均值不等式第一课时(人教B版必修5)

3.2 均值不等式第一课时 1.不等式 a+1≥2 a(a>0)中等号成立的条件是( A.a=2 B.a=1 1 C.a= 2 D.a=0 )

a+1 解析:选 B.a+1≥2 a可变形为 a· 1≤ 等号成立的条件为 a=1. 2 2.下列命题中正确的是( ) 1 A.函数 y=x+ 的最小值为 2 x B.函数 y= x2+3 的最小值为 2 x2+2

4 C.函数 y=2-3x- (x>0)的最小值为 2-4 3 x 4 D.函数 y=2-3x- (x>0)的最大值为 2-4 3 x 解析:选 D.对于 A,当 x<0 时,不成立;对于 B,若设 x2+3 x2+2 =2,则无解;对于 C、D,

4 4 y=2-3x- ≤2-4 3(x>0),当且仅当 3x= 时,等号成立,所以答案选 D. x x a2+b2 3.“a>b>0”是“ab< ”的( 2 )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 a2+b2 a2+b2 解析:选 A.当 a>b>0 时,显然能推出 a2+b2>2ab.即 ab< ,但由 ab< ,不 2 2 一定能推出 a>b>0,因为 a,b 可异号. b a 1 4.下面四个命题:①若 a,b∈R,则 + ≥2;②若 x∈(0,π),则 sinx+ ≥2;③若 a,b a b sinx 4 ∈R+,则 lga+lgb≥2· lga· lgb;④若 x∈R,则|x+ |≥4,其中正确命题的序号是________. x 解析:①只有在 ab>0 时成立;②∵x∈(0,π),∴sinx∈(0,1],∴②成立;③只有在 lga>0, 4 4 lgb>0,即 a>1,b>1 时才成立;④|x+ |=|x|+| |≥2 x x 这个条件而误认为是正确的. 答案:②④ 4 5.已知 x>3,求证: +x≥7. x-3 1 证明:∵x>3,∴x-3>0, >0. x-3 ∴ 4 4 +x= +x-3+3≥2 x-3 x-3 4 4 ·?x-3?+3=7,当且仅当 =x-3,即 x=5 时,等 x-3 x-3 4 |x|· =4,成立.①③均忽视了“一正” |x|

号成立.

1.若 b>a>0,则下列不等式中一定成立的是( a+b A.a> > ab>b 2 a+b C.b> > ab>a 2 a+b B.b> ab> >a 2 a+b D.b>a> > ab 2

)

a+b 解析:选 C.因为 b>a>0,所以 b> > ab>a. 2 2.已知 a,b∈R,下列不等式不成立的是( A.a+b≥2 ab a+b C.ab≤( )2 2 B.a2+b2≥2ab D.|a|+|b|≥2 |ab| )

解析:选 A.当 a<0,b<0 时,A 显然不成立. 3.已知 ab≠0,a,b∈R,则下列式子总能成立的是( b a A. + ≥2 a b b a C. + ≤-2 a b b a B. + ≥-2 a b b a D.| + |≥2 a b

)

b a 解析:选 D.当 a,b 异号时, + ≤-2; a b b a 当 a,b 同号时, + ≥2. a b b a 故| + |≥2 总能成立. a b 4.设 a、b∈R,且 a≠b,a+b=2,则必有( a2+b2 A.1≤ab≤ 2 a2+b2 C.ab< <1 2 a2+b2 B.ab<1< 2 a2+b2 D. <ab<1 2 a2+b2 的大小关系,最基本的方法就 2 )

解析:选 B.从所给的选项来看,就是要比较 ab、1 与

是采用差值比较法,也可利用不等式 a2+b2≥2ab 及其变形来考虑,并且注意等号取得的条 件是否具备. a2+b2 a+b 由 a+b=2,且 a≠b,得 >( )2=1>ab. 2 2 1 1 1 5.设 a、b、c∈(0,+∞),则三数 a+ ,b+ ,c+ 的值( b c a A.都不大于 2 B.都不小于 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2 解析:选 D.∵a、b、c∈(0,+∞), )

1 1 1 ∴a+ +b+ +c+ b c a 1 1 1 =(a+ )+(b+ )+(c+ )≥2+2+2=6, a b c 1 1 1 ∴在 a+ ,b+ ,c+ 三者中,至少有一个不小于 2. b c a 6.若 b<a<0,则下列结论不正确的是( A.a2<b2 B.ab<b2 b a C. + >2 a b D.|a|-|b|=|a-b| )

解析:选 D.a2-b2=(a+b)(a-b)<0,所以 A 正确;ab-b2=b(a-b)<0,所以 B 正确;由 b a b a b a 于 >0, >0,且 ≠ ,则 + >2 a b a b a b b a × =2,所以 C 正确;当 b=-2,a=-1 时,|a|- a b

|b|=1-2=-1≠|a-b|=1,所以 D 不正确. a+b 7.已知 a,b∈R+,则 ________ a+ b-1(填“≤”或“≥”). 2 a+b 解析: -( a+ b-1) 2 a+b-2 a-2 b+2 ? a-1?2+? b-1?2 = = ≥0. 2 2 答案:≥ 8.当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是__________. 解析:当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立, 4 则 m<-x- . x 4 设 f(x)=-x- ,则 f(x)在(1,2)上单调递增. x ∴f(x)>f(1)=-5, ∴m≤-5. 答案:(-∞,-5] a+b 9.已知均值不等式: ≥ ab(a,b 都是正实数,当且仅当 a=b 时等号成立)可以推广到 n 2 a1+a2+a3+…+an n 个正实数的情况, 对于 n 个正实数 a1, a3, an 有 即: a2, …, ≥ a1a2a3…an n 1 (当且仅当 a1=a2=a3=…=an 时,取等号).同理,当 a,b 都是正实数时,(a+b)( + a 1 )≥2 ab· 2 b + 11 1 ·=4, 可以推导出结论: 对于 n 个正实数 a1, a3, an 有(a1+a2+a3)( a2, …, ab a1

1 1 1 1 1 1 + )≥________;(a1+a2+a3+a4)( + + + )≥________;(a1+a2+a3+…+ a2 a3 a1 a2 a3 a4

1 1 1 1 an)( + + +…+ )≥________;如果对于 n 个实数同号 a1,a2,a3,…,an(同正或者 a1 a2 a3 an 同负),那么,根据上述结论,(a1+a2+a3+…+an)( 1 1 1 1 + + +…+ )的取值范围是 a1 a2 a3 an

________. 3 1 1 1 1 3 解析: 根据所给结论及类比的方法可得: (a1+a2+a3)· + + )≥3 a1a2a3· ( 3 = a1 a2 a3 a1a2a3 9, 同理,(a1+a2+a3+a4)( 1 )≥n2, an 1 1 1 1 当实数 a1,a2,a3,…,an 都是负数时,(a1+a2+a3+…+an)· + + +…+ )≥n2. ( a1 a2 a3 an 答案:9 16 n2 [n2,+∞) a2+b2 a+b 2 ,B= ,C= ab,D= ,试判断 A,B, 2 2 1 1 + a b 1 1 1 1 1 1 1 + + + )≥16;(a1+a2+a3+…+an)( + + +…+ a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3

10.已知 a>0,b>0,设 A= C,D 的大小. 解:∵a>0,b>0,

a+b ∴ ≥ ab(当且仅当 a=b 时取等号). 2 又 a2+b2 a+b - = 2 2 a2+b2 - 2 ?a+b?2 = 4 a2+a2+b2+b2 - 4 a2+b2+2ab . 4

∵a2+b2≥2ab>0,∴

a2+b2 a+b ≥ (当且仅当 a=b 时,取等号). 2 2

2 2ab 又∵ = ,且 a>0,b>0,∴a+b≥2 ab. 1 1 a+b + a b 1 1 2ab 2ab ∴0< ≤ ,∴ ≤ = ab, a+b 2 ab a+b 2 ab 2ab ∴ ab≥ (当且仅当 a=b 时,取等号), a+b ∴ a+b 2 ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 + a b a2+b2 (当且仅当 a=b 时,取等号), 2

即 A≥B≥C≥D. x1+x2 1 11.已知函数 f(x)=lgx(x∈R+),若 x1、x2∈R+,试判断 [f(x1)+f(x2)]与 f( )的大 2 2 小并加以证明. x1+x2 1 解: [f(x1)+f(x2)]≤f( ). 2 2 证明如下: f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lg(x1· x2), x1+x2 x1+x2 f( )=lg( ). 2 2 ∵x1、x2∈R+,

x1+x2 ∴ ≥ 2

x1· x2,

x1+x2 ∴lg x1· x2≤lg( ), 2 x1+x2 1 即 lg(x1·x2)≤lg( ). 2 2 x1+x2 1 ∴ (lgx1+lgx2)≤lg( ). 2 2 x1+x2 1 故 [f(x1)+f(x2)]≤f( ). 2 2 12.若 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,求证: 1 1 1 ( -1)( -1)( -1)≥8. a b c 证明:∵a+b+c=1,且 a,b,c 均为正数, 1 1 1 ∴( -1)( -1)( -1) a b c a+b+c a+b+c a+b+c =( -1)( -1)( -1) a b c b+c a+c a+b 2 bc 2 ac 2 ab = · · ≥ · · a b c a b c 1 =8.(当 a=b=c= 时取“=”) 3


相关文档

人教版B版高中数学必修5:均值不等式
人教B版 必修五 3.2 均值不等式
人教版B版高中数学必修5:均值不等式_课件1
人教版B版高中数学必修5:3.2 均值不等式
高中数学(人教版B版·必修5)配套练习:3.2均值不等式 第1课时
[最新]高中数学(人教版B版·必修5)配套练习:3.2均值不等式 第1课时
《均值不等式》课件2-优质公开课-人教B版必修5精品
高中数学(人教版B版·必修5)配套练习:3.2均值不等式 第2课时
高中数学(人教版B版·必修5)配套练习:3.2均值不等式 第3课时
[最新]高中数学(人教版B版·必修5)配套练习:3.2均值不等式 第2课时
电脑版