2019-2020学年高中数学 1.3.2第1课时奇偶性的概念课时作业 新人教A版必修1

2019-2020 学年高中数学 1.3.2 第 1 课时奇偶性的概念课时作业 新 人教 A 版必修 1
课时目标 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.掌握判断函数奇偶性的方法; 3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系.

1.函数奇偶性的概念 (1)偶函数:如果对于函数 f(x)的定义域内______一个 x,都有__________,那么函数 f(x)就叫做偶函数. (2)奇函数:如果对于函数 f(x)的定义域内______一个 x,都有__________,那么函数 f(x)就叫做奇函数. 2.奇、偶函数的图象 (1)偶函数的图象关于______对称. (2)奇函数的图象关于______对称. 3.判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看定义域是否关于原点对称.

一、选择题

1.已知 y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则 F(x)是( )

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

2.f(x)是定义在 R 上的奇函数,下列结论中,不正确的是( )

A.f(-x)+f(x)=0

B.f(-x)-f(x)=-2f(x)

C.f(x)·f(-x)≤0

D.ff

x -x

=-1

3.下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定过原点;③

偶函数的图象关于 y 轴对称;④没有一个函数既是奇函数,又是偶函数.

其中正确的命题个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

4.函数 f(x)=1x-x 的图象关于(

)

A.y 轴对称

B.直线 y=-x 对称

C.坐标原点对称

D.直线 y=x 对称

5.设函数 f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则 a 等于( )

A.1

B.0

C.-1

D.-2

6.若函数 y=f(x+1)是偶函数,则下列说法不.正.确.的是( )

A.y=f(x)图象关于直线 x=1 对称

B.y=f(x+1)图象关于 y 轴对称

C.必有 f(1+x)=f(-1-x)成立

D.必有 f(1+x)=f(1-x)成立

题号123456 答案 二、填空题 7.偶函数 y=f(x)的定义域为[t-4,t],则 t=________________________________.
8.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不 等式 f(x)<0 的解集是________. 9.已知奇函数 f(x)的定义域为 R,且对于任意实数 x 都有 f(x+4)=f(x),又 f(1)=4, 那么 f[f(7)]=________. 三、解答题 10.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=3,x∈R; (2)f(x)=5x4-4x2+7,x∈[-3,3]; (3)f(x)=|2x-1|-|2x+1|;
??1-x2, x>0, (4)f(x)=?0, x=0,
??x2-1, x<0.

??-x2+2x x

11.已知奇函数 f(x)=?

x=

.

??x2+mx x

(1)求实数 m 的值,并在给出的直角坐标系中画出 y=f(x)的图象; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,试确定 a 的取值范围.

能力提升

12.y=f(x)在(0,2)上是增函数,y=f(x+2)是偶函数,则 f(1),f(52),f(72)的大小 关系是____________________________. 13.已知函数 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a,b∈R 都满足 f(ab) =af(b)+bf(a). (1)求 f(0),f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性.
1.函数奇偶性 (1)从函数奇偶性定义来看,奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,否则此函数是非 奇非偶函数. (2)函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言,这一点与函数单调性不同,从这个意义 上说,函数单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质. (3)函数 f(x)=c(c 是常数)是偶函数,当 c=0 时,该函数既是奇函数又是偶函数. 2.函数的奇偶性与图象的对称性的关系 (1)若一个函数是奇函数,则其图象关于原点对称,反之,若一个函数图象关于原点中 心对称,则其一定是奇函数. (2)若一个函数是偶函数,则其图象关于 y 轴对称,反之,若一个函数图象关于 y 轴成 轴对称,则其必为偶函数.

1.3.2 奇偶性 第 1 课时 奇偶性的概念 知识梳理 1.(1)任意 f(-x)=f(x) (2)任意 f(-x)=-f(x) 2.(1)y 轴 (2)原点 作业设计 1.B [F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x). 又 x∈(-a,a)关于原点对称,∴F(x)是偶函数.] 2.D [∵f(-x)=-f(x),A、B 显然正确, 因为 f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,故 C 正确. 当 x=0 时,由题意知 f(0)=0,故 D 错误.] 3.A [函数 y=x12是偶函数,但不与 y 轴相交,故①错;
函数 y=1x是奇函数,但不过原点,故②错;
函数 f(x)=0 既是奇函数又是偶函数,故④错.] 4.C [∵x∈(-∞,0)∪(0,+∞),且对定义域内每一个 x, 都有 f(-x)=-1x+x=-f(x),
∴该函数 f(x)=1x-x 是奇函数,其图象关于坐标原点对称.]
5.C [∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1), 即(-1+1)(-1+a)=2(1+a),∴a=-1.] 6.C [由题意,y=f(x+1)是偶函数,所以 f(x+1)的图象关于 y 轴对称,故 B 正确; y=f(x+1)的图象向右平移一个单位即得函数 y=f(x)的图象,故 A 正确;可令 g(x) =f(x+1),由题意 g(-x)=g(x),即 f(-x+1)=f(x+1),故 D 正确,所以选 C.] 7.2 解析 偶函数的定义域应当关于原点对称,故 t-4=-t,得 t=2. 8.(-2,0)∪(2,5] 解析 由题意知,函数 f(x)在[-5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原点对称.画出 f(x)在[-5,0]上的图象,观察可得答案. 9.0 解析 ∵f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1) =-f(1)=-4, ∴f[f(7)]=f(-4)=-f(4)=-f(0+4)=-f(0)=0. 10.解 (1)f(-x)=3=f(x), ∴f(x)是偶函数. (2)∵x∈[-3,3],f(-x)=5(-x)4-4(-x)2+7 =5x4-4x2+7=f(x),∴f(x)是偶函数. (3)f(-x)=|-2x-1|-|-2x+1|=-(|2x-1|-|2x+1|)=-f(x),∴f(x)是奇函 数. (4)当 x>0 时,f(x)=1-x2,此时-x<0, ∴f(-x)=(-x)2-1=x2-1,∴f(-x)=-f(x); 当 x<0 时 f(x)=x2-1, 此时-x>0,f(-x)=1-(-x)2=1-x2, ∴f(-x)=-f(x); 当 x=0 时,f(-0)=-f(0)=0. 综上,对 x∈R,总有 f(-x)=-f(x), ∴f(x)为 R 上的奇函数. 11.解 (1)当 x<0 时,-x>0,

f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.

又 f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=-x2-2x, ∴f(x)=x2+2x,∴m=2. y=f(x)的图象如图所示. (2)由(1)知 f(x)

??-x2+2x x

=? x=



??x2+2x x

由图象可知,f(x)在[-1,1]上单调递增,

要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,只需?????aa- -22>≤-11 , 解得 1<a≤3. 12.f(72)<f(1)<f(52) 解析 因 y=f(x+2)是偶函数,f(x+2)的图象向右平移 2 个单位即得 f(x)的图象.所 以函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,又因 f(x)在(0,2)上是增函数,所以 f(x) 在(2,4)上是减函数,且 f(1)=f(3),由于72>3>52,

∴f(72)<f(3)<f(52),即 f(72)<f(1)<f(52).

13.解 (1)令 a=b=0,f(0)=0+0=0; 令 a=b=1,f(1)=f(1)+f(1), ∴f(1)=0. (2)f(x)是奇函数. 因为 f(-x)=f((-1)·x)=-f(x)+xf(-1), 而 0=f(1)=f((-1)×(-1))=-f(-1)-f(-1), ∴f(-1)=0,∴f(-x)=-f(x)+0=-f(x), 即 f(x)为奇函数.


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