高中数学人教A版必修2同步练习:4.1.1圆的标准方程

第四章
一、选择题

4.1

4.1.1
)

1.(2013~2014· 绍兴高二检测)圆(x-3)2+(y+2)2=13 的周长是( A. 13π C.2π [答案] B B.2 13π D.2 3π

2.若原点在圆(x-1)2+(y+2)2=m 的内部,则实数 m 的取值范围是( A.m>5 C.-2<m<2 [答案] A 3.圆(x-1)2+y2=1 的圆心到直线 y= 1 A. 2 C.1 [答案] A 3 x 的距离是( 3 B. 3 2 ) B.m<5 D.0<m<2

)

D. 3

[解析] 先求得圆心坐标(1,0),再依据点到直线的距离公式求得 d=

1 = . 1 2 1+ 3

3 3

4.方程 y= 9-x2表示的曲线是( A.一条射线 C.两条射线 [答案] D

) B.一个圆 D.半个圆

[解析] 方程 y= 9-x2可化为 x2+y2=9(y≥0), 所以方程 y= 9-x2表示圆 x2+y2=9 位于 x 轴上方的部分,是半个圆. 5.已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0),B(5,0),此圆的标准方程为( A.(x-3)2+y2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 [答案] A [解析] 由题意可知圆心坐标为(3,0),r=2,所以圆 C 的标准方程为(x-3)2+y2=4.故 选 A. 6.(2013~2014· 安徽“江南十校”高三联考)若点 P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的 中点,则弦 MN 所在直线方程为( A.2x+y-3=0 ) B.x-2y+1=0 B.(x+3)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 )

C.x+2y-3=0 [答案] D

D.2x-y-1=0

1 [解析] 圆心 C(3,0),kPC=- ,又点 P 是弦 MN 的中点,∴PC⊥MN,∴kMNkPC=-1, 2 ∴kMN=2,∴弦 MN 所在直线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 二、填空题 7.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为________. [答案] (x-2)2+y2=10 [分析] 圆心在 x 轴上,可设圆心坐标为(a,0),半径长为 r,写出圆 C 的标准方程,将 A,B 两点坐标代入求 a,r 即可得圆 C 的方程. [解析] 设所求圆 C 的方程为(x-a)2+y2=r2, 把所给两点坐标代入方程得
2 2 2 ? ? ??5-a? +1 =r ?a=2 ? ? 2 ,解得 , 2 2 2 ??1-a? +3 =r ? ? ?r =10

所以所求圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10. 8.若圆 C 与圆(x+2)2+(y-1)2=1 关于原点对称,则圆 C 的标准方程是________. [答案] (x-2)2+(y+1)2=1 [解析] 圆(x+2)2+(y-1)2=1 的圆心为 M(-2,1),半径 r=1,则点 M 关于原点的对称 点为 C(2,-1),圆 C 的半径也为 1,则圆 C 的标准方程是(x-2)2+(y+1)2=1. 9.以直线 2x+y-4=0 与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程为 ____________________. [答案] x2+(y-4)2=20 或(x-2)2+y2=20 [解析] 令 x=0 得 y=4,令 y=0 得 x=2, ∴直线与两轴交点坐标为 A(0,4)和 B(2,0), 以 A 为圆心过 B 的圆方程为 x2+(y-4)2=20, 以 B 为圆心过 A 的圆方程为(x-2)2+y2=20. 三、解答题 10.圆过点 A(1,-2),B(-1,4),求 (1)周长最小的圆的方程; (2)圆心在直线 2x-y-4=0 上的圆的方程. [解析] (1)当 AB 为直径时,过 A、B 的圆的半径最小,从而周长最小.即 AB 中点(0,1) 1 为圆心,半径 r= |AB|= 10.则圆的方程为:x2+(y-1)2=10. 2 1 (2)解法 1:AB 的斜率为 k=-3,则 AB 的垂直平分线的方程是 y-1= x.即 x-3y+3 3 =0

? ?x-3y+3=0, 由? ?2x-y-4=0. ?

? ?x=3, 得? ?y=2. ?

即圆心坐标是 C(3,2). r=|AC|= ?3-1?2+?2+2?2=2 5. ∴圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 解法 2:待定系数法 设圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2. ?1-a? +?-2-b? =r , ? ? 2 2 2 则??-1-a? +?4-b? =r , ? ?2a-b-4=0.
2 2 2

a=3, ? ? ??b=2, ? ?r2=20.

∴圆的方程为:(x-3)2+(y-2)2=20. [点评] ∵圆心在直线 2x-y-4=0 上,故可设圆心坐标为 C(x0,2x0-4),∵A,B 在圆 上,∴|CA|=|CB|可求 x0,即可求得圆的方程,自己再用此思路解答一下. 11.(2013~2014· 台州高一检测)已知圆 N 的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点 M(6,9)在圆上,求 a 的值; (2)已知点 P(3,3)和点 Q(5,3),线段 PQ(不含端点)与圆 N 有且只有一个公共点,求 a 的 取值范围. [解析] (1)因为点 M 在圆上, 所以(6-5)2+(9-6)2=a2, 又由 a>0,可得 a= 10; (2)由两点间距离公式可得 |PN|= ?3-5?2+?3-6?2= 13, |QN|= ?5-5?2+?3-6?2=3, 因为线段 PQ 与圆有且只有一个公共点,即 P、Q 两点一个在圆内、另一个在圆外,由 于 3< 13,所以 3<a< 13.即 a 的取值范围是(3, 13). 12.如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0),AB 边所在直线的方程为 x-3y -6=0,点 T(-1,1)在 AD 边所在的直线上.

(1)求 AD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程. [解析] (1)因为 AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,且 AD 与 AB 垂直,所以直线

AD 的斜率为-3. 又因为点 T(-1,1)在直线 AD 上,所以 AD 边所在直线的方程为 y-1=-3(x+1),即 3x +y+2=0.
?x-3y-6=0, ? (2)由? 解得点 A 的坐标为(0,-2). ?3x+y+2=0, ?

因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M(2,0). 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又|AM|= ?2-0?2+?0+2?2=2 2, 从而矩形 ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.


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