哪两个三角形中 2、摆出三个条件用大括号括起来 3、写出全等结论

熟悉基本图形(注意隐含条件) :

公共边

熟悉基本图形(注意隐含条件) :

公共角:

熟悉基本图形(注意隐含条件):

对顶角

掌握一些简单思路:

通过加上或减去一个公共线段转 化为要证三角形的边

掌握一些简单思路:
A B E C D A D B C E

通过加上或减去一个公共角转化 为要证三角形的角

自主探究1:添条件判全等
? 独立思考以下题目,二分钟后看谁回答的 准确

B
1、如图,已知AD平分∠BAC, A D 要使△ABD≌△ACD, ? 根据“SAS”需要添加条件 AB=AC ; C ∠BDA=∠CDA ? 根据“ASA”需要添加条件 ; ? 根据“AAS”需要添加条件 ∠B=∠C ;
友情提示:添加条件的题目.首先要 找到已具备的条件,这些条件有些是 题目已知条件 ,有些是图中隐含条件.
17

2、已知:∠B=∠DEF,BC=EF,现要 证明△ABC≌△DEF, 若要以“SAS ”为依据,还缺条件AB=DE ______;

若要以“ASA ”为依据,还缺条件 ∠ACB=∠F _______; 若要以“AAS ”为依据,还缺条件_______ ∠A=∠D 并说明理由。.
A D

B

E

C

F

18

自主探究2:
挖掘“隐含条件”判全等
? 独立思考以下题目,一分钟后开始自己在 作业上写出解题过程。每一小组有同学不 会时可请教组长或老师。

1.如图(1),AB=CD,AC=BD,则 △ABC≌△DCB吗?说说理由
B

A

D

2.如图(2),点D在AB上,点E在AC上,CD与 A O BE相交于点O,且AD=AE,AB=AC.若 E ∠B=20°,CD=5cm,则 C 5cm 20 ° 图(2) ∠C= ,BE= .说说理由. A D 3.如图(3),AC与BD相交于O,若OB=OD, 3cm ∠A=∠C,若AB=3cm,则CD= . O 说说理由. B C 图(3)

图(1) B D

C

学习提示:公共边,公共角, 对顶角这些都是隐含的边,角相等的条件!

20

合作探究:
熟练转化“间接条件”判全等

21

A 1如图,AE=CF,∠AFD=∠CEB,DF=BE, △AFD与△ CEB全等吗?为什么? 解答 F B

D E C B D A

2.如图(5)∠CAE=∠BAD,∠B=∠D, AC=AE,△ABC与△ADE全等吗?
为什么? 解答

E

C 3.“三月三,放风筝”如图(6)是小东同学自己 做的风筝,他根据AB=AD,BC=DC,不用度量, 就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予 说明。 解答

22

6.如图(4)AE=CF,∠AFD=∠CEB,DF=BE, △AFD与△ CEB全等吗?为什么?

解:∵AE=CF(已知) ∴AE-FE=CF-EF(等量减等量,差相等) F 即AF=CE 在△AFD和△CEB中,
AF=CE(已证) ∠AFD=∠CEB(已知) DF=BE(已知) ∴△AFD≌△CEB (SAS) B

A

D

E C

23

7.如图(5)∠CAE=∠BAD,∠B=∠D, AC=AE,△ABC与△ADE全等吗?为什么? B 解:∵ ∠CAE=∠BAD(已知) D E ∴ ∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE
(等量减等量,差相等)

C

A

即∠BAC=∠DAE 在△ABC和△ADE中, ∠B=∠D(已知) ∠BAC=∠DAE(已证) AC=AE(已知) ∴△ABC≌ △ADE (AAS)
24

8.“三月三,放风筝”如图(6)是小东同 学自己做的风筝,他根据AB=AD,BC=DC, 不用度量,就知道∠ABC=∠ADC。请用 所学的知识给予说明。

解: 连接AC

在△ABC和△ADC中, AB=AD(已知) BC=DC(已知) AC=AC(公共边)

∴△ADC≌△ABC(SSS)

∴ ∠ABC=∠ADC (全等三角形的对应角相等)
25

例、如图,已知AB=AC,AD=AE,AB、DC相交
于点M,AC、BE相交于点N,∠1=∠2,试说明: (1) △ABE ≌ △ACD (2)AM=AN A
D M
1

2

E N

B

C

创造条件! ?

26

1.如图, ΔABC与ΔDEF是否全等?为什么?
A 40' 8 20' E 120' 40' D 8

C

F

B

27

2、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成 了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样 的玻璃,那么最省事的办法是拿( )去配.

3如图所示的三角形窗户上的玻璃碎了,需 要更换,想去划一块同样大小的三角形玻璃, 带其中一块的残缺的玻璃行吗?如果行,带 哪块呢?

1
4

2

3

4、已知:如图,P是BD上的任意一点
AB=CB,AD=CD.
A

求证: PA=PC

①要证明PA=PC可将其 放在ΔAPB和ΔCPB 或ΔAPD和ΔCPD考虑
D

=
P

_

B

分 析:

C

②已有两条边对应相等 (其中一条是公共边) ③还缺一组夹角对 应相等 若能使∠ABP=∠CBP 或∠ADP=∠CDP 即可。 创造条件

=

_

5。已知:如图AB=AE,∠B=∠E,BC=ED AF⊥CD 求证:点F是CD的中点 分析:要证CF=DF可以考虑CF 、 DF所在的两个三角形全等,为此可 添加辅助线构建三角形全等 ,如何 添加辅助线呢? 已有AB=AE,∠B=∠E , BC=ED 怎样构建三角形能得到两个三角 形全等呢?连结AC,AD 添加辅助线是几何证明 中很重要的一种思路

证明题的分析思路:

①要证什么 ②已有什么 ③还缺什么 ④创造条件

注意1、证明两个三角形全等,要结合题目的条件 和结论,选择恰当的判定方法 2、全等三角形,是证明两条线段或两个角相 等的重要方法之一,证明时 ①要观察待证的线段或角,在哪两个可能全等 的三角形中。 ②有公共边的,公共边一定是对应边, 有公共 角的,公共角一定是对应角,有对顶角,对顶角也 是对应角 总之,证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。


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